Уравнения и методы их решения
проект по алгебре (10, 11 класс) на тему

Слайд 1

Уравнения и методы их решения Над проектом работали: Маслов Андрей Мулярчук Екатерина Фадеенко Виктор МКОУ СО ш с Красное 2014

Слайд 2

Показательные уравнения Опред.: Уравнение вида a х = b , называется показательным

Слайд 3

Методы решения: Приведение к одному основанию Разложение левой части уравнения на множители (выносим степень с наименьшим показателем) Замена переменной, приведение к квадратному (подстановка) Деление левой и правой частей уравнения на степень

Слайд 4

Приведение к одному основанию: 2 3х · 3 х =576 (2 ³ ) х · 3 х =576 8 х · 3 х =576 24 х =24 ² = > х=2

Слайд 5

Разложение левой части уравнения на множители: 3 х+1 - 2 · 3 х-2 =25 3 х-2 (3 ³ -2)=25 3 х-2 · 25=25 |: 25 3 х-2 = 1 3 х-2 = 3 0 = > х-2=0 х=2

Слайд 6

Замена переменной, приведение к квадратному: 9 х – 4 · 3 х – 45=0 3 2х – 4 · 3 х -45=0 3 х = t=>t²-4t-45=0 t 1 +t 2 =4 t 1 =9 t 1 +t 2 =45 t 2 =-5 п.к. 3 х =9 3 х =3 ² = > х=2

Слайд 7

Деление левой и правой частей уравнения на степень: 3 х = 5 2х 3 х = 25 х |÷3 х 1= 25 х 3 25 º 25 х = >x=0 3 3

Слайд 8

Примеры для самопроверки: 1 0,5х-1 9; 7 · 5 х – 5 х +1 = 2 · 5 -3 ; 27 2 х ² + 14 · 2 х +1 – 29=0; 7 х +6 · 3 х +6 =7 3х · 3 3х

Слайд 9

Типовые задания ЕГЭ: 1.Решить уравнение: 5 х =125; 2.Решить уравнение: 1 0,1х-1 _ 16; 32 ¯ 3.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 3 х ² +х-12 = 1;

Слайд 10

4.Решить уравнение: 3 х+1 - 2 ·3 х-2 =25; 5.Решить уравнение: 3 2х – 4 ·3 х – 45=0; 6.Решить уравнение: 3 2х-1 – 2 2х-1 = 0; 7.Решить уравнение: 3 2х+5 – 2 2х+7 + 3 2х+4 - 2 2х+4 = 0;

Слайд 11

8.Найти промежуток, которому принадлежат все решения уравнения: 3 · 16 х + 2 · 81 х =5 · 36 х ; 9.Указать промежуток, которому принадлежит корень уравнения: 5 2х – 4 · 5 х – 5 = 0; 10.Решить уравнение: 3 Sin²x + 3 Cos²x = 4

Слайд 12

В4.Найти модуль разности корней: 4 х- √х ² -5 - 12 · 2 х-1-√х ² -5 + 8 = 0; В5.Решить уравнение: 2 3х-1 · 5 3х-1 = 100; В6.Решить уравнение: √ 3 · 2 х − 4 х − 2 = 1−2 х ; В7.Решить уравнение: 32 х+3 · 3 3х+1 · 625 х+2 = 600 х+7 ;

Слайд 13

Тригонометрические уравнения

Слайд 14

I) Уравнения Cosx=a, a [-1; 1] а ) Cosx=a, а (0; 1) X= а rccosa +2 n , n б )Cosx=a, a (-1;0) X= ( - arccosa) +2 Cosx=0 Cosx=-1 , X= +2 n X= +2 Cosx =1 X =2

Слайд 15

Например. Cosx= , X= + 2 X= +2 Cosx=- - , (-1; 0) X= ( -arccos ) +2 k, k X= - ) + 2 k, k X= +2 k, k Z

Слайд 16

II) Уравнения sinx=a, a 1; 1] Sinx=a, a (0; 1) X= (-1) n arcsina + n, n Z Sinx=a, a (-1;0) X= (-1) n+1 arcsina+ n, n Z Sinx= 0 X= n, n Z Sinx= 1 X= +2 K, k Z Sinx= -1 X = - + 2 n , n

Слайд 17

Например. Sinx= , (0; 1) X= (-1) n arcsin + n Z X= (-1) n + Z Sinx= - , - (-1; 0) X=(-1) n+1 arcsin + Z X=(-1) n+1 + n, n Z

Слайд 18

III) Уравнения tgx=a, a tgx=a, a 0 x=arctga + Z tgx= -a , a x= -arctga + n, n Z

Слайд 19

Например. tgx = , [0; ) x = arctg x= + Z tgx= - , - (- ; 0) x= -arctg + n, n Z x = - + Z

Слайд 20

Методы решения тригонометрических уравнений. 1)Уравнения, сводящиеся к квадратным а ) Sin 2 x + sinx – 2=0 Sinx=t, t [-1;1] t 2 + t -2=0 t 1 =1, t 2 =-2-п.к так -1; 1 ] как -2 ∉ sinx=1, x= + 2

