Решение задач по теме «Случайные события и их вероятности»
консультация по алгебре (10 класс) на тему

Решение задач по теме «Случайные события и их вероятности»

Мордкович А.Г., Семенов П.В., События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры. - М.: Мнемозина,2005.

            1. События достоверные, невозможные и случайные.

1. Охарактеризуйте событие, о котором идёт речь, как достоверное, невозможное или случайное. Оцените его словами «стопроцентная вероятность», «нулевая вероятность», «маловероятно», «достаточно вероятно»:

  а) день рождение моего друга  - число, меньше чем 32;

  б) на уроке математики ученики делали физические упражнения;

  в) на уроке математики ученики решали математические задачи;

  г) сборная России по футболу станет чемпионом мира в 2006 году;

  д) сборная России по хоккею станет чемпионом мира в 2006 году;

  е) из интервала (1; 2) наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

  ж) из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось натуральным;

  з)  из отрезка [1; 2] наугад взяли какое-то число, оно оказалось смешанным;

  и) вверх подкинули монету, и она упала на землю «орлом»;

  к) вверх подкинули монету, и она упала на землю, встав на ребро.

Решение.

а) Достоверное событие, стопроцентная вероятность (в каждом месяце меньше 32 дней).

б) Случайное событие, маловероятно, если в школе нет обязательных физических пауз на уроках.

в)  Достоверное событие, стопроцентная вероятность, если это действительно был урок математики, а не какое-либо мероприятие в это время.

г)  Случайное событие, маловероятно.

д)  Случайное событие, достаточно вероятно.

е) Невозможное событие, нулевая вероятность: в интервале (1; 2) нет натуральных чисел.

ж) Случайное событие, нулевая вероятность. Это сложный, тонкий вопрос, связанный с так называемым геометрическим определением вероятности, которое авторами дополнения [2] вообще не рассматривается. Авторы, видимо, ожидали ответа: случайное событие, маловероятно. Отрезок  [1; 2] действительно содержит два натуральных числа, но вероятность извлечения каждого из них равна нулю: одно число – это точка на отрезке, а общее количество точек на любом отрезке бесконечно велико. Мы советуем не предлагать этот вопрос учащимся, особенно на первых этапах обучения элементам теории вероятностей.

з) Случайное событие, достаточно вероятно (кроме смешанных, то есть рациональных чисел, отрезок содержит также иррациональные числа, например ,, и т.п.).

и) Случайное событие, достаточно вероятно.

к) Случайное событие, маловероятно. Отметим, что, рассматривая эксперимент с бросанием монеты, полагают, что она имеет два возможных исхода: орёл или решка. Физически возможна и остановка монеты на ребре, но в таких (очень редких) случаях обычно считают, что эксперимент состоялся.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) достоверное; г) случайное; д) случайное; е) невозможное; ж) случайное; з) случайное; и) случайное; к) случайное.

2. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Вы открыли эту книгу на любой странице и прочитали первое попавшееся существительное. Оказалось, что:

а)         в написании выбранного слова есть гласная буква;

б)        в написании выбранного слова есть буква «о»;

в)         в написании выбранного слова нет гласных букв;

      г)        в написании выбранного слова есть мягкий знак.

Ответ: а) достоверное; б) случайное; в) невозможное; г) случайное.

 3. Охарактеризуйте событие, о котором идет речь, как достоверное, невозможное или случайное.

Даны два интервала (0; 1) и (5; 10). Из первого интервала выбрали число а, из второго - число с. Оказалось, что:

а)         число а меньше числа с;

б)        число а больше числа с;

в)         число а+с принадлежит интервалу (5; 10);

г)         число а+с не принадлежит интервалу (5; 10).

Решение.

а)         Событие достоверное, так как любое число из интервала (0; I)
меньше любого числа из интервала (5; 10).

б)  Событие невозможно (см. пункт а).

в)          Событие случайное. Оно происходит, когда 5<а+с<10, и
не происходит, если это неравенство не выполняется. Легко видеть,
что все возможные значения суммы, а + с принадлежат интервалу

(5; 10).

г)          Событие случайное. Оно происходит, когда 10<а+ с<11

(см. пункт в).

Ответ:  а) достоверное; б) невозможное; в) случайное; г) случайное.

.

