Элективный курс "Решение уравнений и неравенств с модулем"
методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему

Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2 Высокогорского района РТ

Элективный курс: «Решение уравнений и неравенств с модулем»

(9 класс)

с.Высокая Гора – 2012

        ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ  ЗАПИСКА

Знание математики необходимо для изучения многих наук. Трудно себе представить изучение таких наук, как физика, химия, информатика, экономика и даже биология, медицина, психология и так далее без математики.  

Элективный курс «Решение уравнений и неравенств с модулем» рассчитан на 14 часов. В последние годы уравнения и неравенства, связанные с понятием модуль стали очень часто встречаться на школьных олимпиадах, на вступительных и выпускных экзаменах и что особенно актуально в материалах единого государственного экзамена. В то время как в учебниках общеобразовательных школ такого рода задания либо имеются в единичных количествах, либо отсутствуют вовсе.

Данный курс содержит методы и приемы решений уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля, а также способы преобразований графиков функций, содержащих в своих формулах выражения под знаком модуля.

Разделение курса на теоретическую и практическую часть позволяет дополнять или изменять практическую часть новыми заданиями в зависимости от уровня подготовленности класса и количества выделенных на данный курс часов и позволяет рассмотреть задания, содержащие и другие функции (степенную, тригонометрическую, показательную, логарифмическую ).

В данном курсе в  практической части  рассмотрены  задания, содержащие линейные и квадратичные функции, то есть может быть проведен на базе 8-ых и 9-ых классов.

ЦЕЛИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

1. Научить учеников «не боятся» модуля
2. Формировать у учащихся первоначальные навыки работы с модулем
3. Познакомить учащихся с методами решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля
4. Обучить учащихся приемам построения графиков функций, содержащих в формулах выражения под знаком модуля
5. Заинтересовать учащихся в дальнейшем изучении тем, сопряженных с понятием модуля
6. Ознакомить учащихся с заданиями малого ЕГЭ, где используются понятия модуля

ЗАДАЧИ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

По окончании данного курса учащиеся должны:

1. решить для себя нужно ли им выбрать в дальнейшем математический профиль обучения;
2. выяснить для себя нужно ли им в дальнейшем выбрать профессию, связанную с математикой или применением математики;
3. овладеть некоторыми методами решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля;
4. уметь строить графики линейных и квадратичных функций, содержащих в формулах выражения под знаком модуля.

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

                                               Теоретическая часть.

I .  Модуль

         1)понятие модуля;

    2)раскрытие модуля;

         3)свойства модуля.

    II .  Решение уравнений, содержащих выражения под знаком модуля

                                         a ≥ 0                  

       1)     |f(x)|=a  ⬄         f(x)=a                                                  

                                          f(x)=-a                                                

                                           g(x) ≥ 0    

      2)  |f(x)|=g(x)   ⬄        f(x)=g(x)       , когда функция g(x) проще, чем f(x)

                                           f(x)= -g(x)

                                  f(x) ≥ 0          

                                  f(x)=g(x) , когда функция f(x)  проще, чем g(x)                                                                                                          

      3)  | f(x)|=g(x)   ⬄         f(x)<0

                                  f(x)= -g(x)

     4) |f(x)|=|g(x)|    ⬄       f(x)=g(x)

                                           f(x)= -g(x)

III . Решение неравенств, содержащих выражения под знаком модуля

1)  |f(x)|⬄  -g(x)⬄      f(x)

                                                                   f(x)>-g(x)

2)  |f(x)|>g(x)  ⬄       f(x)>g(x)

                                   f(x)<-g(x)

          3)  |f(x)|<|g(x)|  ⬄  (f(x)-g(x))(f(x)+g(x)) <0  

   IV .  Построение графиков функций, содержащих в формулах выражения

          под знаком модуля

           1)  y=|f(x)|    график этой функции получается из графика функции                

               y=f(x)      следующим образом :

                     а) часть графика функции y=f(x), расположенная выше оси ОХ остается на месте.

                     б) часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ отображается симметрично относительно оси ОХ  и удаляется.

            2) y=f(|x|) – график этой функции получается из графика функций y=f(x) следующим образом:

                     а) часть графика функции y=f(x), расположенная правее оси ОУ остается на месте и отображается симметрично относительно оси ОУ

                         б) часть графика функции y=f(x), расположенная левее оси ОУ удаляется.

            3) |y|=f(x) - график этой функции получается из графика функций y=f(x) следующим образом:

                     а)   часть графика функции y=f(x), расположенная выше оси  ОХ отображается симметрично относительно оси ОХ и остается на месте.

                   б) часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ удаляется.