Слайд 21

2.разложение левой части на множители Cosx = cos 3 x Cosx-cos3x=0 -2sin2xsin(-x) =0 Sin2x=0 или sinx=0 x= 2x= X = n ,

Слайд 22

3.однородное уравнение 1-ой степени asinx + bcosx =0 Решается делением на cosx 0 0 + = 0 sinx + cosx =0 |: cosx atgx+b=0 x=-arctg + tgx+1=0 tgx=-1 + x=-arctg1 n, n Z x=- +

Слайд 23

4. однородное уравнение 2- ой степени asin2x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 asin 2 x+bsinxcosx+ccos 2 x=0 |:cos 2 x 0 atg 2 x+btgx+c=0 tgx=t, at 2 +bt+c=0 Д = b 2 -4ac t 1,2 = tgx= x 1 =arctg( ) + n x 2 = arctg( ) + n 3sin 2 x-7sinxcosx+2cos 2 x=0|:cos 2 x 0 3tg 2 x-7tgx+2=0 tgx=t, 3t 2 -7t+2=0 Д = b 2 -4ac=25, Д t 1,2 = tgx=2 tgx= x=arctg2+ x=arctg + k, k Z

Слайд 24

5. Уравнение вида asinx+bcosx=c asinx+bcosx=c Sinx + cosx= =cos =sin Cos + sin cosx= Sin ( + x) = X= (-1) n arcsin - + z n, n Sinx-cosx=1 = sinx – cosx= Sin( - x )= X - = (-1) n + , n Z X= (-1) n + +

Слайд 25

Уравнения для самостоятельной работы! Базовый уровень Sinx= Cosx=- tgx= 1+sin( )=0 Sin 2 x= Sinx+cosx=0 2cos(2x- )= Sin(x- )=0 +1=0 tgx-1=0

Слайд 26

Повышенный уровень 2sin 2 x+3sinxcosx-2cos 2 x=0 =0 3sinx+4cosx=10 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Sinx-sin2x+sin3x-sin4x=0 Cosx+cos = Sin3x-sin9x=0 tg(3x+60 0 )= ctg( -1)sin( -1)ctgx=0 4sin cos = - Sinx-cosx=4sinxcos2x

Слайд 27

Трудные задания Cos 2 x+cos 2 2x+cos 2 3x+cos 2 4x=2 (cos6x-1)ctg3x=sin3x Cos(x+ )+sin2x=-2 Cos 2 x+ |cosx|sinx=0 Cos 2 x+sin 2 2x+cos 2 3x= (cos2x + 3 sinx-4)=0 =0 cosx+2sinx)=1 - 1=4sinx + ctgxtg =0

Слайд 28

Трудные задания cosx - cos 3 x +2 =0 удовлетворяющие условие: | x + | +2cosx=0 =0, удовлетворяющие условию | x | – = -4 + =8

Слайд 29

Уравнение с модулем Определение: a a

Слайд 30

Методы решений. По определению модуля: |x+1|=3 = и = = => x =-4

Слайд 31

метод интервалов: | x +1| + | x -1| + | x +10|=12 1.найдём корни подмодульных выражений: X =-1 x =1 x =-10 2.нанесём корни на числовую ось -10 -1 1

Слайд 32

метод интервалов: 3. = = x = посторонний корень = = =

Слайд 33

метод интервалов: = = = x = – посторонний корень Ответ: x 1 =-2 x 2 =0

Слайд 34

Базовый уровень 1.| x +3|=12 2. x +5=| x | 3. | x -15|=25 x 4.|2 x |=100 5.| x -40|=80 6.| x |=5 7. | x |=3 x +10 8. |3 x -9|=1

Слайд 35

Повышенный уровень 1.| - – 5 = 2.| x 2 -5 x +6|= x +1 3.| x -3|+2| x +1|=4 4.|5-2 x |+| x +3|=2-3 x 5. =| x |+2 6. x | x |+7 x +12=0 7. x 2 -5 x - 8. x 2 -|3 x -5|=5| x | 9. | x +5|=|2 x -3- x 2 | 10. 3|2 x 2 +4 x +1|=| x 2 +5 x +1| 11.|2 x - y -3|+| x +5 y -7|=0

Слайд 36

Логарифмические уравнения

Слайд 37

При решение логарифмических уравнений применяют, такие преобразования, которые не приводят к потери корней, но могут привести к приобретению посторонних корней. Поэтому проверка каждого из полученных корней путем подстановок и их в исходное уравнение обязательно, если нет уверенности в равносильности уравнений. Проверку найденных корней можно заменить нахождением области определения уравнений. Тогда корнями уравнения, будут те числа, которые принадлежат этой области.

Слайд 38

логарифмических Методы решения уравнений.

