Задача В10.Теория вероятности.Урок повторения
методическая разработка (11 класс) на тему

ЗАДАЧА В10

Теория Вероятности.

(Урок повторения)

Теория вероятности – очень сложный предмет, если рассматривать отдельно.

Но на ЕГЭ надо знать только самые основные понятия теории вероятностей. Если вы их будете понимать, то и задача покажется лёгкой. Приступим:

1. Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет.

В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями. Примеры:

1. Вы купили лотерейный билет. Он либо выигрышный, либо нет. Случайное событие - выигрыш. Оно может произойти, а может и нет.
2. Вы подбросили монету. Выпадение орла - случайное событие. Выпадение решки тоже случайное событие.
3. Студент сдаёт экзамен. Выпадение определённого билета – случайное событие. Сдаст или не сдаст тоже случайное событие.
4. и т.д.

2. Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться).

Каждый, думаю, понимает интуитивно, что такое вероятность. Одно событие может произойти со 100%-ой вероятностью, другое почти с нулевой и т.д.

Примеры:

1. Вероятность восхода солнца рано утром = 100%,
2. Вероятность выпадения восьмёрки на игральной кости (кубике) = 0%, т.к. 8-рки нет на кубике.
3. А вероятность, что изделие бракованное – может принимать любое значение (от 0 до 1). Это зависит от условий. Вот такие вероятности и будем находить в дальнейшем.

3. Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.

4. Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.

Например:

1. Бросаете монету – это испытание. Исходы – орёл, решка.
2. Подбросили кубик (иногда называют игральной костью) – это испытание. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – это исходы.

5. Благоприятный исход - желаемый исход. Примеры:

1. Бросаете монету. Хочу, чтобы выпала решка, => благоприятный исход = выпала решка. Значит выпадение орла – неблагоприятный исход.
2. Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо? Ответ: 5/20=1/4. Почему? Подробности ниже.

Какова же связь между этими понятиями?

ЗАПОМНИ:

Эта формула называется классической формулой вероятности или классическим определением вероятности. Где:

1. Р(А) - вероятность события А.
2. m – число (количество) благоприятных исходов,
3. n – число (количество) всех исходов.
4. ПРАВИЛО: Вероятность всегда равна от 0 до 1. Ни меньше, ни больше!

Рассмотрим тот же пример:

Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо?

Решение:

1. m = 5.
2. n =20.
3. Значит Р(А) = 5/20 = 0,25.
4. Аналогично, можно найти вероятность сдать экзамен на отлично: Р(А1) = 10/20 = 0,5. 

1. вероятность сдать экзамен на удовлетворительно: Р(А2) = 3/20 = 0,15.
2. вероятность не сдать экзамен: Р(А3) = 2/20 = 0,1.

Заметьте, ответы представлены в десятичной дроби, потому что в бланках ЕГЭ, надо писать в десятичном виде (если не указано иное).

Классическая формула вероятности – самая главная и основная. Но бывают затруднения в нахождении n и m.

В этом случае надо знать элементы комбинаторики:

1. Теорема о перемножении шансов: Пусть множество А состоит из k элементов, а множество B — из m элементов, тогда можно образовать ровно km пар, взяв первый элемент из множества A, а второй — из множества B.

т.е. если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент — m способами, то пару элементов можно выбрать km способами.

Примеры:

1. При подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов. Т.к. первая монета принимает 2 результата (орел или решка), вторая тоже два, и третья также два результата.
2. бросая дважды игральную кость, получим 6·6=36 различных результатов. Объяснить самостоятельно.

Простые задачи на осмысление

1. Сколько трёхзначных чисел бывает?
2. Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых различны?
3. Сколько чётных трёхзначных чисел возможно?

подсказка: решение на теорему о перемножении шансов

 А теперь знакомимся со вторым элементом комбинаторики:

2. Выборы шариков из урны (или кубиков из ящика, или карточек из коробки, или книг с полки, или изделий из партии, или номер при жеребьёвке и т.д.):

Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров;
результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шаров из n, или сколько различных результатов может получиться?

На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся:

а) с тем, как организован выбор: можно ли шары возвращать в урну,

и б) с тем, что понимается под различными результатами выбора: учитывается или нет порядок.

Рассмотрим следующие возможные способы выбора:                                                            1) Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. Таким образом, в полученном наборе из k шаров могут встречаться одни и те же.

1.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1)  различны, если порядок учитывается.

1.2) Выбор без учёта порядка: т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

2) Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же шары.

2.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1)  различны, если порядок учитывается.

2.2) Выбор без учёта порядка: т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.

надо определить чётко:

1. Можно ли шары возвращать в урну (книги на полку, карточки с номерами в коробку для жеребьёвки и т.д.)?