4. В мешке лежат 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4
красных. Охарактеризуйте следующее событие как достоверное,
невозможное или случайное:

а)         из мешка вынули 4 шара, и все они синие;

б)        из мешка вынули 4 шара, и все они красные;

в)         из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;

г)         из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного  цвета.

Решение.

а)         Событие невозможное, так как в мешке только 3 синих шара;
четыре синих вынуть нельзя.

б)          Событие случайное, может произойти, может и не произойти.

в)          Событие невозможное, так как в мешке лежат шары только
трех разных цветов.

г)          Событие достоверное, так как в мешке нет шаров черного цвета.

Ответ: а) невозможное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

5. В двух урнах находятся по пять шаров пяти раз
личных цветов: белого, синего, красного, желтого, зеленого. Из
каждой урны одновременно вынимают по одному шару. Охарактеризуйте указанное ниже событие как достоверное, случайное или
невозможное:

а) вынуты шары разного цвета;

б)         вынуты шары одного цвета;

в) вынуты черный и белый шары;

г)         вынуты два шара, причем каждый оказался окрашенным в
один из следующих цветов: белый, синий, красный, желтый, зеленый.

Решение. 

а) Событие случайное.

б) Событие случайное.

      в)         Событие невозможное, так как ни в одной из двух урн нет
шаров черного цвета.

г)         Событие достоверное, так как в каждой урне есть шары указанных цветов, и ни в одной из двух урн нет шаров других цветов.

Ответ: а) случайное; б) случайное; в) невозможное; г) достоверное.

2. Классическое определение вероятности

6.  Случайным образом  выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

 1) оканчивается нулём;

 2) состоит из одинаковых цифр;

 3) больше 27 и меньше 46;

 4) не является квадратом целого числа.

Решение. Общее число двузначных чисел равно n = 9·10 = 90; выбор каждого из них считается равновозможным.

Рассмотрим события:

1. А – «выбранное число оканчивается нулём»;
2. B – «выбранное число состоит из одинаковых цифр»;
3. C – «выбранное число больше 27 и меньше 46»;
4. D – «выбранное число не является квадратом целого числа».

Количество благоприятствующих исходов для каждого из этих событий найдём непосредственным подсчётом вариантов:

 mA = 9 (числа 10,20,30,40,50,60,70,80,90); P(A) = =.

 mB = 9 (числа 11,22,33,44,55,66,77,88,99); P(B) = =.

 mC = 18 (числа 28,29,30-39,40,41,42,43,44,45); P(C) = .

 mD  = 84 (квадратами являются шесть чисел: 42=16,  52=25,  62=36, 72=49,82=64, 92=81.; не являются квадратами 90-6=84 числа); P(D) = .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

7.   Двузначное число составили из цифр 0, 1, 2, 3, 4. Какова вероятность того, что это число:

а) четное; б) нечетное; в) делится на 5; г) делится на 4?

Решение. Найдем общее число возможных вариантов (исходов). В старший разряд составляемого двузначного числа можно поставить любую из данных цифр, кроме нуля; всего 4 варианта. В младший разряд можно поставить любую из 5 данных цифр (повторения допускаются); получаем n=4·5 =20.

Рассмотрим события:  А - «число четное»; В - «число нечетное»; С -«число делится на 5»; D - «число делится на 4».

Найдем количество благоприятствующих исходов и вероятности.

а) тA =4 (любая первая цифра, кроме нуля)(вторая цифра четная 0,2,4)= = 12; P(A) = .

б) тB =4 (любая первая цифра, кроме нуля) (вторая цифра нечетная)=8;

P(B) = .

в) тс = 4 (первая цифра, кроме нуля) (вторая цифра - 0) = 4;

.

г)  На  четыре   делятся    двузначные    числа,   удовлетворяющие     условию  

N = 4·к, где к в нашем случае может принимать одно из 6 значений: 3, 5, 6, 8, 10, 11 (чтобы использовать при записи только данные в условии цифры), следовательно, mD = 6; .

Ответ: а) 0,6; б) 0,4; в) 0,2; г) 0,3.

8.  Из четырех тузов случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

а) обе карты - тузы черной масти;

б)         вторая карта - пиковый туз;

в)         первая карта - туз красной масти;

г)        среди выбранных карт есть бубновый туз.

Решение. Найдем общее число возможных исходов. Первой может быть выбрана любая из 4 карт, второй - любая из оставшихся; следовательно, n= 4 · 3 = 12.