Слайд 39

1)Решение логарифмических уравнений на основании определения логарифма . (2 x +1)=2 2 x +1 = 2 x +1=9 X =4 ( 2×4+1)= Проверка 9=2 Ответ:х=4

Слайд 40

2)Метод приведения логарифмических уравнений к квадратному. ( +1)=2 ОДЗ: = = X По определению логарифма ( x +1 =2 +1 +2x+1= +1 -2x=0 =0 =2 Ответ: х=2

Слайд 41

3) Метод потенцирования ) ОДЗ = = = 0 Применяя метод потенцирования, получили Х=6- +х-6=0 =2, =-3 –п.к Ответ:х=2

Слайд 42

4)Метод приведения логарифмов к одному основанию. Используя формулу =2 n f ( x ) Где а ,а 1, n z . =2 n | |, где a , a . ОДЗ: -5 0 +5x-6=0 + =-5 =-6

Слайд 43

5)Метод логарифмирования ОДЗ: = = x = = 1+ , 2 1+ 2 X =3 ОДЗ

Слайд 44

Решить уравнение показательные по образцу. -6 =4 ОДЗ: = = Ответ: Х =1 )= ОДЗ: р.м.п У= У=0= Д=4+24=28 = х 1- ; ;

Слайд 45

=6+2х- = Ответ:х=-1,х=2 1) =0 2) 3)

Слайд 46

Решить логарифмические уравнения, упростив правую часть. 1) 2) 3) 4)

Слайд 47

Решить уравнение по образцу 2 Х=0 ∉ ОДЗ , х= Ответ: х=

Слайд 48

Решите уравнения, приведя к логарифмам с одинаковыми основаниями. lg (x+2) + 3 +26)=0 3 ) +log 3 (-x-1)=0 2 +x-5)+ =log 3 -log 4 =-9

Слайд 49

Решить уравнения X log 3 x-3= 0,1x1+lgx=1 Xlog4x=23(log4x+3)=0 log3x-log3(x+8)=-log3(x+3) log2(x+1)+log2(x+2)=1 2log4(4-x)=4-log2(-2-x) log2(x+1)=1+2log2x lg(x+ )-lg(x- )= lg(x+6)- lgx log 2 -1=log 2 5x 2 -8x+5 =0 Log2 (24-x-2x+7)=3-x 2log 2 (1- )=3log 2 (2+ )+12 4log 7 ( ( ) 0,75 ) = X 2log 2 x +3 -6=0 -4+log2(5-log0,2125)x2-x=0 Log 2 2 Log2(log5x)=1 2 +7=0 Lg2(x+1)=lg(x+1)lg(x-1)+2lg2(x-1) 3log2x2-log22(-x)=5 log x log 2 5 x=-1 log 3 |x+8|+ log 3 x 4 =2

Слайд 50

Решить уравнение Log3x+7(9+12x+4x2)+log2x+3(6x2+23x+21)=4 log(100x 3 )lg =8 log 6 (x+5)+ log6x 2 =1 = Log 3 (x+2)(5x)-log 3 Log4log2x+log2log4x=2 -log 7 7= 4 -log 2 4=log 7 7x lg +lg log23x+ log2x3+3log3x+3logx3=2 2log3xlog2x+2log3x-log2x-1=0

Слайд 51

Метод монотонности функций. Теорема 1 . Если одна из функций возрастает, а другая убывает на промежутке, то уравнение f ( x )= g ( x ) имеет не более одного корня. Теорема 2 . Если одна функция возрастает (убывает), а вторая принимает постоянные значения на некотором промежутке, то уравнение имеет не более одного корня.

Слайд 52

Алгоритм решения уравнения методом использования монотонности. 1.Иследовать на монотонность функции f ( x ) и g ( x ) в О.О.У 2.Если выполняются условия теоремы f ( x ) и g ( x ) и удается подобрать удовлетворяющие уравнению f ( x )= g ( x ), то -единственный корень этого уравнения , ( )-функция возрастает т.к возрастает и возрастает и в правой части уравнения постоянная функция, то уравнения имеет один корень. 9+16=25 25=25

Слайд 53

, возрастает функция и -возрастающая и ( )-возрастающая функция ,в правой части постоянная функция. Х=1, 6- 4 Х=2, 36-16 Х=3 , 216-64=152

Слайд 54

Х=1 , + Х=4, - -функция убывает, а -возрастает, теорему не применять Ф.М.У а= У=х-4,а=1 прямая направлена Применяем теорему: уравнений имеет один корень Х=3 , -1=-1, Х =3

Слайд 55

Уравнение с завуалированным обратным числом. ( ) x +( ) x =8 (4+ )=16-16=1= 4+ =t t ( ) =1= 4- = t+ =8| t t2-8t+1=0 д =b2-4ac=64-4=60 t 1,2 = = =4 ( ) x =(4+ ) ( ) x =(4- ) =1 = -1 X =2 x = -2

Слайд 56

Например! ( ) x + ( ) x =6 ( ) x + ( ) x =10

Слайд 57

Используемая литература С.М.Никольский- алгебра 10-11класс Ш.А .Алимов и др- алгебра 10-11класс Справочник по математике 5-11 класс Т.С. Кармакова -элективный курс «Методы решения нестандартных уравнений»