Методическая разработка «Формирование ключевых компетенций учащихся при обучении математике через систему заданий»
план-конспект занятия по алгебре (9 класс) на тему

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 366

Московского района Санкт-Петербурга «Физико-математический лицей»

Методическая разработка

«Формирование ключевых компетенций учащихся

при обучении математике через систему заданий»

Учитель математики Трушова И.И.

Методическая разработка

Тема «Формирование ключевых компетенций учащихся при обучении математике через систему заданий»

Цель системы заданий - повысить качество математического образования учащихся 8-11 классов.

Задачей системы является формирование следующих ключевых компетенций: ценностно-смысловой, учебно-познавательной, личностной.

Система дополнительных заданий нацелена на формирование у учащихся следующих умений:

-в направлении личностного развития: понимать смысл своей учебной деятельности (для подготовки к экзамену, для возможности продолжить образование и т.д.);

- в метапредметном направлении: самоорганизовываться для достижения своих целей, корректировать свои действия (вовремя исправить ошибки и получить оценку успешности усвоения), выбирать рациональный путь для решения задач,  эффективно взаимодействовать с учителем, правильно выражать свои мысли в письменной форме;

-в предметном направлении: применять изученные методы при решении задач базового и углубленного уровней содержания школьного математического образования.

Структура разработки

I Введение.

II Особенности заданий.

III Описание технологии применения системы дополнительных заданий на уроках.

IV Технология применения системы заданий в 9 классе.

1. Этапы и их продолжительность.

2. Формы и методы диагностики предметных и метапредметных результатов.

3. Дидактические материалы и средства обучения.

4. Методические ресурсы.

5. Описание этапов.

6. Технологическая карта.

V Из опыта работы. Результаты.

VI Список литературы.

Содержание разработки

I Введение

Новые требования к образовательным результатам ставят перед учителем задачу развития у учащихся способности к самостоятельному решению значимых для личности проблем. При формировании «приращений» в личностных ресурсах  учащихся важная роль отводится целенаправленной математической деятельности. Поэтому в своей педагогической практике я стремлюсь к общности целей преподавания математики и образовательных целей учеников. Тема моей методической системы «Формирование ключевых компетенций учащихся при обучении математике на основе личностно-деятельностного подхода». Новизна системы заключается в акцентировании внимания на формировании ключевых компетенций у учащихся 8-11 классов в условиях, когда Федеральные государственные образовательные стандарты нового поколения для этих классов еще не внедрены в школьную практику.

Одним из условий достижения ожидаемых образовательных результатов является отбор предметного содержания. Прежде всего это относится к отбору заданий, находящихся на оптимальном уровне возможностей учеников. Мною разработана система таких заданий, являющихся дополнительными к урокам и домашней работе.

Система дополнительных заданий является одной из составляющих всей методической системы, объединенных общей целью – обеспечение высокого качества математического образования лицеистов в соответствии с государственными образовательными стандартами и программой углубленного изучения математики для учащихся 8-11 классов.

Использование системы заданий возможно не только по программе углубленного изучения математики (7-9 часов математики в неделю), но и по программе базового уровня. Ученики могут решать задачи выборочно, в соответствии и с временными ресурсами занятия, и со своим уровнем подготовленности по предмету. В этом случае самые сложные из задач учителю уместно использовать для составления дифференцированных домашних заданий.

II Особенности заданий

Система дополнительных заданий разработана для учащихся 8-11 классов. Для каждой параллели свой набор заданий, который состоит из двух частей: «Алгебра» и «Геометрия».

Задания имеют следующие особенности.

Во-первых, весь комплекс задач концентрирует внимание не только на основных темах, но и на дополнительных, расширяя, таким образом, возможности для выбора наиболее рациональных решений.

Во-вторых, в каждом задании представлены задачи из различных тем. Например, в задании 2 по алгебре задача 2-1 по теме «Разложение многочлена на множители», задача 2-2 – «Построение графика функции», задача 2-3 – «Применение теоремы Виета для составления квадратного уравнения». Решение заданий, составленных «по принципу разных тем», позволяет ученикам  не только повторить методы решения задач школьной математики, но и составить целостную картину изучаемого курса.

В-третьих, задачи внутри каждого задания расположены в порядке возрастания сложности и оцениваются 1, 2, 3 баллами по алгебре и 2, 4 баллами по геометрии соответственно. При этом оценка уровня сложности задачи носит условный характер и может быть изменена по желанию учителя.

