Программа курса «Теория многочленов и уравнения высших степеней»
рабочая программа по алгебре (11 класс) на тему

                                  Пояснительная записка.

           Программа курса «Теория многочленов и уравнения высших   степеней» составлена на основе:

• Федерального закона «Об образовании в Российской Федерации»  от 21.12.2012;
• Указа Президента РФ «О национальной стратегии действий в интересах детей на 2012-2017 годы» от  1.06.2012;
• Государственной  Программы РФ «Развитие образования в 2013-2020г.г.» от 22.11.2012;
• Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России,2010г.;
• Приказа Министерства образования и науки РФ №1008 «Об утверждении порядка организации и осуществления образовательной деятельности по дополнительным общеобразовательным программам» от 29.08.2013;
• Закон Тамбовской области N 321-З "Об образовании в Тамбовской области" от 01.10.2013 г;
• Требований к содержанию и оформлению образовательных программ дополнительного образования детей (утверждены на заседании Научно - методического совета по дополнительному образованию детей Минобразования России 03.06.03) с изменениями и дополнениями, внесенными Департаментом  молодежной политики, воспитания и социальной поддержки детей Минобрнауки России (письмо от 11.12.2006.№ 06-1844) и

разработана с учётом основных направлений модернизации общего образования, ориентирована на формирование  базовых универсальных компетентностей, обеспечивающих готовность обучающихся использовать свои знания и умения для самообразования и решения профессиональных и практических жизненных задач, в этом   заключается её актуальность.

      Программа курса предназначена для учеников 11 классов и служит для  дополнения и углубления базового образования по математике; направлена на раскрытие и развитие особенностей познавательных способностей учащихся, ощущения восприятия, памяти, представления, воображения, мышления, внимания; предполагает личностную ориентацию, деятельностный и развивающий характер содержания обучения; способствует развитию стремления и способности к самостоятельному приобретению новых знаний.

       Одним из направлений модернизации школьного образования является профилизация старшей ступени общеобразовательной школы. В связи с этим ученик должен сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Поэтому на этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им.

      При разработке программы были:

• учтены требования, предъявляемые к профильному обучению;
• проанализированы программы Министерства образования и экспериментальные программы образовательной области «Математика», программы элективных курсов;
• учтены результаты педагогических исследований в группах учащихся школы.

               Цель данного курса – вовлечение учащихся в процесс приобретения ими математических знаний, умений и математической культуры.

             Программа дает возможность в соответствии с учебным планом увеличить время на изучение отдельных тем курса, позволяет уточнить способность и готовность учеников к дальнейшему повышению своего уровня развития и  решает следующие задачи:

1. образовательные  

• познакомить учащихся с основами теории многочленов;
• сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;

2. развивающие

• разнообразить процесс обучения;
• формировать устойчивые знания по предмету;

• развивать математическое (логическое) мышление;
• расширять математический кругозор;
• повышать интерес к предмету и его изучению;
• вырабатывать самостоятельный и творческий подходы к изучению математики;

3. воспитательные

• воспитывать общую математическую культуру;

• продолжить развитие исследовательских умений и навыков учащихся;
• формировать способность к осознанному определению в обществе.

           Данная программа полностью соответствует требованиям, предъявляемым к процессу школьного математического образования:

• содержательность;

• увлекательность;
• доступность;
• развитие интеллекта;
• связь с общечеловеческой культурой.

         Отличительной особенностью данной программы является то, что перечисленные задачи определяют необходимость добиваться получения учащимися знаний, систематизировать уже имеющиеся знания, необходимые для достижения обязательного уровня образования и их дальнейшего развития. Кроме того, предусматривается, что в процессе обучения учащиеся постоянно приобретают и накапливают умения рассуждать, обобщать, доказывать, систематизировать.

Особую роль данная программа уделяет привитию навыков самостоятельности в рассуждениях, в поисках способов решения задач, развитию способностей к самообразованию, к созданию и разрешению проблемных ситуаций, рефлексии, самоанализу собственной деятельности.

           Изучение основных положений теории многочленов позволяет обобщить теорему Виета для уравнений любой степени. Умение выполнять действие деления многочленов облегчит в дальнейшем решение таких задач математического анализа как нахождение асимптот, вычисление производных и интегралов.

           Изучение схемы Горнера и теоремы о рациональных корнях многочлена дает общий метод разложения на множители любого алгебраического выражения. В свою очередь умение решать уравнения высших степеней позволит значительно расширить круг показательных, логарифмических, тригонометрических и иррациональных уравнений и неравенств.

           Программа курса «Теория многочленов и уравнения высших степеней» предполагает дальнейшее развитие у школьников математической, исследовательской и коммуникативной компетентностей. Курс направлен на более глубокое понимание и осознание математических методов познания действительности, на развитие математического мышления учащихся, устной и письменной математической речи. На занятиях решаются нестандартные задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил, определяющих точный алгоритм их решения. Учащиеся учатся находить и применять различные методы для решения задач.