Обозначим описанные события порядковыми буквами латинского алфавита и найдем количество благоприятствующих исходов для каждого из событий и их вероятности:

а) mA = 2 (выбор первого туза чёрной масти) (выбор второго) =2;

P(A) = .

б) mB=3 (выбор первого туза – кроме пикового)(выбор второго – пикового) = 3;   P(B)=.

в) mC = 2 (выбор первой карты из тузов красной масти)(выбор второй карты из оставшихся) = 6; P(C) = .

г) Туз бубей может оказаться первым или вторым: mD=1 (первый бубновый туз)(вторая карта) +3(выбор первой карты кроме туза бубей) (вторая карта – туз бубей) = 3+3=6; P(D) = .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

9.   Из четырех тузов случайным образом одновременно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

а)        обе карты - тузы черной масти;

б)        среди выбранных карт есть пиковый туз;

в)        среди выбранных карт есть туз красной масти;

г) среди выбранных карт нет бубнового туза.

Решение. Общее число исходов n===6 (карты вытаскиваются одновременно, порядок расположения не имеет значения).

Обозначим описанные события последовательными латинскими буквами, найдем для каждого события количество благоприятствующих исходов и вероятность.

а) mA = C=1; P(A) =

б) mB = C (одна карта – пиковый туз)  С ( выбор одной карты из трёх оставшихся) = 3; P(B) = .  

в) mC=C(выбор одного туза красной масти из двух) C(выбор второй карты из двух черных тузов)+ C (выбор сразу двух тузов красной масти из двух) = 4 + 1 = 5;

P(C) =.

г) mD = C (выбираем две карты из трех, без бубнового туза) =                 P(D) = .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

10.  Из пяти карт: четырех тузов и дамы пик случайным образом поочередно вытащили две карты. Найдите вероятность того, что:

а)        обе карты - тузы черной масти;

б)        вторая карта - пиковый туз;

в)        первая карта - туз красной масти;

г)        среди выбранных карт есть бубновый туз.

Решение. Находим общее число возможных исходов: п = 5·4 = 20 (пять вариантов выбора первой карты и четыре - второй).

Обозначим события латинскими буквами  А, В, С, D и найдем для каждого события количество благоприятствующих исходов и вероятность.

а) mA = 2 (выбор первого туза черной масти)  1 (выбор второго) = 2;

       P(A) =.

б) mB = 4 (выбор первой карты - кроме пикового туза)  1 (выбор пикового туза) = 4;

        P(B) = .

в) mC = 2 (выбор первого туза красной масти)  4 (выбор любой второй карты) = 8;

        P(C) = .

г) Туз бубей может оказаться первым или вторым, mD = 1 (берём бубнового туза) 4 (вторая карта) + 4 (первая карта кроме бубнового туза)  1 (вторая карта – туз бубей) = 4+4 = 8;

         P(D) = .

Ответ: а) 0,1; б) 0,2; в) 0,4; г) 0,4.

11.   В коробке «Ассорти» - 20 неразличимых по виду конфет, из которых 12 с шоколадной начинкой и 8 с фруктовой начинкой. Тане разрешили взять две конфеты. Какова вероятность того, что:

а)         обе конфеты окажутся с любимой Таниной начинкой - шоколадной;

б)         обе конфеты - с фруктовой начинкой;

в)         конфеты - с разными начинками;

г)         чему равна сумма вероятностей в пунктах а), б), в)?

Решение. Исходы - все возможные пары конфет, выбранные из коробки без учета порядка выбора; общее число исходов  n= C= =190

Рассмотрим события:

а) А - «обе выбранные конфеты с шоколадной начинкой»;

mA = C (выбор 2 из 12 с шоколадной начинкой) = ;

P(A) = .

б) В – «обе выбранные конфеты - с фруктовой начинкой»;

mB = C==28; P(B) = .

в) С – « выбранные конфеты - с разными начинками»;

mC = C·C = 12·8 =96; P(C) =  .

г) Сумма вероятностей

P(A)+P(B)+P(C) = , поскольку при каждом повторении опыта обязательно происходит одно из событий: A, B, или C (других альтернатив просто нет).

Ответ: а) 0,35; б) 0,15; в)  0,51; г) 1.