В разделе «Алгебра» задачи 1-1, 2-1, 3-1 и т.д. позволяют повторить программный материал базового уровня сложности; для выполнения задач 1-2, 2-2, 3-2 и т.д. требуется более высокая степень владения материалом; большинство задач 1-3, 2-3, 3-3 и т.д. соответствует углубленному уровню изучения математики.

Пример из раздела «Алгебра» 9 класс

Задание 1

1-1 (1б)  Разложите на множители  .

1-2 (2б)  Упростите выражение  

1-3 (3б)  Сумма квадратов корней уравнения  равна 1,75. Найдите  .

Задание 2

2-1 (1б)  Разложите на множители.

2-2 (2б)  Постройте график функции. При каких значениях аргумента функция принимает положительные значения?

2-3 (3б)  Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известен один из его корней.

Задание 3

3-1 (1б)  Упростите:  .

3-2 (2б)  Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если известно, что один  из корней уравнения равен.

3-3 (3б)  Найдите значения параметра, при которых уравнение  имеет положительные корни.

В разделе «Геометрия» задачи 1-1, 2-1, 3-1 и т.д.  – это стандартные задачи в разнообразных формулировках. Их решение способствует пониманию важных элементов содержания предмета и повторению основных формул. Для решения задач 1-2, 2-2, 3-2 и т.д. требуется умение владеть различными способами и методами, приводить аргументы и вести рассуждение. Среди этих задач встречаются задачи С-4 (№18) вариантов ЕГЭ прошлых лет.

Пример из раздела «Геометрия» 9 класс

Задание 1

1-1 (2б). Внутри треугольника  взята точка  такая, что . Точки  - середины отрезков. Найдите.

 1-2 (4б)  Дано: - выпуклый четырехугольник,, ,  . Найти.

 Задание 2

2-1 (2б)  Основания трапеции равны 1 дм и  дм, углы при меньшем основании  равны  и. Найдите высоту и боковые стороны трапеции.

2-2 (4б)  Дано: точка М лежит внутри,, .. Найти углы треугольника.

Задание 3  3-1 (2б)  В параллелограмме   , ,,. Найдите площадь параллелограмма.

3-2 (4б) (см. рис.30) 

 Дано: . Точка  - середина. Доказать:.

В-четвертых, уровень сложности от задания к заданию постепенно повышается, с учетом тематической цикличности всей системы. Однотипные задачи становятся «дешевле», так как после повторения используемых приемов понижается степень их трудности для ученика. Место этих задач занимают задачи из других тем. Так, задачи 5-3,8-2 и 34-1, 13-3 и 15-2, 15-3 и 20-2 главы «Алгебра» одного уровня сложности.

Пример для сравнения

  Постепенное повышение сложности задач позволяет постепенно повышать оптимальный уровень возможностей каждого ученика.

В-пятых, темы в заданиях периодически повторяются, что способствует реализации принципа прочности результатов обучения.

Дополнительные задания как средство обучения могут быть использованы учителем на уроках и факультативах, для работы с классом и индивидуальных занятий с учащимися, а также для составления разноуровневых домашних заданий.

III Описание технологии применения системы дополнительных заданий на уроках

После основной части урока, за 15-20 минут до его окончания, ученикам предлагается одно из заданий. Все получают на карточках одинаковые задачи. На урок геометрии две, на урок алгебры три задачи. В процессе решения приветствуется самостоятельность, но при необходимости, ученик может получить у учителя индивидуальную консультацию.

Учитель проверяет решения в тетради у каждого ученика. Учитывая ограниченные временные ресурсы и наполняемость классов, учитель в рамках одного урока может проверять только одно из умений. Например, умение оформлять решение по теме «Решение систем уравнений» (для одной из задач). При этом для остальных задач достаточно предъявление краткой записи решения. Требования к оформлению учитель сообщает ученикам заранее.

Следуя традициям физико-математического лицея № 366, используется балльная система учета. Она заключается в следующем. Если ученики сдают решение задачи на проверку сразу, то получают все баллы, которыми оценивается эта задача. За проверенную задачу, в зависимости от качества ее решения, на полях тетради ученика выставляются баллы, которые впоследствии учителем заносятся в ведомость. При этом исправить ошибки или завершить решение ученик может не только на уроке, но и дома. Записав решение на отдельном листе бумаги, ученик может сдать его учителю перед следующим уроком.

