Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

1. Оргмомент.

Слайд 1. Здравствуйте. Поднимите руку, кто знает, что это за необычный круг уже несколько минут вращается перед вами?

Это знаменитый календарь индейцев майя, о котором последние годы говорит всё человечество. Было бы интересно разобраться в нём, но не сегодня. Цивилизация майя оставила после себя не только календарь. Жители древней Америки, о которых вы возможно читали или ещё только прочитаете в книгах Фенимора Купера и Майн Рида, были ещё и искусными архитекторами. По всему континенту разбросаны величественные пирамиды майя. Самая загадочная из них пирамида Кукулькана на полуострове Юкатан в Мексике с храмом на вершине. Пирамида была построена в 11 веке, но триста лет спустя город, где она находится, был покинут своими жителями по невыясненным до сих пор причинам. Пирамиду поглотили джунгли.

2. Постановка проблемы.

Слайд 2. Только в 19 веке древний город и сама пирамида были вновь обнаружены археологами. Началась реставрация, в ходе которой было выяснено, что пирамида обладает множеством оптических и акустических эффектов и несёт в себе астрономическую информацию. Но вначале учёные смогли измерить только длину её основания – 55,5 м и длину боковой грани – 31 м. Затем им удалось измерить угол между этими отрезками – 52 градуса, после чего возник вопрос, а какова же высота пирамиды? Провести измерения высоты на местности не было никакой возможности, тогда на помощь археологам пришла математика, и они вычислили эту высоту.

Хотели бы вы узнать, как они это сделали? (Да)

Какая же цель нашего урока? (Вычислить высоту пирамиды) 

3. Актуализация опорных знаний.

Слайд 3. Проведём высоту из вершины пирамиды и посмотрим – не появилась ли на слайде знакомая нам геометрическая фигура? (Треугольник)

Определите вид этого треугольника. (Прямоугольный треугольник)

Что нам достаточно найти в этом треугольнике, чтобы достичь цели урока? (Сторону АС)

Посмотрим, достаточно ли наших знаний для этого.

Вспомним, как называется сторона, лежащая напротив прямого угла? (Гипотенуза)

А остальные стороны? (Катеты)

Какой из катетов является противолежащим по отношению к углу В? (АС)

А прилежащим по отношению к углу В? (ВС)

Какими свойствами обладают острые углы прямоугольного треугольника? (Сумма острых углов равна 90 градусам)

 Какими свойствами обладают стороны прямоугольного треугольника? Какая теорема связывает вместе катеты и гипотенузу? (Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов – теорема Пифагора и катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы)

Слайд 4. Посмотрим, позволят ли наши знания найти катет АС, если известна гипотенуза и острый угол В. Поможет ли нам в этом теорема Пифагора? (Нет)

Почему? (Нам известна только гипотенуза)

Сумма острых углов? (Нет)

Почему? (Не найдём сторону)

Есть ли у нас острый угол в 30 градусов? (Нет)

Осталось ли что-нибудь, что может связать гипотенузу, катет и острый угол? (Нет)

А оказывается, с прямоугольными треугольниками связаны интересные соотношения, которые могут это сделать. Только вы их пока не знаете. Давайте познакомимся с ними.

Запишите в тетрадях «4 апреля 2012 года», «Классная работа» и тему сегодняшнего урока: «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника».

4. Изучение нового материала, «Задание 1».

Слайд 5. Ещё во 2 веке до нашей эры древние математики заметили интересное свойство прямоугольного треугольника. Возьмём несколько прямоугольных треугольников с разными длинами сторон, но одним и тем же острым углом. Например углом В.

Мы заранее разделили класс на три группы и выбрали в каждой своего руководителя. Сейчас каждая группа должна найти для своего треугольника следующие отношения, связанные с углом В: противолежащего катета к гипотенузе, прилежащего катета к гипотенузе и противолежащего катета к прилежащему. Ответы запишите на карточках «Задания 1» в виде десятичных дробей, как принято записывать ответы в заданиях ЕГЭ в 11 классе.

