Комплексные числа
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

www.themegallery.com Решите уравнение: x 2 – 6 x + 13 = 0

Слайд 2

Множества чисел R Q Z N С N  Z  Q  R  C

Слайд 3

Алгебраические операции Натуральные числа: +,  Целые числа: +, –,  Рациональные числа: +, –, , ÷ Действительные числа: +, –, , ÷ , любые длины Q Z N R C Комплексные числа: +, –, , ÷, любые длины, √ − 1

Слайд 4

Комплексные числа

Слайд 5

"Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа , почти амфибия между бытием и небытием ". Г. Лейбниц

Слайд 6

Многовековая история развития представления человека о числах – одна из самых ярких сторон развития человеческой культуры.

Слайд 7

Из истории комплексных чисел Комплексные числа были введены в математику для того, чтобы сделать возможной операцию извлечения квадратного корня из любого действительного числа. Это, однако, не является достаточным основанием для того, чтобы вводить в математику новые числа. Оказалось, что если производить вычисления по обычным правилам над выражениями, в которых встречаются квадратный корень из отрицательного числа, то можно прийти к результату, уже не содержащему квадратный корень из отрицательного числа. В XVI в. Кардано Джероламо Кардано нашел формулу для решения кубического уравнения. Оказалось, когда кубическое уравнение имеет три действительных корня, в формуле Кардано встречается квадратный корень из отрицательного числа. Впервые, по-видимому, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Кардано (1545), который счёл их непригодными к употреблению.

Слайд 8

Из истории комплексных чисел Леонард Эйлер Он же дал некоторые простейшие правила действий с комплексными числами. Выражения вида a + b √−1, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» в XVI-XVII веках, однако даже для многих крупных ученых XVII века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной. Известно, например, что Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Лейбницу принадлежит фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием» Пользу мнимых величин, в частности, при решении кубического уравнения, в так называемом неприводимом случае (когда вещественные корни выражаются через кубические корни из мнимых величин), впервые оценил Бомбелли (1572). Задача о выражении корней степени n из данного числа была в основном решена в работах Муавра (1707) и Котса (1722). Символ i =√−1 предложил Эйлер (1777, опубл . 1794), взявший для этого первую букву слова imaginarius .

Слайд 9

Он же высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. К такому же выводу пришел Д’Аламбер (1747), но первое строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 г, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году. Из истории комплексных чисел Полные гражданские права мнимым числам дал Гаусс , который назвал их комплексными числами, дал геометрическую интерпретацию и доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что каждый многочлен имеет хотя бы один действительный корень. Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе Весселя (англ.), (1799). Первые шаги в этом направлении были сделаны Валлисом (Англия) в 1685 году. Карл Гаусс

Слайд 10

Понятие комплексного числа Комплексное число z = (a; b) записывают как z = a + bi . i 2 = − 1 , i – мнимая единица . Число Re z называется действительной частью числа z , а число Im z – мнимой частью числа z . Их обозначают a и b соответственно: a = Re z , b = Im z . Определение : Числа вида a + bi , где a и b – действительные числа, i – мнимая единица, называются комплексными .

Слайд 11

Пример. Решите уравнение: x 2 – 6 x + 13 = 0 Решение. Найдем дискриминант по формуле D = b 2 – 4 ac . Так как a = 1, b = – 6, c = 13 , то D = (– 6)2 – 4 × 1 × 13 = 36 – 52 = – 16; Корни уравнения находим по формулам

Слайд 12

www.themegallery.com Решите уравнения: x 2 – 4 x + 13 = 0. 9 x 2 + 12 x + 29 = 0.

Слайд 13

www.themegallery.com Взаимопроверка Ответы: 1) 2 )

Слайд 14

Действия над комплексными числами Сравнение a + bi = c + di означает, что a = c и b = d (два комплексных числа равны между собой тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части) Сложение ( a + bi ) + ( c + di ) = ( a + c ) + ( b + d ) i Вычитание ( a + bi ) − ( c + di ) = ( a − c ) + ( b − d ) i Умножение ( a + bi )  ( c + di ) = ac + bci + adi + bdi 2 = ( a c − bd ) + ( b c + a d ) i Деление a + bi c + di a c + bd c 2 + d 2 = +  i bc − ad c 2 + d 2

Слайд 15

Сопряженные числа Числа z = a + bi и z = a – bi называются сопряженными

Слайд 16

Прокомментировать: (a + bi) + (c + di ) = (a + c) + (b + d) i (2 + 3 i ) + (5 + i ) = (2 + 5) + (3 + 1) i = 7 + 4 i ; (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i (5 – 8 i ) – (2 + 3 i ) = (3 – 2) + (– 8 – 3) i = 1 – 11 i ; (a + bi)(c + di) = (aс + bd) + (ad + bc)i (– 1 + 3 i )(2 + 5 i ) = – 2 – 5 i + 6 i + 15 i 2 = – 2 – 5 i + 6 i – 15 = – 17 + i ; Произведение двух чисто мнимых чисел – действительное число: bi  di = bdi 2 = − bd Например: 5 i •3 i = 15 i 2 = − 15; Работа в группах

Слайд 17

(– 2 + 3 i ) + (1 – 8 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 8)) i = – 1 – 5 i ; (– 2 + 3 i ) + (1 – 3 i ) = (– 2 + 1) + (3 + (– 3)) i = – 1 + 0 i = – 1 . (3 – 2 i ) – (1 – 2 i ) = (3 – 1) + ((– 2) – (– 2)) i = 2 + 0 i = 2 . (2 + 3 i )(2 – 3 i ) = 4 – 6 i + 6 i – 9 i 2 = 4 + 9 = 13 . − 2 i •3 i = − 6 i 2 = 6. www.themegallery.com

Слайд 18

Примеры Произведение двух сопряженных чисел – действительное число: (a + bi )(a – bi ) = a 2 – abi + abi – b 2 i 2 = a 2 + b 2 Деление комплексного числа a + bi на комплексное число c + di ≠ 0 определяется как операция обратная умножению и выполняется по формуле: Формула теряет смысл, если c + di = 0 , так как тогда c 2 + d 2 = 0 , т. е. деление на нуль и во множестве комплексных чисел исключается. Обычно деление комплексных чисел выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. a + bi c + di a c + bd c 2 + d 2 = = +  i bc − ad c 2 + d 2 ( a + bi )( c − di ) ( c + d i )( c − di )

Слайд 19

Прокомментируйте www.themegallery.com

Слайд 20

Вычислите: www.themegallery.com

Слайд 21

«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин.

Слайд 22

www.themegallery.com Спасибо за урок!