Исправленные решения учитель также проверяет (в этом случае каждая задача «стоит» полцены) и заносит баллы в ведомость. Урок начинается с 5-10-минутного разбора предложенных накануне задач, в ходе которого ученики делают записи решений в тетрадях. (Существенно экономит время при объяснении использование мультимедийных устройств).

Пример повторения с помощью презентаций теоретического материала

перед решением задачи 19-2 по геометрии

Пример разбора с помощью проектора решения задачи по геометрии

21-2 (4б)  В трапеции  синус угла между боковой стороной и большим основанием  равен, а синус угла  равен. Найдите среднюю линию трапеции, если радиус окружности, описанной около трапеции, равен 8.

                             Решение

Трапеция АВСD является равнобедренной, т.к. она вписана в окружность.  по свойству равнобедренной трапеции. Проведем.  Прямоугольные треугольники  и  равны по гипотенузе и острому углу, поэтому.  - прямоугольник, значит,.  .

Т.о. отрезок    равен искомой средней линии трапеции.

Треугольник  вписан в ту же окружность, что и трапеция.

(по следствию из теоремы синусов). :                            Ответ: 10

Через несколько уроков проводится зачет по серии разобранных к этому времени задач. Результат зачета и сумма набранных баллов являются основанием для выставления ученику одной или двух отметок в классный журнал.

IV Технология применения системы заданий в 9 классе.

Учебная деятельность осуществляется по учебному пособию [5]: Трушова И.И. АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ. Сборник задач для учащихся 9 класса. СПб: СМИО Пресс, 2014.

 Описывается применение серии 15 заданий (№31-№45) раздела «Алгебра».

Серия заданий (№31-№45) относится к 20 учебным занятиям (по 2 урока каждое занятие). Планируется на 15-ти занятиях решение и разбор задач, на 3-х занятиях - готовиться к зачету, на одном занятии провести письменный зачет и на последнем занятии подвести итоги.

Решение дополнительных задач проходит после изучения основной темы урока, дополняя его системным повторением.

При описании технологии здесь используется следующая нумерация уроков: к двухчасовому занятию №1 относятся уроки 1.1 и 1.2, к занятию №2 – уроки 2.1 и 2.2 и т.д.

1.Этапы учебной деятельности и их продолжительность

Таблица 1

2. Формы и методы диагностики предметных, метапредметных результатов:

-проверка правильности решений;

 -мониторинг индивидуальной работы  и оценка личностных результатов учащихся во время консультаций;

-наблюдение за развитием коммуникативных навыков;

 -самооценка учащихся.

3. Дидактические материалы и средства обучения:

 -раздаточные материалы – учебное пособие [5];

-экран, проектор;

-интерактивные презентации(с теоретическим содержанием и с решением задач);

-таблица учета результатов;

-линейки, ручки, карандаши, тетради.

4. Методические ресурсы:

-план и конспект урока с решениями задач и ответами к ним;

-учебное пособие: Трушова И.И. АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ. Сборник задач для учащихся 9 класса. СПб: СМИО Пресс, 2014.

5. Описание этапов

1 этап (Урок 1.2) Повторение теории по теме. Постановка целей учебной деятельности.

После основной части урока, за 17 минут до его окончания, ученикам предлагается задание №31.

Задание 31

31-1 (1б)  Решите систему уравнений.

31-2 (2б)  При каких значениях  уравнение  имеет два корня разных знаков?

31-3 (3б)  Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Ученики определяют темы учебного материала, по которым представлены задачи. Фронтально проводится краткое повторение методов и приемов решения. В частности:

-в 31-1 метод введения новой переменной, метод почленного сложения при решении систем уравнений;

-в 31-2 метод проверки параметра на нуль, метод применения теоремы Виета;

-в 31-3 метод выделения уравнения окружности, прием изображения (сплошной и пунктирной) линий на плоскости в зависимости от строгости неравенства, метод изображения множества точек на плоскости.

Учитель сообщает требования к проверке задания №31. В решениях проверяется умение не только правильно решить задачу 31-1, но и грамотно оформить решение данной системы уравнений.