12. Случайным образом одновременно выбирают две буквы из 33 букв русского алфавита. Найдите вероятность того, что:

а)        обе они согласные;

б)        среди них есть «ъ»;

в)        среди них нет «ъ»;

г)        одна буква гласная, а другая согласная.

Решение. Исходы - все возможные пары букв русского алфавита без учета порядка их расположения; общее число возможных исходов

   n = C =.=528

Рассмотрим события:

а)  A -  «обе выбранные буквы – согласные».  Поскольку в русском языке 21 согласная буква, 10 гласных и 2 буквы («ь» и «ъ») не обозначающие звуков, то событию А благоприятствует mA = C= =210 вероятность события  A равна  P(A) = .

б)  B – «среди выбранных букв есть «Ъ»; mB = C (выбор твёрдого знака)  С (выбор второй буквы из оставшихся) = 1·32 = 32;

P(B) = .

в)  C – «среди выбранных букв нет «Ъ» »;

mC = C ==496;  P(C) = .

г)  D – «среди выбранных букв одна гласная, а другая согласная»; mD = C(выбор гласной)  С (выбор согласной) = 10·21 = 210; вероятность P(D) = .

Ответ: а) ; б) ; в); г) .

13.  В клетки квадратной таблицы 2x2 произвольно ставят крестики и нолики. Найдите вероятность того, что:

а)  будет поставлен ровно один крестик;

б) будут поставлены ровно два нолика;

в)  в левой нижней клетке будет стоять крестик;

г)  в верхней левой и нижней правой клетках будут разные значки.

Решение. Исходами являются все возможные варианты заполнения клеток квадратной таблицы 2x2 крестиками и ноликами. Каждую из 4 клеток можно заполнить двумя способами (крестиком или ноликом); каждый вариант заполнения клетки сочетается с каждым вариантом заполнения остальных клеток. Общее число вариантов заполнения  п = 2 · 2 ·2 · 2 = 16.

  Рассмотрим события:

а)  А - «таблица заполнена одним крестиком и тремя нулями»; mA = 4 (выбираем одну клетку из четырёх для крестика, остальные клетки заполняем нулями). Вероятность P(A) = .

б) B – «в таблице поставлены ровно два нолика»; mB = C=  =6 (выбираем два места из четырёх без учёта порядка, так как перестановка нулей на двух местах ничего не меняет). Вероятность P(B) = .

в) С – «в левой нижней клетке будет стоять крестик»; mC = 2·2·2=8 (оставшиеся три клетки заполняем всеми возможными способами).                                      Вероятность P(C) = .

г)  D  -  «в  верхней левой и нижней правой клетках будут различные значки»;   mD=2·2+2·2=8 (заполняем две оставшиеся клетки всевозможными способами при двух случаях заполнения фиксированных клеток: в верхней левой - крестик, в нижней правой - нолик, а затем наоборот: нолик - крестик).

Вероятность P(D) = .

Ответ: а); б) ; в) ; г).

3.Вероятность противоположного события

14.   Ниже перечислены разные события. Укажите противоположные им события.

   а) Мою новую соседку по парте зовут или Таня, или Аня.

   б) Явка на выборы была от 40% до 47%.

    в) Из пяти выстрелов в цель попали хотя бы два.

    г) На контрольной я не решил, как минимум, три задачи из пяти.

Решение.    а) Мою соседку по парте зовут не Таня и не Аня.

    б) Явка на выборы была менее 40% или более 47%.

    в) Из пяти выстрелов в цель попали менее двух раз.

    г) На контрольной я решил максимум две задачи из пяти.

15.  Случайным образом выбрали целое число из промежутка [100; 200). Найдите вероятность того, что:

а)         оно не оканчивается нулем;

б)        среди его цифр есть хотя бы одна цифра больше 2;

в)         оно не является квадратом целого числа;

         г) сумма его цифр меньше 17.

Решение. Промежуток [100; 200) содержит 1·10·10=100 чисел; п=100, выбор любого из этих чисел равновозможен.

Рассмотрим события: А - «выбранное число не оканчивается нулем»; B - «среди цифр выбранного числа есть хотя бы одна цифра больше 2»; С - «выбранное число не является квадратом целого  числа»; D - «сумма цифр выбранного числа меньше 17».

Количество благоприятствующих исходов для каждого из этих событий подсчитаем, исключая «ненужные» варианты.

Количество чисел, оканчивающихся нулем, равно 1·10·1=10, поэтому тА=п-10=90.