Как вы будете переводить обыкновенную дробь в десятичную? (Разделим числитель на знаменатель)

Задание должен выполнить каждый участник группы, только тогда руководитель группы, поднимает руку. Поэтому раз вы работаете в одной команде, приветствуется помощь друг другу. Посмотрим, кто справится с заданием первым.

Проверим результаты.

Чему равно отношение противолежащего катета к гипотенузе? (0,6)

Отношение прилежащего катета к гипотенузе? (0,8)

Отношение противолежащего катета к прилежащему? (0,75)

Какая же закономерность очевидна? (Одинаковые ответы)

Верно, вы работали с разными числами, но получили одинаковые результаты, и эти результаты уже на протяжении сотен лет называют специальными терминами.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе получило название «синуса угла».

Отношение прилежащего катета к гипотенузе – «косинуса угла».

Отношение противолежащего катета к прилежащему – «тангенсом угла». Запишите эти слова в карточку с заданием.

Слайд 6. Так что же мы будем называть синусом острого угла? (Отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Косинусом острого угла? (Отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Тангенсом острого угла? (Отношение противолежащего катета к прилежащему)

С помощью этих соотношений в дальнейшем будут заданы тригонометрических функций, которые вы очень подробно изучите на уроках алгебры в старших классах, а пока что вам достаточно знать, что слово «тригонометрия» переводится как «измерение треугольников», а синус, косинус и тангенс обозначаются следующим образом: «sin», «cos», «tg» и для острого угла В в прямоугольном треугольнике записываются в виде формул. Перепишите их к себе в тетради.

Слайд 7. Вернитесь к карточкам  «Задания 1» и выпишите перед отношениями сторон соответствующие им обозначения синуса, косинуса и тангенса, используя их определения. Руководитель группы справившейся с заданием, поднимает руку.

Проверим результаты.

Слайд 8. Очень интересна история возникновения термина «синус».

Впервые зависимости между сторонами и углами прямоугольного треугольника, были найдены древнегреческим астрономом Гиппархом во 2 веке до н.э.

В 4 веке появился уже специальный термин в трудах по астрономии индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник Земли. Поскольку вычисления синуса тогда были связаны с полухордами в окружности, очень похожими на тетиву натянутого лука, то Ариабхата так и назвал это отношение «полутетива» или «ардхаджива» на санскрите. Затем термин сократился до просто «джива».

В 9 веке арабские учёные при переводе трудов Ариабхаты не стали оставлять буквальный смысл этого слова, а заменили созвучным арабским «джайб» - «впадина», тем самым потеряв первоначальное значение термина.

Европейские же учёные добросовестно перевели «впадину» на латынь, получив слово «синус», которым мы и пользуемся до сих пор.

История возникновения термина «косинус» не так интересна – это просто «дополнительный синус».

«Тангенс» был известен ещё в 10 веке учёным Востока, а в Европе его открыли заново только в 14 веке, а в 16 он получил современное звучание, которое означает «касающийся», что так же связано с окружностью.

Современные короткие обозначения были введены в 17 веке.  

5. Тренировка для глаз.

Слайд 9. Мы уже достаточно долго следим за слайдами на экране, напрягая наше зрение. Поэтому давайте отвлечёмся не пару минут, и сделаем упражнение для глаз. Оно очень простое – нужно, не поворачивая головы, одними только глазами проследить за перемещением кружочка. Итак, сядьте прямо, начинаем.

«Полёт кондора» (исп. El Cóndor Pasa) — песня, написанная перуанским композитором Даниэлем Роблесом на мотив традиционных народных мелодий жителей Анд. В 2004 году песня была признана национальным достоянием и культурным наследием Перу.

6. Продолжение изучения нового материала, «Задание 2».

Слайд 10. Ещё древними учёными были найдены соотношения, связывающие синус, косинус и тангенс друг с другом простыми формулами. И вам сейчас предстоит получить одну из них. Обсудите в течении минуты в группах, как найти сумму квадратов синуса и косинуса угла В, используя определения синуса и косинуса и другие ваши знания из математики, показанные на слайде. Давайте обсудим, к какому результату вы пришли.