Практическая часть

 I.  Модуль

        Раскрыть следующие модули :

1)  |  π-3 |                5) | х2 |                    

2) | √3 - √2 |                6) | x4 + 1 |

         3) | 1- √2  |             7) | х2 – х + 0,25  |

         4) | √5 -2 |              8) | х2 + 2х + 2   |

 II .  Решить уравнения, содержащие выражения под знаком модуля :

3. Решить неравенства, содержащие выражения под знаком модуля  

 IV.   Построить графики функций, содержащие в формулах выражения

          под знаком модуля        

5. Задания, предлагаемые на «малом» ЕГЭ:

     1)  Решить уравнения:

| х-6 |=7

| 2х+1 |=19+3х

| 3х+8 |=| 2х+2 |

| х-7 |+|9+х |=18

| |х-1|-2|=3

| х2-9 |=8х

     2) Решить неравенства:

          | 3х+7 | ≤ 2

          | х2-2х | < | х+4 |

          | х+1 |+| х+2 |+| х-1 |+| х-2 | < 5х-15

      3) Найдите наибольшие целые решения неравенств:

          | 5х+1 | < 2

          | 1-4х | > 9

          | 2х+1 | ≥ 37

      4) При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 решения,

             не имеет решений:

           | х-1 |+| х-3 |=a

       5) При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня,

          3 корня, 4 корня, не имеет корней:

           | х2-4х-5 |=a

        6) Найдите середину промежутка, являющегося решением

          неравенства:

            | 3х+8 | ≤ 4

            | 5х-1 | < 14

            | 4х+3 | ≤ 15

VI. Примеры решения заданий

       1. Решить уравнение

           | 8- | х+2 | | =4

Раскрывая внешние модули имеем совокупность

     8-| x+2 |=4                    | x+2|=4

        8-| x+2 |=-4   ⬄           | x+2 |=12

          Раскрывая внутренние модули имеем совокупность

                x+2=4                 x=2

           x+2=-4                x=-6

           x+2=12    ⬄       x=10

           x+2=-12              x=-14

      Ответ: х1=2; х2=-6; х3=10; х4=-14.

2. Решить неравенство

    | х2-6х+8 | < 4х-х2

    Неравенство равносильно системе

      х2-6х+8  < 4х-х2                

         х2-6х+8  > - 4х+х2            ⬄

        2х2-10х+8  < 0                              х2-5х+4  < 0               

       -2х+8  > 0                    ⬄                x-4 <0             ⬄

       1 < x < 4

          x < 4

       Ответ: x < 4.

 3.  Решить неравенство

        | х2+3х | ≥ 2-х2

Неравенство равносильно совокупности

       х2+3х  ≥ 2-х2                                                              

       х2+3х   ≤  х2 -2       ⬄

       2х2+3х-2  ≥ 0

          3х   ≤   -2               ⬄

          x ≥ 0,5

          x ≤ -2    

          x ≤ -2/3

 Ответ:  x ≥ 0,5; x ≤ -2/3.

  4. Решить неравенство

        | х2+х-2| > | х+2 | .

Неравенство равносильно неравенству

(( х2+х-2) – (х+2))(( х2+х-2) + (х+2)) > 0    ⬄

( х2-4)( х2+2x) > 0   ⬄   x(x-2)(x+2) 2  > 0

   Ответ: x <-2; -2 < x < 0; x > 2.

5. Решить графически уравнение  

| x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |=12

Построим графики следующих функций

          y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

          y=12

и найдем абсциссы их точек пересечения.

              Для построения графика функции  y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

        Найдем вершины ломанной линии. Сначала найдем нули подмодульных       выражений, затем соответствующие им значения ординат.

      x+4=0        x1=-4       y1=8

      x-3=0         x2=3        y2=8

      x-5=0         x3=5        y3=12

      6-x=0         x4=6        y4=12

      Найдем две точки для х >  6 и для х <  -4.                                          

   x5=7      y5=14

   x6=-6     y6=12

Построим график функции y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x |

 и у=12. Координаты точек пересечения  при y=12 x=-6 , 5 ≤  x ≤  6

                                                                    __ Y                                                        

                                                                    _14                                                             

                                                                    _13                                                             

                                   y=12                         _12                                                           

                                                                    _ 11                                                             

                                                                    _ 10                                                             

                                                                    _ 9                                                             

                                                                    _ 8                                                             

                                                                    _ 7                                                             

                                                                    _ 6  y= | x+4 |+| x-3 |-|x-5 |+| 6-x                                                          

                                                                    _ 5                                                             

                                                                    _ 4                                                           

                                                                    _ 3                                                             

                                                                    _ 2                                                           

                                                                    _ 1                                                             

                                                                    -9 -8 -7 -6 -5 -4--3 -2  -1 0  1   2  3  4  5   6  7  8   9                                                                  

                      |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |                                                                                                                                                                                                                                

                                                                    _                                                       X                                                                                                                                  

                                                                    __                                                            

                                                                    _      

   Ответ:  x=-6 ; 5 ≤  x ≤  6.