Количество  чисел,  составленных  только  из   цифр  не больше 2, равно

1·3 ·3 = 9, поэтому mB = п- 9=91.

Количество чисел, являющихся квадратом целого числа, подсчитаем непосредственно: 100, 121, 144, 169, 196 - всего 5 чисел, поэтому тC = п - 5 = 95.

Количество чисел, сумма цифр которых не меньше 17, находим, составляя пары цифр (с учетом порядка), сумма которых не меньше 16 (первая цифра у нас всегда 1, сумма двух  должна быть не меньше 16): 99,98,97,88,89,79 – всего 6 пар и 6 соответствующих чисел. Следовательно, mD = n – 6 = 94.

Теперь вычисляем искомые вероятности:

P(A) =

P(B) =

P(C) =

P(D) = .

Ответ: а) 0,9; б) 0,91; в) 0,95; г) 0,94.

16. Игральную кость бросили дважды. Найдите вероятность того, что:

1. среди выпавших очков хотя бы одна единица;
2. сумма выпавших очков больше трех;
3. сумма выпавших очков меньше 11;
4. произведение выпавших очков меньше 27.

Решение. Общее число возможных исходов при двух бросаниях кости равно п = 6 · 6 = 36.

Рассмотрим события: А - среди выпавших очков есть хотя бы
одна единица; В - сумма выпавших очков больше трех; С - сумма
выпавших очков меньше 11; D - произведение выпавших очков
меньше 27.        

Количество исходов, благоприятствующих каждому из этих событий, найдем исключением «ненужных» вариантов.

Исходов,  в  котором  нет  ни  одной  единицы,  всего 5·5 = 25,  поэтому

тА = п - 25 = 11.

Исходов, в которых сумма очков не больше 3, всего 3 (это 1-1, 1-2, 2-1), поэтому тB= п - 3 = 33.

Исходов, в которых сумма очков не меньше 11, всего 3 (это 5-6, 6-5 и 6-6), поэтому mC = п - 3 = 33.

Исходов, в которых произведение очков не меньше 27, всего 3 (это 5-6, 6-5 и 6-6), поэтому mD = п - 3 = 33.

Искомые вероятности:

     P(A) =.

      P(B) = .

      P(C) = .

      P(D) = .

Ответ: а) ; б) ; в) ; г) .

17.  Назовите событие, для которого противоположным является такое событие:

а)         на контрольной работе больше половины класса получили
пятерки;

б)         все семь пулек в тире у меня попали мимо цели;

в)         в нашем классе все умные и красивые;

Решение.   а) «На контрольной работе пятерки получили не более половины класса», или « на контрольной работе больше половины класса не получили пятерки».

Этим двум событиям соответствует одно и то же подмножество исходов, являющееся дополнением к подмножеству исходов, соответствующему событию, сформулированному в условии задачи. 

б)        «В тире хотя бы одна пулька из семи у меня попала в цель».

в)         «В нашем классе есть хотя бы один не умный или не красивый». 

г)         в кошельке у меня есть или три рубля одной монетой, или
три доллара одной бумажкой.

г)         «В кошельке у меня нет трех рублей одной монетой и нет трех долларов         одной бумажкой». Исходное событие можно записать как 3p$3 а противоположное - как .

Ответ: 4 противоположных события.

18.  Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что:

1. Она не является дублем;
2. на ней не выпала «тройка»;
3. произведение очков на ней меньше 29;

4)модуль разности очков больше единицы.
Решение. Общее количество костей домино n = 28; выбор каждой из них считаем равновозможным.

Находим вероятности событий:

1. A –«выбранная кость не является дублём»; mA=28–7 (количество дублей) равно 21;  P(A) =  .
2. B – «на выбранной кости не выпала  тройка»; mB =28 –7 ( количество костей с тройкой) = 21; P(B) = .
3. С – «на выбранной кости произведение очков меньше 29».

 Подсчитаем  количество  костей,  на которых  произведение  очков больше  29: это 5 – 6 и 6 – 6; следовательно, mC = 28 – 2 = 26; P(C) =  .

4. D – «на выпавшей кости модуль разности очков больше единицы».

Подсчитаем количество костей, на которых разность очков равна 0 или 1: это 7 дублей и кости  0 – 1,  1 – 2,  2 – 3,  3 – 4,  4 – 5,  5 – 6, всего 7 + 6  = 13 костей; следовательно,             mD = 28 – 13 = 15;  P(D) = .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

4. Вероятность суммы несовместных событий

19.   Совместны ли следующие события?