       В процессе изучения курса предполагаются следующие виды обучения:

• традиционное (объяснительно-иллюстративное) ;
• деятельностное (самостоятельное добывание знаний в процессе решения учебных проблем, развитие творческого мышления и познавательной активности учащихся) ;
• инновационное (самообразование, саморазвитие учащихся посредством самостоятельной работы с информационным материалом).

          Эти виды обучения предполагают следующие формы организации обучения:

• коллективные, индивидуальные и групповые;
• взаимного обучения, самообучение, саморазвитие;
•  отчеты в форме презентации курсовых работ.

         Занятия включают в себя теоретическую и практическую части, в зависимости от целесообразности – лекции, консультации, практикумы, самостоятельную и исследовательскую работу.

          Эффективность обучения отслеживается следующими формами контроля:

•  самостоятельная работа;
• срезы знаний и умений в процессе обучения;
•  итоговый контроль.

       Итоговый контроль предусматривает:

• выполнение контрольной работы;
• защиту и презентацию курсовых работ.

         Достоинством программы является то, что она предполагает уверенное использование учащимися мультимедийных ресурсов и компьютерных технологий для обработки, передачи, систематизации информации, презентации результатов познавательной и практической деятельности

       Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческую активность и результативность учащихся.

        Курс «Теория многочленов и уравнения высших степеней» рассчитан на   72часа, 2 часа в неделю. Изучение курса поможет учащимся подготовиться к выполнению заданий ЕГЭ, связанных с решением различного вида уравнений и задач с параметрами.

       Уровень подготовки выпускников направлен на реализацию деятельностного и личностно - ориентированного подходов, освоение учащимся интеллектуальной и практической деятельности, овладение знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни. Система учебных занятий призвана способствовать развитию личностной самоидентификации, гуманитарной культуры выпускников, усилению мотивации к социальному познанию и творчеству, воспитанию  личностно и общественно востребованных качеств, в том числе гражданственности, толерантности. Это поможет выпускнику адаптироваться в обществе, где социальная и профессиональная успешность напрямую зависят от позитивного отношения к новациям, самостоятельности мышления и инициативности, от готовности проявлять творческий подход к делу, искать нестандартные способы решения проблем, от готовности к конструктивному взаимодействию с людьми.

                      Требования к уровню усвоения курса.

По окончанию изучения курса учащиеся должны

уметь:

выполнять действия над многочленами;

применять теорию многочленов к нахождению корней рационального уравнения с целыми коэффициентами;

использовать обобщенную теорему Виета для решения задач с параметрами;

владеть:

методом неопределенных коэффициентов;

алгоритмами решения симметрических и возвратных уравнений;

различными методами решения рациональных уравнений высших степеней.

                                     Учебно-тематический план

                                          Содержание изучаемого курса.

Раздел 1. Многочлены от одной переменной (41ч)

1.Понятие многочлена. Равенство многочленов (теория и практика).

Ввести понятие многочлена.Определение равенства многочленов. Выполнение практических заданий на определение многочлена и доказательство их равенства или неравенства.

2. Действия над многочленами (теория и практика).

Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочлена на одночлен и многочлена на многочлен. Деление многочлена на одночлен.

3.Метод неопределенных коэффициентов (теория и практика).

Теорема о наличии n корней многочлена n -ой степени с учётом их кратности.

 Нулевой многочлен (все коэффициенты равны нулю).

4.Деление многочленов с остатком.

Теорема о делении многочлена с остатком. A(x)=B(x)Q(x)+R(x). Метод неопределенных коэффициентов.

5.Теорема Безу и ее следствия (теория и практика).

Теорема Безу и семь  следствий из неё.

Применение теоремы Безу к решению практических задач.

• нахождение  всех целых делителей свободного члена;
• нахождение хотя бы одного  корня  уравнения (a);
• деление левой части уравнения  на (x-a);
• запись в левой части уравнения произведения делителя и частного;
• решение полученного уравнения.

6.Схема Горнера (теория и практика).

Теорема, выражающая новую форму  записи многочлена при его делении с остатком.

7.Рациональные корни многочлена (теория и практика).

Теорема о рациональных корнях многочлена и следствие из неё о рациональных корнях с целыми коэффициентами.

8.Кратные корни многочлена (теория и практика).

Определение корня кратности k (k-кратного корня) многочлена, простого корня многочлена.

9.Обобщенная теорема Виета.

Теорема Виета в общем виде, её практическое применение.

Раздел 2. Алгебраические уравнения высших степеней (25ч)

1.Основные методы решения уравнений.

Метод разложения на множители левой части уравнения.

Вынесение общего множителя

Применение формул сокращенного умножения.

Выделение полного квадрата.

Группировка

Метод неопределенных коэффициентов.