2. Учитывать порядок или нет?

Определив это, идём дальше. Скопируйте себе картинку (правая кнопка мыши -> Сохранить картинку как…) и распечатайте как шпаргалку:

Шпаргалка:

Символ  n!  ( называется факториал ) – сокращённая запись произведения:  1 · 2 · 3 ·  … · ( n – 1 ) ·n .

Подробнее о шпаргалке:

Размещением k элементов из n (из n элементов по k) называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.

Перестановка: возьмём  n различных элементов:  a1 , a2 , a3 , …, an . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения.Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n.

Сочетание без повторений: число способов выбрать m элементов из n различных элементов (m≤n) без упорядочения.

Сочетание с повторениями: число способов разместить m одинаковых элементов (предметов) в n ячейках (ящиках).

Чтобы вникнуть в вышеперечисленные понятия, разбери решённые задачи.

Задача 1Б. В розыгрыше кубка страны по футболу берут участие 17 команд. Сколько существует способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали?

Решение:

Поскольку медали не равноценны, то количество способов распределить золотую, серебряную и бронзовую медали среди команд будет равно числу размещений из 17-ти элементов по 3, т.е. = 4080.

Задача 2Б. Произведено три выстрела по мишени. Рассматриваются такие элементарные события: А – попадание в мишень при i-том выстреле;  – промах по мишени при i-том выстреле. Выразить через А и  следующие события:

А – все три попадания; В – ровно два попадания; С – все три промаха; D – хотя бы одно попадание; Е – больше одного попадания; F – не больше одного попадания.

Решение:

А – все три попадания, т.е. совместное появления трех событий А1, А2 и А3

Р(А) = Р(А1 и А2 и А3)

В – ровно два попадания, т.е. два попадания и один промах

Р(В) = Р(1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3)

С – все три промаха, т.е. совместное появления трех событий 1 и 2, 3

Р(С) = Р(1 и 2 и 3)

D – хотя бы одно попадание, т.е. или одно попадание, или два попадания или три попадания

Р(D) = Р(1 и 2 и А3 или 1 и А2 и 3 или А1 и 2 и 3 ИЛИ 1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3 ИЛИ А1 и А2 и А3)

или по формуле Р(D) = 1 – Р(1 и 2 и 3)

Е – больше одного попадания, т.е. или два попадания или три попадания

Р(Е) = Р(1 и А2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и 2 и А3 или А1 и А2 и А3)

F – не больше одного попадания, т.е. одно попадание и два промаха

Р(F) = Р(1 и 2 и А3 или 1 и А2 и 3 или А1 и 2 и 3)

Задача 3Б. Игральный кубик бросают два раза. Описать пространство элементарных событий. Описать события: А – сумма появившихся очков равна 8; В – по крайней мере один раз появится 6.

Решение:

Будем считать пространством элементарных событий множество пар чисел (i, j), где i (соответственно j) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании, тогда множество элементарных событий будет таким:

={(1,1)  (1,2)  (1,3)  (1,4)  (1,5)  (1,6)

       (2,1)  (2,2)  (2,3)  (2,4)  (2,5)  (2,6)

       (3,1)  (3,2)  (3,3)  (3,4)  (3,5)  (3,6)

       (4,1)  (4,2)  (4,3)  (4,4)  (4,5)  (4,6)

       (5,1)  (5,2)  (5,3)  (5,4)  (5,5)  (5,6)

       (6,1)  (6,2)  (6,3)  (6,4)  (6,5)  (6,6)}

А – сумма появившихся очков равна 8. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события А={(2,6)  (6,2)  (5,3)  (3,5)  (4,4)}.

В – по крайней мере один раз появится 6. Этому событию благоприятствуют такие элементарные события В={(6,1)  (6,2)  (6,3)  (6,4)  (6,5)  (6,6) (1,6)  (2,6)  (3,6)  (4,6)  (5,6)}.

Задача 4. В вазе с цветами 15 гвоздик: 5 белых и 10 красных. Из вазы наугад вынимают 2 цветка. Какова вероятность того, что эти цветки: а) оба белые; б) оба красные; в) разного цвета; г) одного цвета.

Решение:

а) Пусть событие А состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка белые.

Количество возможных способов взять 2 цветка из 15-ти равно , т.е. = 715 = 105, а количество возможных способов взять 2 белых цветка из 5-ти белых равно = 25 = 10. Тогда по классическому определению вероятность события А равна                .

б) Пусть событие В состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка красные.

Количество возможных способов взять 2 цветка из 15-ти равно , т.е. = 715 = 105, а количество возможных способов взять 2 красных цветка из 10-ти красных равно = 95 = 45. Тогда по классическому определению вероятность события В равна                .