а)        А - у случайным образом составленного квадратного уравнения есть действительные корни; В - дискриминант уравнения отрицателен.

б)        А - у случайным образом составленного квадратного уравнения нет действительных корней; В - дискриминант уравнения
неположителен.

в)        А - случайным образом выбранная функция у = f(x) всюду монотонно возрастает; В – f(99)

      г)        А- случайным образом выбранная последовательность является геометрической прогрессией; В - первые два члена последовательности положительны, а следующие два - отрицательны.

Решение.

а)        События несовместны, так как квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом (В) не может иметь действительных корней (А)

б)        События совместны: если А наступило, то дискриминант уравнения отрицателен; при этом наступает и В (дискриминант неположителен).

в)        События совместны, так как если функция всюду монотонно возрастает (A),то f(х)2) при всех х1<х2  области определения функции, то есть  f(99)    (событие В).

г)        События несовместны, так как если последовательность является геометрической прогрессией (событие А), то все члены ее имеют одинаковые знаки, если знаменатель q>0, либо каждые два соседних члена имеют разные знаки, если  q < 0. Таким образом, если А  наступило, то В  произойти не может.

Ответ: а) несовместны; б) совместны; в) совместны; г) несовместны.

20.  Опишите, в чем состоит сумма следующих несовместных событий.

       а) Учитель вызвал к доске ученика (событие А), ученицу (событие В).

       б) «Родила царица в ночь, не то сына (событие А), не то дочь (событие   В)...».

       в) Случайно выбранная цифра меньше 5 (событие А), больше 6 (событие В).

        г) Из 10 выстрелов в цель попали ровно 7 раз (событие А), не более 6 раз (событие В).

Решение.

а)         Учитель вызвал к доске ученика или ученицу (АВ).

б)         Царица родила сына или дочь (АВ).

в)         Случайно выбранная цифра меньше 5 или больше 6, (АВ, то есть это одна из  цифр 0, 1,2, 3, 4, 7, 8, 9).

г)         Из десяти выстрелов в цель попали не более 7 раз (АВ, то есть число попаданий 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 раз).

Ответ: 4 сложных события, являющихся суммой двух несовместных событий.

21.  В темном ящике 5 выигрышных билетов и 4 проигрышных. Вы случайно вытаскиваете 3 билета. Найдите вероятность того, что:

а)         все билеты выигрышные;

б)        есть ровно один проигрышный билет;

         в) есть ровно два выигрышных билета;

         г) есть хотя бы один выигрышный билет.

Решение. В ящике всего 9 билетов. Исходы - все возможные наборы по 3 билета без учета порядка их расположения в наборе; общее число  исходов

n = =84.

     Рассмотрим события:

     а) А - «все три извлечённых билета – выигрышные»;

mA = C = C = = 10.

Вероятность P(A) = .

     б) В -  «среди трёх извлечённых билетов ровно один проигрышный»;

mB = C·C (к одному из 4 проигрышных выбираем ещё два выигрышных билета) = 40;

P(B) = .

     в) С - «среди трёх извлечённых билетов  есть ровно два выигрышных»;

mC = C (выбор двух выигрышных) = 40;

P(C) = .

     г) D -  «среди трёх извлечённых билетов есть хотя бы один выигрышный»;

mD=n–C (выбор всех трёх проигрышных)=84–4=80; благоприятствующие исходы мы нашли, отняв  от числа всех исходов «ненужные» исходы.

Вероятность P(D) = .

Ответ: а); б) ; в); г) .

22.  Из  колоды в 36 карт  случайным образом одновременно вытаскивают 2 карты. Найдите вероятность того, что:

     а) обе они черной масти;

     б) обе они пиковой масти;

     в) обе они трефовой масти;

     г) одна из  них пиковая, а другая трефовой масти.

Решение. Исходы – все возможные пары карт из 36 карт в колоде; общее число исходов             n = C ==630.

Рассмотрим события:

     а) А – « обе карты чёрной масти»; mA = C = =153 (выбор двух карт из 18 карт чёрной масти).

  Вероятность P(A) = .

        б) В – «обе карты пиковой масти»; mB = C = = 36.

   Вероятность P(B) = .

