Прототипы заданий № 21-№ 24 для подготовки учащихся к ОГЭ (ГИА) по математике.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (8, 9 класс) на тему

Прототип задания №21.

1.Решить уравнение:

1)   х3 = х2 +6х;

2) х3 +4х2 =9х+36;

3) х3 +5х2 -9х-45=0;

4) х3 -3х2 = 4х-12;

5) 2х4 +3х3  - 8х2 -12х = 0;

6) 2х4-19х2 + 9 = 0;

7) (х-2)2(х-3)=20(х-2);

8) (х-3)(х-4)(х-5)= (х-2)(х-4)(х-5)

9) (х-2)(х-4)(х-6)= (х-4)(х-5)(х-6)

10) (2х-4)2(х-4)= (2х-4)(х-4)2;

11) (2х-6)2(х-6)= (2х-6)(х-6)2;  

12) (х+5)3=25(х+5)

13) х(х2 +2х +1)=6(х+1)

14) (х2-36)2 + (х2 +4х-12)2=0

15) (х2-4)2 + (х2 -6х-16)2=0

16) х2 -2х +   =  +8

17) х2 -3х +   =  +28

18) х2 -6х +   =  +7

19) х4 = (х-2)2

20) х6 = (5х-6)3;

21) х6 = (6х-8)3;

22)  х6 =(7х-12)3

23)  (х-4)4-4 (х-4)2-21=0

24) (х-2)4 + 3 (х-2)2-10=0

25) (х+6)2 + (х+9)2=2х2

26) (х-1)(х2 +6х+9) = 5(х+3);

27) (х-1)(х2 +8х +16) =6(х+4)

28) (х2-36)2 + (х2 +4х-12)2=0

29) (х2-4)2 + (х2 -6х-16)2 =0

30) (х2-1)2 + (х2 -6х -7 )2=0

31) х -  =3;

32) = ;

 +  =2;

 =1

2. Решить неравенство:

1) 9-х2

2)  (х-1)(3-2х)

3)(5х-9)2  (9х-5)2

4)

5)

6) (х-4)2 (х-4)

 7) (х-11)2(х-11)

 8)  х2 (х2 - 16) 81(16- х2)

9)  х2 ( - х2 - 64) 64 (- х2 -64)

10) х2 ( - х2 - 100) 100 (- х2 -100)

11)  х2 ( - х2 - 36) 36 (- х2 -36)

12) х2 ( - х2 - 81) 81 (- х2 -81)

3. Решить систему  неравенств:

1)

2)

3)   0

4)    

4. Решить систему уравнений:

а)                                        б)    

                                  г)  

д)                        е)

з)

и)  

л)

      Прототип задания №22

1. Два человека  одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,7 км/ч, а другой — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
2. . Два человека  одновременно отправляются из одного и того же места по одной дороге на прогулку до опушки леса, находящейся в 2 км от места отправления. Один идёт со скоростью 3,8 км/ч, а другой — со скоростью 5,7 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их встреча?
3. Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 7 км. Турист прошёл путь из А в В за 2 часа, из которых спуск занял 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?
4. Дорога между пунктами A и В состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 9 км. Турист прошёл путь из А в В за 3 часа, из которых спуск занял 1 час. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньше его скорости на спуске на 3 км/ч?
5. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.
6. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 42 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 28 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
7. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 33 минуты раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 22 минуты после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
8. Из городов А и В навстречу друг другу одновременно выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в В на 40 минут раньше, чем велосипедист приехал в А, а встретились они через 15 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из В в А велосипедист?
9. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 8 км/ч меньше скорости второго.
10. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 3 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 2 км/ч меньше скорости второго.
11. Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
12. Два автомобиля одновременно отправляются в 840-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 4 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, выехал велосипедист. Одновременно с ним из В в А вышел пешеход. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 24 км от пункта А.
14. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 60 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 10 км/ч. По пути он сделал остановку на 3 часа, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
15.   Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 27 км, вышел турист. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел пешеход и встретил туриста в 12 км от А. Найдите скорость туриста, если известно, что она была на 2 км/ч меньше скорости пешехода.
16. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 36 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 82 км, скорость первого велосипедиста равна 28 км/ч, скорость второго — 10 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
17. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 20 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 210 км, скорость первого велосипедиста равна 20 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи.
18. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.
19. .  Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 34 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 8 км/ч большей скорости пешехода. Найдите скорость велосипедиста, если известно, что они встретились в 10 км от пункта А.
20. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 6 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 45 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 35 км/ч.
21. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 36 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью на 54 км/ч больше скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста.
22. Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.
23.  Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 1 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 7 км/ч меньше скорости второго.
24. Расстояние между пристанями А и В равно 140 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 51 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
25. Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 33 км. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч.
26. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
27. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 9 км/ч?
28. Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 110 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 50 км/ч, а последние 3 часа — со скоростью 60 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
29. Первые 350 км автомобиль ехал со скоростью 70 км/ч, следующие 105 км — со скоростью 35 км/ч, а последние 160 км — со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
30. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 69 км/ч, а вторую — со скоростью 111 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
31. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 60 км/ч, а вторую — со скоростью 84 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
32. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 81 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч, за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
33. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 161 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 5 км/ч, за 15 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
34. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 87 км/ч, проезжает мимо идущего параллельно путям со скоростью 3 км/ч навстречу ему пешехода за 24 секунды. Найдите длину поезда в метрах.
35. По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 100 км/ч и 90 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно 6 минутам.
36. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 80 кг высушенных фруктов?
37. Свежие фрукты содержат 95% воды, а высушенные — 22%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 55 кг высушенных фруктов?
38. Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
39. Свежие фрукты содержат 86% воды, а высушенные — 23%. Сколько сухих фруктов получится из 341 кг свежих фруктов?
40. Свежие фрукты содержат 79% воды, а высушенные — 16%. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
41. Смешали некоторое количество 10-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 12-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
42. .  Смешали некоторое количество 4-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 74-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора
43. Смешали некоторое количество 55%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 97%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
44. Смешали некоторое количество 19%-го раствора некоторого вещества с таким же количеством 23%-го раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
45. Три бригады изготовили вместе 266 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 4 раза больше, чем первая и на 5 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.
46. Три бригады изготовили вместе 132 детали. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая и на 6 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.
47. Игорь и Паша красят забор за 12 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 14 часов, а Володя и Игорь — за 28 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?
48. Игорь и Паша красят забор за 15 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 22 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько минут мальчики покрасят забор, работая втроём?