Подбор корней уравнения

Метод введения новой переменной

Функционально – графический метод

Некоторые нестандартные способы решения уравнений:

• умножение уравнения на функцию.
• использование суперпозиции функций.

2.Уравнения вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) = m.

Биквадратное уравнение

Уравнение четвертой степени вида (x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=m 

Уравнение вида (x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=kx2

3.Симметрические уравнения (теория и практика).

Симметрические уравнения 3-й степени ах3 + bx2 + bх + a = 0.

Симметрические  уравнения 4-й степени ах4 + bx3 + сх2 + bх + a = 0.

Метод симметризации.

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = А, где а + d = c + b.

Уравнения вида (х + а)(х + b)(x + c)(x + d) = Ах2, где аd = cb.

4.Возвратные уравнения (теория и практика)

Возвратные уравнения чётной и нечётной степени.

Возвратное уравнение нечётной степени
5.Рациональные уравнения (теория и практика).

Уравнение вида P(x)/Q(x) = 0.

Уравнение, состоящее из суммы дробей

Раздел 3. Итоги изучения курса(6ч) (практика).

Контрольная работа.

Защита и презентация курсовых работ.

                     Методическое обеспечение программы.

                      Примерные темы курсовых работ:

1. Решение возвратных уравнений четной и нечетной степени.

2. Решение уравнений с параметрами.

3. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

4. Многочлены с комплексными коэффициентами.

                                  Список литературы для учителя

1.Болтянский В.Г., Н.Я. Виленкин Симметрия в алгебре. М.: МЦНМО, 2002. 240 с.

2.Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. - М., Просвещение, 1980. - 176 с. — Моск. гос. заоч. пед. ин-т.

3.Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева.— Мн.: Выш. шк., 1984.— 157 с, ил.— (Мир занимат. науки).  

4.Деменчук В. В. Многочлены и микрокалькулятор.— Мн.: Выш. шк., 1988.—176 с.— (Мир занимат. науки.). ISBN 5-339-00123-7. 

5.Прасолов В. В. Многочлены. — 3-е изд, исправленное. — М.: МЦНМО, 2003. —336 с: ил. .

6.Солодовников А. С, Родина М. А. Задачник-практикум по алгебре. Ч. IV. Учеб. пособие для студентов-заочников физ.-мат. фак. пед. ин-тов. —М.: Просвещение, 1985. — 127с. — Моск. гос. заоч. пед. ин-т.

7.Табачников СЛ. Многочлены. Изд. 2-е, пересмотр.- М: ФАЗИС, 2000. - 200 с. (Библиотека «Ступени знаний», серия «Математика») ISBN 5-7036-0058-8

8.Числа и многочлены/Сост. А.А. Егоров. - М., Бюро Квантум, 2000. - 128 с. ISBN: 5-85843-026-0 (Приложение к жураналу Квант № 6 2000) 

                         Список литературы для учащихся

1.Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. курса математики. – М.: Просвещение,1992.

2.Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики: Пер. с франц.— М.: Мир, 1986.

3.Деменчук В. В. Многочлены и микрокалькулятор. – Мн.: Выш. шк., 1988.

4.  Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств: Справочник. – М.: Изд-во МГУ, 1991.

5.Сборник задач по математике (для факультативных занятий в 9-10 классах). Под ред. проф. З. А. Скопеца. М., “Просвещение”, 1971.

 6.Шарыгин И. Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач:      Учеб. пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

7.Энциклопедический словарь юногоматематика. Составитель  А.П. Савин. –М.,:Педагогика,1985 

                                   Порталы и сайты:

• Федеральный портал «Российское образование» www.edu.ru 
• Российский общеобразовательный портал www.school.edu.ru 
• Портал информационной поддержки ЕГЭ www.ege.edu.ru 
• Естественно- научный образовательный портал www.en.edu.ru 
• Портал «Информационно-коммуникационные технологии в образовании» www.ict.edu.ru 
• Российский портал открытого образования www.openet.edu.ru 
• Портал математического образования Math.ru http://www.math.ru 
• http://alexlarin.net/
• http://www.mathege.ru:8080/or/ege/Main
• http://www.egetutor.ru/Testing/Review.aspx?ID=796
• http://ege.yandex.ru/
• http://uztest.ru/
• http://www.edu.ru/moodle/login/index.php
• http://www.school-tests.ru/#
• http://eek.diary.ru/p62222263.htm-
• Федеральный центр тестирования http://www.test4u.ru
• ЕГЭ по математике, подготовка к тестированию http://www.uztest.ru
• Интернет-версия  энциклопедии «Кирилла и Мефодия» http://vip.km.ru/megabook/index.asp
• Википедия. Свободная энциклопедия; http://ru.wikipedia.org
• Крупнейший энциклопедический ресурс Интернета http://www.rubricon.com
• Виртуальная школа   http://vip.km.ru/vschool/index.asp - 
• Интернет-школа Просвещение. RU. http://www.internet-school.ru