Урок в 11 классе "Применение графика производной к исследованию свойств функции»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) на тему

ЕГЭ по математике, обязательное  для каждого ученика, требует серьезной перестройки учительского труда. Надо не только повторить с учащимися весь материал, но и научить их применять полученные знания в новой, незнакомой ситуации. И это касается не только заданий части С.

  Свою работу при повторении материала по той или иной теме строю так,  чтобы она не сводилась к простому натаскиванию, к прорешиванию многочисленных однотипных заданий, а была построена так, чтобы при повторении необходимого базового материала, было достаточное количество задач творческого характера, задач, в которых ученик может применить свои знания.

  В Стандарте большое внимание уделяется формированию у учащихся умений использовать приобретённые умения и знания по всем изучаемым темам в практической деятельности и повседневной жизни. В частности, это касается темы «Функции и графики». Не зря авторы контрольно – измерительных материалов  уделяют большое внимание проверке умений читать по графику свойства функции, применять свойства функций при решении задач повышенного и высокого уровней сложности. Одним из таких заданий является задание В8, в котором из года в  год предлагается по графику производной  описать особенности поведения  функции.  Для того  чтобы подготовить учащихся к решению данного задания, я провожу цикл уроков. Данный урок – первый из этого цикла.

Урок алгебры в 11 классе

«Применение графика производной к исследованию свойств функции»

Цели: 1) выработать специфические умения и навыки по работе с графиком производной функции для    их  применения при сдаче ЕГЭ;

            2)формирование умений читать свойства функции по графику её производной; умений    анализировать материал, выявлять аналогии;

           3) способствовать формированию мышления, направленного на решение нестандартных задач;

          4) способствовать выработке у учащихся сравнивать и обобщать изучаемые факты.

 Тип урока – совершенствование и углубление знаний, умений и навыков.

Педагогические технологии: проблемно – поисковый метод, технология системно – деятельностного подхода, ИКТ – технологии.

Ход урока

I. Организационный момент, сообщение учащимся цели урока: научиться по графику производной исследовать свойства функции,

Учитель. Мы заканчиваем  изучение темы « Применение производной к исследованию функций». Наша цель сегодня - научиться исследовать функцию по графику её производной. Этой темы нет в наших учебниках, но  в ЕГЭ задания такого типа повторяются из года в год, причём формулировки вопросов постоянно изменяются.

II. Актуализация  субъектного опыта учащихся.  

1. По следующим данным, приведённым в таблице,  охарактеризуйте поведение функции.

Сделайте вывод.

III. Проверка домашней работы.

Задание.

Построить графики функций  и их производных в одной системе координат:

1)   у=x2+4x+3   и  (y΄=2x+4) ;

2)  у=3х5-5х3+1   и  ( у΄=15х4-15х2).

 Для графика функции заполнить таблицу по схеме.

Учитель.  По построенному графику производной исследуем свойства функции. Заполняется третий столбец таблицы.

1)  у=x2+4x+3,        у

        y΄=2x+4

                         1                                            

        -5     -4        -3        -2        -1        0   1        x

Графики заранее построены на доске, ученики сверяют правильность построения.

Схема исследования свойств функции:

1) D(y);

2) E(y);

3) является ли функция чётной (нечётной);

4) нули функции;

5) промежутки знакопостоянства;

6) промежутки монотонности;

7) точки экстремума, экстремумы функции;

8) наибольшее и наименьшее значения функции.

2) у=3х5-5х3+1

        у                у΄=15х4-15х2

                                   у=3х5-5х3+1

                0

        -1                   1        x

3,75

Вывод: по графику производной функции мы можем указать только область определения функции, промежутки монотонности, критические точки.

IV.  Фронтальная работа.                                                                                                                                          Учитель: 1.Выясните, что представляют из себя графики производных следующих функций:

1) у=kx+b                                                 y΄=kx                                                

                                                                                                                                                                                                        2) у=ax2+bx+c , a≠0                                y΄=2ax+b                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                                     3) у= ax 3 , a≠0                                         y΄=3ax2                               

                                                                                                                                                                                                   4)у=ax 3 +bx 2+cx+d, a≠0                       y΄=3ax2+2bx+c                      

                                                                                                                                                                                                     5) у=k/x, x≠0                                           y΄=-k/x2                   

                                                                                                                                                                                                     6)у= Ѵx                                                     y΄=1/2Ѵx                

В процессе решения ученики находят области определения функций и выясняют, что D(y) и D(y΄) не всегда совпадают (пример 6).

  2. На рисунках изображены графики функций (нижний ряд) и графики их производных. Для каждой функции найдите график её производной. (А-2,Б-5,В-3,Г-1,Д-4)

V. Практическая работа. . Функция y=f(x) определена на промежутке  (а;b). На рисунке изображён график её производной.  Построить   на заданном  промежутке (a;b)  график функции.

Ученики выполняют задание на листках, а затем на доске.

Учитель. Сколько графиков можно построить?

Вывод. По заданному графику производной можно построить только эскиз графика функции.

        y        y

        y

        0        x

                a        b        

        a        b        x

        y        a        b

        y

        x

        a        b

        a        b

        х        х

        а        b        a        0        b

VI.Групповая работа. Для каждой группы указан  график производной некоторой функции.  Составить рассказ о функции.

I.        II.

        y        y

        -4                8        x        -6        0        8

III.        IV.

\        

        -        

        10

        -7        0        7x

        -4        0

V.

        -5        0        8        

 Учитель. Следующие два задания вы можете выполнять индивидуально, в парах  или группе.                            

   8.Функция y=f(x) определена на промежутке  (-8;5). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее значение на отрезке [-6;3].

        у

        -6        3        х

9. Функция y=f(x) определена на промежутке  (-4;7). На рисунке изображён график её производной. Найдите точку х0, в которой функция y=f(x) принимает наименьшее значение на отрезке [-3;4].

        y

        -        x

        -4        7

Ответы, предложенные учениками, обсуждаются, в случае неверных ответов,

выясняется, почему была допущена ошибка, что вызвало затруднения.

Учитель. Подумайте, какие  вопросы, ещё можно задать по графику производной. (найти наибольшую (наименьшую) длину промежутка возрастания (убывания) функции; указать на указанном промежутке сумму абсцисс точек экстремумов функции; найти число точек максимума; найти точку х0, в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение).

VII.Учитель. Что ещё можно найти по графику производной? (Угловой коэффициент касательной, тангенс угла наклона к положительному направлению оси 0Х).

1)Найдите число касательных к графику функции y=f(x), угловой коэффициент которых равен 2.

2) Найти угловой коэффициент касательной в точке х0=-3.

3) Укажите точку, в которой касательная к графику функции  y=f(x) имеет наименьший угловой коэффициент.

4) Найти число касательных к графику функции y=f(x), которые параллельны оси 0Х.

5) К графику функции провели все касательные, параллельные прямой y=5-2x

(или совпадают с ней). Найдите наименьшую из абсцисс точек, в которых проведены эти касательные.

6) В скольких точках касательные к графику функции наклонены под углом 1350 к положительному направлению оси абсцисс.

VIII. Подведение итогов.

Учитель.1) По графику производной что вы можете сказать о свойствах функции?

IX. Задание на дом.

1) По учебнику Мордковича А.Г. «Алгебра и начала анализа 10-11классы», №898, 899, 900.

X. Рефлексия.