Прототип задания №23.

1. Построить график функции у=   и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет четыре   общие точки с графиком.

2.Построить график функции у=   и определите, при каких значениях  а прямая у=а не имеет ни одной общей точки с графиком.

3.Построить график функции у= х2 -4-х и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет 3  общие точки с графиком.

4.Построить график функции у=  и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет одну общую точку с графиком.

5.Построить график функции у = -2 -  и определите, при каких значениях а прямая у=а  не имеет общих точек с графиком.

6.Построить график функции у=  и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет одну  общую точку с графиком.

7.Построить график функции у=  х2-  и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет две   общие точки с графиком.

8.Построить график функции у= 3х-12- и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет три   общие точки с графиком.

9.Построить график функции у= х  -- 6 и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет три   общие точки с графиком.

10.Построить график функции у=  и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет две   общие точки с графиком.

11.Построить график функции у=  и определите, при каких значениях а прямая у=а имеет две   общие точки с графиком.

12.Найдите все значения k , при каждом из которых прямая y=kx  имеет с графиком функции y=−x2 −2,25  ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

13.Известно, что графики функций y=x2+p и y=−2x−2 имеют ровно одну общую точку. Определите координаты этой точки. Постройте графики заданных функций в одной системе координат.

14.Найдите p и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=−5x имеет с графиком ровно одну общую точку.

15.Найдите p и постройте график функции y=x2+p, если известно, что прямая y=x имеет с графиком ровно одну общую точку.

16.Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y=kx имеет с графиком функции y=−x2−1 ровно одну общую точку. Постройте этот график и все такие прямые.

17 Прямая  y=2x+b  касается окружности  x2+y2=5  в точке с положительной абсциссой. Определите координаты точки касания.

18.Парабола проходит через точки A(0; – 4), B(– 1; – 11), C(4; 4). Найдите координаты её вершины.

19.При каких значениях m вершины парабол у = –х2 – 6mх + m и у = х2 – 4mх – 2 расположены по одну сторону от оси х?

20. При каких значениях m вершины парабол у = х2 – 4mх + m и у = –х2 + 8mх + 4 расположены по одну сторону от оси х?

Прототип задания №24

1.Из точки А проведены 2 касательные к окружности с центром в точке О. Найти радиус окружности, если угол между касательными равен 600, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

2. Окружность проходит через вершины Аи С  треугольника АВС и пересекает его стороны АВ и ВС в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и  СК перпендикулярны. Найти угол КСВ, если угол АВС равен 180.

3.  В треугольнике ABC угол B равен 72◦, угол C равен 630, BC =.Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

4.В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

5. На сторонах угла ВАС, равного 400, и на его биссектрисе отложены равные отрезки АВ, АС, АД. Определите величину угла ВДС.

6. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а ее периметр равен 52 . Найти площадь трапеции.

7. Биссектриса тупого угла В параллелограмма АВСД делит сторону АД в отношении 1:3, считая от вершины  А. Найдите  сторону АВ, если полупериметр параллелограмма равен  55.

8. Диагонали АС и BD прямоугольника ABCD пересекаются в точке О, АО=17, а АВ:ВС=15:8. Найдите CD.

9. В треугольнике АВС угол С равен  680, высоты АД и ВЕ пересекаются в точке О. Найдите угол ДОЕ.

10. В треугольнике АВС угол С равен 1120, биссектрисы АД и ВЕ пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ.

11. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны  21 и 35. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

12. В треугольнике ABC угол С равен 90° , радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь треугольника ABC , если AB =12.

13. В параллелограмме ABCD из вершины тупого угла B провели высоту BE к стороне AD, причём AE = ED. Найдите площадь параллелограмма ABCD,

если угол A равен 60° , а BE = 3 .

14. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает его сторону BC в точке E. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BE = 5, EC = 2, а угол ABC =150° .

15. Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M . Найдите MC , если AB =10, DC = 25 , AC = 56 .