VII. Зачетная работа .  

      Вариант 1.

Решить уравнения.

1. | x2 – x – 5 | = 1

2. | x2 + x – 1 | = 2x – 1

3. |x + 5| + | x – 8 | = 13

Решить неравенства.

1. | 4x2 –  1 |   <  x + 2

2. | 3x – 2 |  >  2х + 1

3.  | x + 4 – x2 |   <  | x2 – 5х + 4 |

Построить графики функций

1. у = | x – 3 | + | 2x – 1 |
2. y = | 2x2  + 12x – 19 |
3. y = 12x2 + 12 |x| – 19
4. |y| = 12x2 + 12x – 19

Вариант 2.

Решить уравнения.

1.  | 2x –  3 | = 7

2. | x + 2 | = 2(3 – х)

3. | x | – 2 |х + 1| + 3 | x + 2 | = 0

Решить неравенства.

1. x2 – 5x + 9 › | x – 6|  

2. 12 x2  – 9х + 15 |  ≥  20

3.  | 3x – 2 |   ›  | 2x + 1 |

Построить графики функций

1. у = | x – 1 | + | x + 1 |
2. y = | x2 + 5x +6 |
3. y = х2 + 5 |x| + 6
4. |y| = x2 + 5x + 6

Вариант 3.

Решить уравнения.

1.  | x2 - 4x | = 4

2. | 3 x2 - x | = 8 + x

3. |x| + | 3x + 2 | + | 2x - 1| = 5

Решить неравенства.

1. 3 | x - 1 |   ≤  x + 3

                                    2. | x2 + 3x|  ≥  2 - x2

3.  | 4x – 1 |   ≥  | 2x + 3 |

Построить графики функций

                                    1. у = | x – 2 | + | 2x - 1 |

                                    2. y = | -2x2 - 5x - 2 |

                                    3. y = -2x2 - 5 |x| - 2

                                    4. |y| = -2x2 - 5x – 2

Вариант 4.

Решить уравнения.

1.  | 2x + 3 | = 5

2. | x + 3 | = x2 + x - 6

3. | x + 1 | + | x - 5 | = 20

Решить неравенства.

1. | x2 – 6x + 8 |   ‹  5x - x2

3. 2 | x + 1 |  ≥  x - 1

3.  | x2 + x – 2 |   ›  | x + 2 |

Построить графики функций

                                    1. у = | x – 2 | - | x + 2 |

                                    2. y = | 0,5x2 + 3x +0,5 |

                                    3. y = 0,5x2 + 3 |x| + 0,5

                                    4. |y| = 0,5x2 + 3x + 0,5

Вариант 5.

Решить уравнения.

1. | x2  - x - 1 | = 1.

2. | 5х + 2 | = 3 - 3x.

3. | x | - | x - 2 |  =2

Решить неравенства.

1. |х2 + 3x | ‹ x + 4
2. | 3x – 5 | › 9x + 1
3. | x + 2 |   ‹ | x – 2 |

Построить графики функций.

1. у = | x + 3 | + | 2x + 1 | - x
2. y = | x2  - 4x + 7 |
3. y = x2 - 4 |x| + 7
4. |y| = x2 - 4x + 7

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

           В теоретической части данного курса для решения уравнений и неравенств, содержащих выражения под знаком модуля представлен метод равносильного перехода от уравнения или неравенства к системам и совокупностям, что позволяет избежать проверки корней, а это –экономия времени, а учитывая объем заданий, предлагаемых на едином государственном экзамене, это важно. Также этот метод позволяет решать уравнения и неравенства, не прибегая к раскрытию модуля и не обращая внимания на знаки выражений, входящих под знак модуля. Поэтому при изучении данного курса ученик должен хорошо владеть методом равносильного перехода.

           Метод построения графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, представленный в этой работе, позволяет довольно быстро построить достаточно сложные графики, зная только графики основных функций   у=f(x) и способы их преобразования, указанные в теоретической части.

          Для более успешного усвоения материала можно на уроках разобрать ключевые задания по каждому из видов уравнений и неравенств, а часть заданий из практической части предложить ученикам для самостоятельного решения дома или на уроке, консультируя по необходимости.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир  «Алгебраический тренажер»
2. С.И.Колесникова   «Математика. Решение сложных задач ЕГЭ»
3. А.Г.Цыпкин, А.И.Пинский   «Справочник по методам решения задач по математике»
4. С.В.Смирнова, Д.М.Осадчая  «Занятия по математике для абитуриентов(КГТУ)»
5. М.Н.Кочагина, В.В.Кочагин  «Малое ЕГЭ по математике»