Элективный курс 8 -9 классы по теме:"Решение уравнений и неравенств с модулем"
элективный курс по алгебре (9 класс) по теме

                         Институт непрерывного педагогического  образования

                                  Программа элективного курса

                                   для  учащихся 8 – 9 классов

                      Решение уравнений и неравенств с модулем 

                                                      Составитель: Бадрутдинова З.Ш.  

                                                      учитель математики I квалификационной категории

                                                      МОУ « СОШ № 31 с углубленным изучением

                                                      отдельных предметов»  города Нижнекамска

                                                г.Набережные Челны

                    Учебно-тематический план

                                          Пояснительная записка

         Математическое образование в системе основного общего образования занимает

     одно из ведущих мест, что определяется безусловной практической значимостью

     математики, ее возможностями в развитии и формировании мышления человека, ее

     вкладом в создание представлений о научных познаниях действительности.

        Актуальным остается вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

       Программа курса «Решение уравнений и неравенств с модулем» предполагает изучение таких вопросов, которые не входят в школьный курс математики основной школы, но необходимы при дальнейшем ее изучении. Рассматриваемая тема позволяет сделать достаточно полный обзор различных типов уравнений, неравенств с модулем, систем уравнений с модулем и использование свойств модуля при решении иррациональных уравнений. Изучение данной темы будет способствовать развитию логического мышления, приобретению опыта работы с заданием более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности.

          Целями данного курса являются:

1. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности, ориентированных на профиль, на профессию.
2. Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для

успешного продолжения образования.

  Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются

следующие задачи :

1.Научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль.

2. Научить учащихся решать уравнения и неравенства, содержащие модуль.

  3. Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

   Курс предназначен для учащихся 9 классов, рассчитан на 17 часов.

   Курс призван помочь ученику оценить как свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в профильных классах, так и повысить

уровень его математической культуры.

                           Образовательные результаты

 В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

- Свободно применять приобретенные ранее знания в измененных нестандартных

условиях.

-Проводить тождественные преобразования алгебраических выражений.

-Решать уравнения, системы уравнений и  неравенства с модулем, применяя методы, предусмотренные данным курсом обучения.

                 Содержание программы       

 Тема 1. Решение уравнений и неравенств с модулем

вида |f(x)|=b, |f(x)|<b, |f(x)|≥b, где f(x) – некоторая функция, а b – положительное

число(2ч).

Модуль. Общие сведения: определение, свойства модуля, геометрический смысл модуля. Преобразование выражений, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств с модулем.

Методы обучения: лекция, объяснение, решение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверка самостоятельно решенных упражнений.                          

   Тема 2. Решение уравнений и неравенств с модулем вида

|f(x)|= g(x), |f(x)| < g(x), |f(x)|≥  g(x), где f(x) и g(x) –некоторые функции(2ч).

На конкретных примерах рассмотреть несколько способов  решения уравнений и неравенств с модулем вида, предусмотренных данной темой.

Методы обучения: лекция, объяснение, решение упражнений.

Форма контроля: индивидуальный контроль, проверка самостоятельно решенных упражнений.

Тема 3   Решение уравнений и неравенств с модулем вида

|f(x)| = |g(x)|, |f(x)|< |g(x)|(3ч).

Рассмотреть два способа решения уравнений и неравенств с модулем.

Методы обучения: лекция, объяснение, решение тренировочных упражнений.
Форма контроля: индивидуальный контроль по карточкам. Проверка самостоятелтно решенных упражнений.

   Тема 4

Изучение способа решения уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей(3ч).

Рассмотреть метод интервалов, который применяется при решении уравнений и неравенств, содержащих несколько модулей.

Методы обучения: лекция, объяснение, решение тренировочных упражнений.
Форма контроля: проверочная работа, индивидуальный контроль.

Тема 5. Решение уравнений и неравенств, в которых под знаком модуля находится выражение, в записи которого содержится один или несколько модулей(3ч).

Рассмотреть решение уравнений и неравенств, содержащих модуль в модуле. Метод замены переменной.

Методы обучения: объяснение, выполнение упражнений.

Форма контроля: индивидуальный контроль, проверка самостоятельно решенных упражнений.

  Тема 6    Решение систем уравнений с модулем(2ч).

 На примерах рассмотреть решение систем уравнений с модулем.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Форма контроля: проверочная работа, индивидуальный контроль.

   Тема 7. Использование свойств модуля при решении иррациональных

уравнений.

 Рассмотреть примеры иррациональных уравнений, в которых применяется свойства

модуля  . Метод замены переменной.

Методы обучения: объяснение, выполнение  тренировочных упражнений.

Форма контроля: индивидуальный контроль по карточкам, проверка самостоятельно решенных упражнений.                               

                            Приложение

                             Занятие 1

 Цели:          вспомнить определение модуля, геометрический смысл модуля, рассмотреть на примерах способы решения уравнений и неравенств с модулем.          