Как записать синус угла В? (СА к АВ)

Косинус угла В? (ВС к АВ)

Как возвести обыкновенную дробь в квадрат? (Возвести числитель и возвести знаменатель)

Что можно сделать дальше? (Сложить числители)

Дальше? (В числителе по теореме Пифагора получилась гипотенуза в квадрате)

Что осталось сделать? (Сократить)

Что получается? (Единица)

Как вы думаете, получили бы вы единицу, если работали не с углом В, а с углом А? (Да)

Выпишем начало и конец преобразования. Какое правило можно сформулировать по этой формуле? (Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна единице)

Данная формула получили название основного тригонометрического тождества. Кроме него есть ещё много других тригонометрических тождеств, которые используются при расчётах в различных областях современной науки от спутниковой навигации до экономики. Вы их будете изучать в старших классах на уроках алгебры. С их помощью, зная синус, можно найти косинус и тангенс и наоборот. Этому вы научитесь уже на следующем уроке.

7. Решение поставленной проблемы.

Слайд 11. Последним шагом к достижению цели нашего урока станет ответ на вопрос – а можно ли найти значение синуса, косинуса и тангенса, зная только градусную меру угла?

Ответ прост – можно, и это можно было сделать ещё более двух тысяч лет назад, во времена греческого астронома Гиппарха, который первым составил таблицы значений синуса, косинуса и тангенса. Сегодня все эти значения собраны в специальном сборнике Владимира Модестовича Брадиса «Четырёхзначные математические таблицы», пользоваться которыми вас ещё научат на уроках математики, хотя в этом можно разобраться и самостоятельно, а потом приятно удивить учителя.

Слайд 12. Вспомним, какую цель мы поставили перед собой в начале урока? (Вычислить высоту пирамиды)

Итак, нам известна гипотенуза и острый угол В в прямоугольном треугольнике, а так же определения синуса, косинуса и тангенса острого угла. Поможет ли какое-нибудь из новых определений решить нашу проблему? (Синус)

Почему именно синус? (Он связывает вместе гипотенузу, угол и искомый катет)

Как? (Гипотенузу умножим на синус 52 градусов)

Значение синуса возьмём из таблицы.

Вам остаётся только выполнить умножение (25,28 м)

Округлим ответ до целых (25 м)

Итак, какова высота пирамиды индейцев майя? (25 м)

Что позволило нам решить проблему? (Синус)

Что такое синус? (Отношение противолежащего катета к гипотенузе)

Что такое косинус? (Отношение прилежащего катета к гипотенузе)

Что такое тангенс? (Отношение противолежащего катета к прилежащему)

Дома с помощью Интернета попробуйте найти такие практические задачи из жизни, при решении которых пригодятся косинус или тангенс.

8. Домашнее задание.

Слайд 14. Кроме того я распечатал для каждого из вас задание на дом.

Первая и вторая части обязательны для всех:

1) выучить определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; выучить основное тригонометрическое тождество из учебника п. 66 и выполнить № 591 (а, б, г), похожий на задания сегодняшнего урока.

2) докажите и запомните ещё одно тригонометрическое тождество, что отношение синуса к косинусу угла равно тангенсу этого же угла.

3) третья часть является необязательной, но интересней и сложней первых двух: высота пятиэтажного дома 15 м, а длина пожарной лестницы 30 м. На какой угол должна быть поднята лестница, чтобы достать до крыши дома, если её основание расположено на высоте 2 м от земли?

9. Подведение итогов урока, рефлексия.

Слайд 15. И последнее задание: закончите любую из предложенных на слайде фраз.

Что вы узнали на уроке нового?

Чему вы научились на уроке?

Понравилось ли вам на уроке?

Мне тоже понравилось работать с вами, поэтому всем, получившим за работу на уроке календарики майя – поднимите их вверх - я ставлю отметку «пять», и хочу оставить вам этот диск с документальными фильмами о пирамидах майя. А на обратной стороне карточек с домашним заданием вы найдёте схему упражнения для глаз. Будет неплохо, если вы научите ему и своих родителей. Карточки с сегодняшними заданиями вы можете вклеить в свои рабочие тетради, а историю возникновения терминов «синус», «косинус» и «тангенс» взять для расширения своего кругозора. Урок окончен.