ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ ПРИ РАБОТЕ С ДЕТЬМИ С НАРУШЕНИЯМИ СЛУХА И РЕЧИ

Политавкина Ольга Николаевна.

(olgapolit@mail.ru)

Государственное бюджетное образовательное учреждение открытая сменная общеобразовательная школа № 10 (ГБОУ ОСОШ №10), Санкт-Петербург.

     Рассматриваются вопросы изложения  темы: «Комплексные числа» для глухих учащихся . Главный упор в изложении материала делается  на введении  основных арифметических правил работы с комплексными числами через их геометрическую интерпретацию на комплексной плоскости при помощи ИКТ. Это позволяет донести до учащегося содержание темы урока в наиболее наглядной форме.

     Предваряя дальнейшие рассмотрения, сделаем основные замечания по поводу применения технических средств, используемых при изложении материала. Формулы и, особенно, графические пояснения теоретических позиций следует выводить на экран при помощи проектора. В первую очередь это касается тех моментов изложения, которые связаны с понятием комплексной плоскости и геометрической интерпретацией комплексных чисел. Такой подход обеспечивает максимальную наглядность и упрощает восприятие нового материала–арифметики комплексных чисел. Второй момент, на котором следует акцентировать внимание, должен раскрывать глубокую связь между основными движениями плоскости (повороты, отражения) и комплексными числами, записанными в алгебраической и тригонометрической (показательной) формами.

     Выработка навыков перевода комплексных чисел из одной формы записи в другую, а также умение находить  модуль, комплексное сопряжение числа – важнейшая часть практической работы с комплексными числами. Указанные выше позиции наряду с выработкой беглого умения в совершении основных алгебраических действий над комплексными числами составляет одну из основных задач в изучении темы «Комплексные числа».

     Строгое введение комплексных чисел должно быть «пронизано» цепочкой разумных определений, все они выводятся на экран.

Определение 1. Всякая упорядоченная пара вещественных чисел a и b называется комплексным числом и обозначается z = (a,b).

Слова упорядоченная пара в определении 1 означают, что, например, числа (5,3) и (3,5) – различны.

     Вводим правила работы с комплексными числами. Пусть (a, b), (a1,b1) , (a2,b2) некоторые комплексные числа, тогда

Определение 2. Два комплексных числа   z1  и   z2  называются равными, если из (z1  = z2)  ⬄  (a1   =   a2  и  b1   =   b2) . Это крайне важное свойство, говорящее о том, что одно комплексное равенство порождает два вещественных. 

Определение 3. Суммой  двух комплексных чисел  z1  и  z2 называется третье комплексное число  z,  задаваемое равенством

z   =   z1    +   z2    =   (a1   +   a2,   b1   +   b2).

Следует обратить внимание, что «перекрестные» компоненты в паре не  «перемешиваются». Геометрически данное равенство отвечает покомпонентной сумме некоторых векторов.

Определение 4. Произведением двух комплексных чисел  z1 и  z2 называется третье комплексное число z, которое задается равенством

z   =   z1 ∙ z2   =   (a1 a2   -   b1 b2, a1 b2   +   a2 b1)

Последнее определение запоминать не следует: правило умножения комплексных чисел, как это будет показано в дальнейшем, получится «автоматически» как произведение обычных двучленов.

     Введем также ряд новых понятий.  Пусть z  =  (a ,  b), тогда

a  ≡  Re z  -  вещественная часть z;   b  ≡   Im z  -  мнимая часть  z;    

(a2  +  b2)1/2  ≡  │z│  -  модуль (или длина или амплитуда) числа z; число   z*  =   (a, - b)  называется комплексно-сопряженным к  z; некоторые пары получили специальные названия: 0≡(0,0); 1≡(1,0); i≡(0,1), соответственно, «ноль», «единица», «мнимая единица». Заметим, что в соответствии с введенными определениями i2  =  i∙i = =  (0,1)∙(0,1)  =  (-1,0). С другой стороны, числа вида (а,0) могут  быть отождествлены с обычными вещественными числами, поэтому можно  записать, что i2  =  -1. При этом выражение для произвольного комплексного числа примет вид:  z  =  (a,b)  =  (a,0) +  (0,1)∙(b,0) ≡ a  +  i ∙ b   -  алгебраическая форма записи комплексного числа. Таким образом, произведение комплексных чисел может быть найдено как умножение соответствующих двучленов с учетом равенства  i2 = -1. Сразу заметим, что z z* = (a + i∙b)∙(a - i∙b) = a2+b2. Выполнение операции деления требует некоторой находчивости: для z2≠0 имеем  z1 / z2   =  z1 z2* / (z2 z2*)  =  = (a1 a2+b1 b2 + i∙(a2 b1–a1 b2))/│z2│2 =  z1∙z2 * / │z2 │2.          

     Введенные арифметические операции закрепляются на практике с использованием имеющихся компьютерных и других технико-визуальных средств.

      Все комплексные числа порождают определенную плоскость также называемую комплексной, на которой помимо декартовых координат комплексного числа можно рассматривать и их полярный аналог,  где задаются амплитуда и фаза комплексных векторов. (Целесообразно вывести на экран модель комплексной плоскости). При этом для всякого z  ≠  0  имеем  0 ≠ z  = │z│(a / │z│  +   i∙b / │z│) =  =│z│(cosφ +  i∙sinφ) – тригонометрическая форма записи комплексного числа. Здесь угол φ получил наименование аргумента комплексного числа: φ  ≡  Arg z. Функция Arg многозначна и определяется с точностью до величины  2∙π. Так называемое главное значение  аргумента  φ  ≡  arg z обеспечивает однозначность его задания,  при этом полагают, что  - π < φ ≤ π.

     Обратим  внимание на следующие равенства, положив   z'φ = -sinφ + i∙cosφ = i∙(cosφ + i∙sinφ) = i∙z, т.е. z'φ = i∙z  и  (exp(iφ))'φ = i∙exp(iφ). Сравнивая два последних равенства, приходим к заключению, что exp(iφ) = cos φ + i∙sin φ – знаменитая формула Эйлера, при этом z = │z│exp(iφ) – показательная форма записи.

Изложенный материал является базой для дальнейшего освоения темы «Комплексные числа».

Широкое поле для применения мультимедийных средств при изучении предлагаемого раздела школьного курса математики существенно ускорит усвоение нового материала глухими учащимися и сделает его значительно более понятным и прозрачным.  Для подготовки к урокам можно использовать готовые ППЭС, самостоятельно созданные  презентации и материал, размещённый  коллегами на математических порталах.