        в) С – «обе карты трефовой масти»; mC = C = 36 (то же, что задание б)).

   Вероятность P(C) =

        г) D – «одна карта пиковой, а другая трефовой масти»; mD = C·C = 9·9=81.

    Вероятность P(D) = .

Ответ: а); б) ; в) ; г).

Замечание. Значение вероятностей предпочтительнее выражать простыми дробями, поскольку это всегда дает точное значение. Десятичные дроби во многих случаях могут выразить лишь приближённое значение вероятности.

23.    Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах, приближенно) вероятность того, что на вашей карточке, где отмечены 6 чисел, верно, угаданы: а) 0 чисел; б) 1 число; в) 2 числа; г) 3 числа?

Решение. Исходами являются все возможные наборы по 6 чисел, составленные из 49 чисел карточки; порядок расположения чисел в наборе значения не имеет. Общее число исходов

n=C==13983816.

Рассмотрим события:

     а) А – «на нашей карточке ни одно число не совпало с числами в выигрышном наборе, то есть мы угадали 0 чисел»;

   mA = C = 6096454 (всевозможные сочетания из 43 чисел, не попавших в выигрышный набор).

   Вероятность P(A) =  или 43,6%.

   б) В – «в нашей карточке угадано 1 число»;

    mB =6·C (одно число из  6 чисел из выигрышного набора  дополняем пятью числами из не попавших в выигрышный набор); C = C·  = 962598;   mB = 5775588.

      Вероятность P(B) =  или 41,3%.

    в) С – «на нашей карточке  угадано 2 числа»; mC = C·C (любую из этих возможных пар выигрышных чисел дополняем четырьмя числами из не попавших в выигрышный набор); C = 15;  C = С· =  123410;

 mC = 1851150.

    Вероятность P(C) =  или 13,2%.

    г) D – «в нашей карточке угаданы 3 числа»; mD = C·C (к каждому сочетанию из трёх выигрышных чисел добавляем три числа из не попавших в выигрышный набор);

  C = 20;  C = C· = 12341;  mD = 246820.

      Вероятность P(D) =   или 1,77%.

Ответ: а) 43,6%; б) 41,3%; в) 13,2%; г) 1,77%.

24.  Карточка «Спортлото» содержит 49 чисел. В итоге тиража выигрывают какие-то 6 чисел. Какова (в процентах) вероятность того, что на карточке вы верно угадали:

    а) хотя бы одно число;

    б) не более одного числа;

    в) не менее трёх чисел;

    г) 4,5  или 6 чисел?

Решение. Исходами являются все возможные наборы  по 6 чисел из 49, общее число исходов n = C = 13983816.

Рассмотрим события:

     а) Е – «на нашей карточке угадано хотя бы одно число»; mЕ  удобнее всего найти исключением «ненужных» вариантов (угадано 0 чисел).

mЕ= n – mA = 13983816 – 6096454 = 7887362.

 Вероятность P(E) =  или 56,4%.

     б) F – «на нашей карточке угадано не более одного числа»; это значит, что угадано 0 или 1 число, то есть по комбинаторному правилу суммы mF + mB =                  6096454 + 5775588 = 11872042.

Вероятность P(F) =  или 84,9%.

      в) G – «на нашей карточке угадано не менее трёх чисел»; то есть мы получим какой-нибудь выигрыш. mG = n – mA – mB – mC = n – mF – mC  (вычитаем «ненужные « варианты: угадано 0 чисел или 1 число (mF) и 2 числа (mC).

mG = 13983816 – 11872042 – 1851150 = 260624.

Вероятность P(G) =  или 1,9%.

       г) H – «на нашей карточке угадано 4,5 или 6 чисел».

Можно считать исходы, благоприятствующие 4,5,6 угаданным числам, а потом сложить найденные величины. Проще поступить иначе: из числа исходов, благоприятствующих событию G (угадано менее 3 числа), вычесть число исходов, благоприятствующих событию D (угадано 3 числа), то есть mH = mG – mD =     260624 – 246820 = 13804.

Вероятность угадать 4,5 или 6  чисел, то есть получить более крупный или крупный выигрыш, равна P(H) =  или 0,1%.

Покупая лотерейные билеты, помните, как малы Ваши шансы на выигрыш!

Ответ: а) 56,4%; б) 84,9%; в) 1,9%; г) 0,1%.