Метод интервалов
методическая разработка по алгебре на тему

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

I. Использование метода интервалов для решения квадратных  неравенств.

1).         - при переходе через корни знак изменяется;

- знак справа от большего корня совпадает со знаком старшего коэффициента.

2).        - два одноименных корня

3).        - корней нет.

4).        

Эти закономерности верны для любой функции, если она представляет собой многочлен:

• Функция при переходе через корень меняет свой знак, но если этот корень встречается дважды, то функция знак не меняет
• Совпадают знаки справа от большего корня и старшего коэффициента.

Задача формализуется:

ось разбивается корнями на интервалы.

Алгоритм:

1. Найти корни;
2. Нанести корни на числовую ось (если строгое - ○, нестрогое - ●);
3. Отметить четные корни;
4. Определить знак справа от большого корня можно подстановкой, либо по знаку старшего коэффициента;
5. Расставить остальные знаки;
6. Записать ответ с учетом знака неравенства.

Квадратное неравенство решается с 0 в правой части. Решается не х2-3х≥4, а х2-3х-4≥0.

1)        х2-7х+6≤0                2)        х2-5х-6>0

        х2-7х+6=0                                                        х2-5х-6=0

        х1=1,         х2=6                                                        х1=6,         х2=-1

        Ответ: 1≤х≤6                                                Ответ: х<-1, х>6

3)        х2-1≥0                4)        -2х2+3>0

        х2-1=0                                                        Запретить менять знаки

        х2=1,         х=±1                                                во избежание ошибки

                                                                -2х2+3=0

        Ответ: х≥1, х≤1

                                                        Ответ: <х<

5)         х2+5≥0                6)        а) -2х2-7<0

        х2+5=0                                                                корней нет

        х2=5

        корней нет

                                Ответ: х – любое

Знак по всей оси сохра-                        б) -2х2-7>0

няется одинаковый – это                                                 корней нет

знак старшего коэффициента                                

Ответ: х – любое

                                Ответ: решения нет.

                                Можно прорешать >0, <0, ≤0.

7)         х2-2х+1≥0                8)        х2-6х+9≤0

        х2-2х+1=0                                                        х=3 – 2 раза

        х=1 – 2 раза

Ответ: х – любое                                                         Ответ: х=3 (изомер. точка)

Обобщение метода интервалов:

Так как при переходе через корень знак меняет только один сомножитель, значит этот знак меняет и вся функция, если корень встречается четное число раз, то знак меняет четное число сомножителей, значит функция свой знак не меняет, таким образом методом интервалов можно решить любые неравенства, левая часть которых – многочлен (возможно разложение на множители).

1. (х2-4х+3)(1+х-2х2)≤0

х2-4х+3=0                                                1+х-2х2=0

х1=3, х2=1                                                х2-1/2х-1/2=0

                                                        х1=1, х4=1/2

Ответ: х≤-1/2, х=1, х≥3.

2. х4+2х3+2х2+2х+1<0

х4+2х3+2х2+2х+1<0

(х2+1)2+2х(х2+1)=0

(х2+1)( х2+1+2х)=0

        корней нет                х1,2=-1

Ответ: решений нет.

3)        (х-1)(2-х)>0                4)        

 или                                  или

         решений нет                                Ответ: 1<х<2.

Ответ: 1<х<2.

Показали, что решение одинаково

Если (х-1)(2-х)≥0                                        

Ответ: 1≤х≤2                                        Ответ: 1≤х<2.

Дробно-рациональные неравенства также решаем методом интервалов, но находим корни знаменателя и числителя только в случаях полного неравенства.

1)

1-х2=0                                        х2-3х-4=0

х=±1                                        х1=4, х2=-1

Ответ: х<-1, -1≤х≤1, х>4

2)

=0                                        1-3х=0

х2(х+2)=0                                        

х1,2=0                        х3=-2                 х4=1/3

4-х2=0

х5=2,                        х6=-2

3)                 

                        х2+3=0                        х-3=0

                        корней нет                х=3

Ответ: х<3

4)                         т.к. числитель <0, то знаменатель строго >0.

-3=0        - корней нет

2х+5=0

х=-2,5.

Ответ: х>2,5

5)                                

Корни числителя:         х=6        - 2 раза        Корни знаменателя:                 х=-1        - 4 раза

                        х=3        - 3 раза

Кроме старшего коэффициента надо смотреть еще и на степень.

Ответ:                х≥3.        Если уравнение ≤0, то ответ: х<-1, -1<х≤3, х=6.

6)        

Корни числителя:         х=6        - 2 раза        Корни знаменателя:                 х=0        - 5 раз

                        х=3        - 3 раза                                        х=1        - 4 раза

Ответ:                0<х<1, 1<х≤3, х=6.

7)        

Корень числителя:         х=1                Корень знаменателя:                 х=0.

Ответ:                х<0, х>1.

8)        

Корень числителя:         нет                Корень знаменателя:                 х=4.

Ответ:                х>4.

9)        

Корень числителя:         нет                Корень знаменателя:         х=1,        х=-1.

Ответ:                -1<х<1.

10)                        Лучше не сокращать во избежание ошибок.

Корни числителя:         х=0        - 4 раза        Корни знаменателя:                 х=0        - 5 раз

                        х=1                                                        х=2

Ответ:                х<0         1≤х<2.

Типичные ошибки!

11)                        Сокращаем        

Корни числителя:         х=0        х=1        Корни знаменателя:                 х=2

Должно быть

Ответ:                х<0         1≤х<2.

12)        

Должно быть:

1≤х<2