2 этап (Урок 1.2) Самостоятельная деятельность по отбору теории и решению задач.

Так как в сборнике [5] имеются теоретические сведения, то учитель направляет учащихся на поиск теоретических сведений, необходимых для решения указанного набора задач. К заданию 31 учащиеся добывают необходимую информацию в §11 и §16 главы «Алгебра».

После выбора и повторения необходимого учебного материала ученики самостоятельно решают задачи 31-1, 31-2, 31-3. После оформления решения каждой задачи ученик показывает учителю и получает баллы по итогам проверки, которые заносятся таблицу 2 (см. 6 этап). Ученик может получить краткую консультацию, направляющую на решение.

Учителю необходимо знать решения и ответы ко всем трем задачам. Проверка должна быть быстрой и четкой, консультации лаконичными.

 Анализ ошибок по итогам работы проводится доброжелательно и имеет рекомендательный характер.

3 этап (Перед уроком 2.1) Домашняя работа с целью завершения самостоятельной деятельности.

Сдача решений на проверку.

Те решения, которые по разным причинам не  завершили на уроке 1.2, ученики выполняют дома. Запись оформляют не в тетради, а на отдельных листочках, которые сдают учителю перед уроком 2.1, т.е. до разбора решений этих задач.

4 этап (Урок 2.1) Разбор решений.

Решения к задачам учитель демонстрирует с помощью проектора. Так значительно экономится учебное время. Другие возможные способы решений обсуждаются. Важно отметить наиболее удачные решения учеников.

Решение задания 31

31-1 (1б)  Решите систему уравнений

Решение

Введем замену  Получим систему

Решением последней системы являются

Имеем                                          Ответ:

31-2 (2б)  При каких значениях  уравнение имеет два корня разных знаков?

Решение

При исходное уравнение является линейным и имеет один корень.

При квадратное уравнение имеет корни разных знаков при условии.

Т.е..                                                              Ответ:.

31-3 (3б)  Изобразите на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Решение

Строим две прямые  и окружность.

Прямая  - пунктиром.

Подставляем поочередно в систему неравенств координаты точек

Только точка соответствует системе. Закрашиваем искомую область.

5 этап (Уроки 2.2-15.2) Повторение 1-5 этапов. Индивидуальные консультации.

На уроке 2.2 начинается работа над заданием 32 и т.д.

На этапе решения серии дополнительных заданий и разбора решения каждой задачи происходит рефлексия трудностей учащихся. В индивидуальных дневниках (опыт работы освещался в статьях [6] и [7]) или на полях ученической тетради школьники ведут учет трудностей в ходе работы. Здесь важно поддерживать интерес каждого. Эффективно не только убеждение в важности аналитической работы, но и начисление добавочного балла за самоанализ проблем, возникших в ходе решения.

6 этап (Урок 16.1) Обобщение итогов 1-15 уроков.

Пример таблицы учета баллов и критерии отметок.

За одно задание можно получить от 0 до 6 баллов. За 15 заданий от 0 до 90 баллов.

Критерии: за 45 – «5», 30 – «4», 15 – «3», меньше 15 – «2».

Таблица 2

Замечание. Если ученик отсутствовал на серии уроков, он получал задания по эл. почте, или разбирал решения впоследствии в школе. Отметку в таких случаях нужно выставлять с учетом возможностей ученика. Например, ученица Гагарина Д. по болезни отсутствовала на уроках, но дистанционно участвовала в учебном процессе. Поэтому отметку «4» получила не за 30, а за 26 балла.

7 этап (Уроки 16.2-18.2) Подготовка к зачету.

 Перед зачетом ученики самостоятельно, пользуясь решениями, прорабатывают наиболее трудные для них задачи. В этот период можно пользоваться помощью учителя и одноклассников. На этом этапе важную роль играет внутренняя мотивация к учебному труду.

8 этап (Урок 19.1) Письменный зачет.

Задачи для зачета могут выбираться из серии разобранных заданий или подбираться аналогичные им.

Пример зачетной работы по доп. задачам № 31-№45 по алгебре. Задания на карточках.

Таблица 3.

9 этап (Урок 20.1) Итоги зачета. Рефлексия.

Анализировать проблемы, возникшие в ходе решения серии заданий, удобно, если тексты всех задач перед глазами. Открыв сборник на заданиях 31-45, ученики отвечают на вопросы анкеты. Свои инициалы могут не подписывать.