в) Пусть событие С состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка разного цвета, т.е. один белый и один красный.

Количество возможных способов взять 2 цветка из 15-ти равно , т.е. = 715 = 105, а количество возможных способов взять 1 красный цветок из 10-ти красных И 1 белый цветок из 5-ти белых равно * = 105 = 50. Тогда по классическому определению вероятность события С равна .

г) Пусть событие D состоит в том, что оба вынутых из вазы цветка одного цвета, т.е. или оба белые (событие А) или оба красные (событие В). По теореме сложения независимых событий вероятность события D будет равна

Р(D) = Р(А или В) = Р(А) + Р(В) = 0,095 + 0,43 = 0,525

Задача 5. Из шести карточек с буквами I, С, К, Ь, Н, М наугад одну за другой вынимают и раскладывают в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что появится слово
а) «НIС»; б) «CIM»?

Решение: (для пунктов а) и б) одинаково)

Каждый вариант получившегося «слова» является размещением из 6-ти элементов по 3. Число таких вариантов равно . Из этих вариантов правильным будет только один, т.е. m = 1, тогда по классическому определению вероятности .

Задача 6. Вероятность того, что в течении одной смены возникнет поломка станка равна 0,05. Какова вероятность того, что не возникнет ни одной поломки за три смены?

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что в течении одной смены возникнет поломка станка. По условию задачи вероятность этого события равна Р(А) = 0,05. Противоположное событие  состоит в том, что в течении одной смены поломка станка НЕ возникнет. Вероятность противоположного события Р() = 1– Р(А) = 1 – 0,05 = 0,95. Искомая вероятность равна Р(В) = Р( и  и ) = Р()Р()Р()= 0,950,950,95 = 0,953 = 0,86

Задача 7. Студент пришел на зачет зная только 30 вопросов из 50. Какова вероятность сдачи зачета, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один?

Решение:

Вероятность того, что преподаватель задал студенту вопрос, на который он не знал ответа (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что на второй вопрос преподавателя студент знает ответ (событие В) при условии, что ответа на первый вопрос студент не знал. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда РА(В) = . Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Р(А и В) = Р(А)* РА(В) =  = 0,24.

Задача 9. С помощью наблюдений установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 25 дней без дождя. Какова вероятность того, что 1-го и 2-го сентября дождя не будет?

Решение:

Вероятность того, что 1-го сентября дождя не будет (событие А) равна Р(А) = . Найдем вероятность того, что и 2-го сентября дождя не будет (событие В) при условии, что 1-го сентября дождя не было. Это условная вероятность, так как событие А уже произошло. Отсюда РА(В) = . Искомую вероятность определим по теореме умножения вероятностей зависимых событий. Р(А и В) = Р(А)* РА(В) =  = 0,7.

Задача 13. Из партии, в которой 25 изделий, среди которых 6 бракованных, случайным образом выбрали 3 изделия для проверки качества. Найти вероятность того, что: а) все изделия годные, б) среди выбранных изделий одно бракованное; в) все изделия бракованные.

Решение:

а) Пусть событие А состоит в том, что все выбранные изделия годные. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно , т.е. = 2300, а количество возможных способов взять 3 годных изделия из (25 – 6) = 19-ти годных равно = 1938. Тогда по классическому определению вероятность события А равна                .

б) Пусть событие В состоит в том, что среди выбранных изделий одно бракованное, т.е. одно бракованное и два годных. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно = 2300, а количество возможных способов взять одно бракованное изделие из 6-ти бракованных И два годных изделия из (25 – 6) = 19-ти годных равно * = 6153 = 738. Тогда по классическому определению вероятность события В равна .

в) Пусть событие С состоит в том, что все выбранные изделия бракованные. Количество возможных способов взять 3 изделия из 25-ти равно = 2300, а количество возможных способов взять 3 бракованные изделия из 6-ти бракованных равно = 20. Тогда по классическому определению вероятность события С равна .

   Задача 13.               В урне находится 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3черных. Наугад вытаскивают 3 шара. Какова вероятность того, что среди вытащенных шаров ровно 1 будет черным?

Решение:

Задачи для самостоятельного решения

1. Обезьяна напечатала на машинке слово из десяти букв. Сколько слов (набор букв) она может напечатать?

2. Женя, Петя, Оля и Лена занимают какие-то четыре из десяти мест в классе. Сколькими способами они могут сесть?

3. Найти число возможных результатов подбрасывания трёх игральных костей, если кости считаются неразличимыми.

4. В урне находится 12 белых и 8 черных шаров. Найти вероятность того, что два одновременно изъятых наудачу шара будут черными.

На этом урок закончен!

Использованы материалы из:    http://probno.ru/v10-teoriya-veroyatnosti-novoe/