Анкета по самооценке трудностей

6. Технологическая карта  

IV Из опыта работы. Результаты.

В таблице 1 видно, что около пятой части учебного времени отводится на работу по представленной технологии. Казалось бы слишком много. Но следует отметить, что это время отводится на эффективную работу учащихся, в ходе которой ученики участвуют не только в выборе наиболее рационального  решения, но и анализе применяемых способов учебной деятельности. Школьники перестраивают прежние представления, генерируют новые знания, выходя за границы субъектного опыта. Систематическое решение дополнительных заданий позволяет учащимся своевременно ликвидировать пробелы в математических знаниях.

Динамичность цепочки «решение-проверка-рейтинг-разбор решения» пронизана духом соревнования и поддерживает интерес учеников к учебной деятельности. С этой точки зрения система дополнительных  задач является средством для мотивации учеников к учению. Краткие индивидуальные консультации учителя способствуют формированию объективной самооценки каждого из них. Анкетирование позволяет не только соотнести результаты самооценки с внешними оценками, но и направляет на определение смысла учебной деятельности. Все это влияет на самоорганизацию школьника для повышения качества математической грамотности.

Эффективность системы дополнительных заданий, как составляющей всей моей методической системы, подтверждается высокими показателями качества знаний учеников: результаты ЕГЭ (в 2013 г. средний балл - 83, лучший результат – 100 баллов), ГИА, ОГЭ (в 2013, 2014 гг. по математике все отметки «5»).

Методическая система, построенная на основе личностно-деятельностного подхода, позволяет сформировать у учащихся информационную, коммуникативную, исследовательскую компетенции, побуждает учащихся увлеченно заниматься математикой и делать уверенные первые шаги в учебных исследованиях. Она влияет на формирование у старшеклассников устойчивой  мотивации к непрерывному образованию. Мои выпускники – хорошие студенты, среди них есть аспиранты и кандидаты наук.  

Многолетний опыт применения системы дополнительных задач позволил мне издать сборники  [3], [4], [5]. В сборниках [4] и [5] имеются теоретические сведения, необходимые для решения указанного набора задач. Ко все задачам приведены ответы, показаны образцы оформления решений некоторых задач.

Все это создает удобство для использования сборника учеником для самоподготовки. Если такие сборники имеются у всех учеников класса, то становится эффективным процесс самообразования каждого. Кроме того, учителю не нужно перепечатывать карточки к каждому уроку или записывать содержание дифференцированных домашних заданий, достаточно сослаться на номера заданий сборника.

С методикой подготовки девятиклассников к ГИА по сборнику [5] я выступала на секции математики районной конференции и в СПб АППО на курсах повышения квалификации учителей математики (2014г.).

 Задания сборника используют на уроках и факультативах, для работы с классом и индивидуальных занятий, а также для составления разноуровневых домашних заданий, коллеги–учителя математики Санкт-Петербурга и других городов России.

V Список литературы

1.Лебедев О.Е. Качество – ключевое слово современной школы. (Серия «качество школьного образования») /О.Е. Лебедев. – СПб.: филиал изд-ва «Просвещение», 2008. – 191 с.

2. Епишева О.Б. Технология обучения математики на основе деятельностного подхода : Кн. Для учителя / О.Б. Епишева. – М.: Просвещение, 2003. – 223 с.

3. Трушова И.И. Алгебра. Геометрия. Сборник задач. 9 класс / И.И. Трушова. – СПб.: Физико-математический лицей № 366, 2010. – 40 с.

4. Трушова И.И. Алгебра. Геометрия. Сборник задач. 9 класс / И.И. Трушова. – СПб.: Физико-математический лицей № 366, 2012. – 56 с.

5. Трушова И.И. АЛГЕБРА. ГЕОМЕТРИЯ. Сборник задач для учащихся 9 класса / И.И. Трушова. – СПб.: СМИО Пресс, 2014. – 80 с.

6. Трушова И.И. Домашняя работа учащихся: почему возникают трудности? (из опыта работы) Научно-практическая конференция «Школа возможностей и возможности школы», Материалы конференции. – СПб, 2009. – 68 с.

7. Трушова И.И. Домашние задания в современных условиях. // Математика в школе. – 2010. - № 7. – С. 34-37.