I. Организационный момент.

   II. Актуализация опорных знаний.                                     

1)  Определение. Модулем числа а называется само это число а, если а ≥ 0,и противоположное число(- а), если а<0. Модуль числа обозначается |a|.  

                           |a|=

  Геометрически модуль числа а означает расстояние на координатной прямой от точки с координатой а до начала координат.

                                            |a|          

                       _____________________________

                                    а                    0

  Запись |x- a| можно понимать как расстояние от точки с координатой х до точки с координатой а.

                        Свойства модуля

    Для любого действительного числа а

                           |a|≥0

                           |a| = |-a|

                           |a| = a.

    2) Устно выполнить задания: а) Модуль числа(-12) равен…

                                                       б) Модуль числа - 2 равен…

                                                       в) Упростите выражение |x-6| -7 при х>14.

                                                        г) Упростите выражение |x-6|-7 при х <2.

                                                        д) Решите уравнение |x| = 5.

                                                        е) Решите уравнение  |x| = -5.

   III.  Изучение нового материала.                                                                                                                           

  Решение уравнений и неравенств с модулем вида |f(x)| = b, |f(x)|<b, |f(x)|>b, где f(x)- некоторая функция, а b – положительное число (b>0). Рассмотреть несколько способов решения уравнений: используя геометрический смысл модуля, определение модуля, а также способы решения неравенств: используя геометрический смысл модуля, метод интервалов и с помощью равносильных преобразований . Неравенство вида |f(x)|<b равносильно системе

Неравенство вида |f(x)|≥b равносильно совокупности неравенств:

   Покажем использование данных способов на примерах:

Пример 1. Решите уравнение |x− 7| = 2.

Решение.

   1-й способ

   Исходя из геометрического смысла модуля, следует найти на координатной прямой точки, расстояние от которых до точки с координатой 7 равно 2.

                                ________________________________      

                                                  5            7           9                

     Получим х = 5 или х = 9.

    2-й способ

   По определению модуля х-7 =-2 или х-7=2. Получим х = 5, х = 9.

Ответ. 5;9.

   Пример 2. Решите неравенство |х – 7|<2.

   Решение. 1-й способ.

Исходя из геометрического смысла модуля, следует найти точки на координатной прямой, расположенные на расстоянии, меньшем 2 от точки с координатой 7.

                            ____________________________________

                                                     5            7          9

   Получим промежуток (5; 9).

   2-й способ(метод интервалов).

   Найдем нули выражения, стоящего под знаком модуля х-7 = 0, х = 7. Отметим

   число 7 на координатной прямой.

                                  1) х<7                               2) х≥7      

                             ____________________________________        

                                                            7

   Число 7 разбивает координатную прямую на два промежутка. Рассмотрим отдельно два случая и объединим результаты.

1. Если х<7, то выражение под знаком модуля принимает отрицательные значения, и по определению модуля имеем систему      

   Решение системы – промежуток (5; 7).

2. Если х≥7, то выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения

и по определению модуля имеем систему    

    Решение системы- промежуток  7;9). Объединим решения в пунктах 1) и 2). Получим промежуток  (5;9).

    3-й способ.

   Неравенства вида |f(x)|<b, где f(x)- некоторая функция, а число b>0, можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство |f(x)|<b равносильно системе

    Неравенство   |x-7|<2 равносильно системе

    Ее решением является промежуток  (5;9).                                        

    Ответ: (5;9).

     Пример 3. Решите неравенство |x+7|≥3. Также можно рассмотреть геометрический  смысл модуля, метод интервалов. Рассмотрим 3-й способ решения.

     Неравенства вида |f(x)|≥b, где f(x)- некоторая функция, а число b>0, можно решить с помощью равносильных преобразований. Неравенство |f(x)|≥b равносильно совокупности неравенств  f(x)≥b или f(x)≤b.

     Неравенство |x+7|≥3 равносильно совокупности неравенств х+7≥3 или

                                                                                                            х+7≤-3.

     Решением неравенства является объединение промежутков (-∞; -10] и [-4;+∞).

   IV. Закрепление изученного материала.

1) Упростите выражение:                                                

                                             а) |х-6|+|х| при 0<х<4 – у доски;

                                             б) |х-6|+|х| при х<-4 – (за закрытой доской);

                                             в) |х-6|+|х| при х>15(за закрытой доской).

2) Решите уравнение: а) | 3х-2 | = 4 – у доски;

                                     б) |3х-2| = 4- (за закрытой доской)

                                     д) |5х+ 3| = 5 – самостоятельно с последующей проверкой.         Ответ. а) 2;- б) нет корней; в) 0,4; 1,6.

3) Решите неравенство: а)| х-3|< 2- у доски;

                                        б) |3х-2|< 4 – самостоятельно;

                                    в) |х-5|≥4( за закрытой доской).        Ответ. а) ( 1;5); б) (-2/3;6); в) (-∞;1)[9;+ ∞).

V.  Итоги урока. Повторить алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем.

 VI. Домашнее задание. Решить уравнение а) |6x-1|=2;

                                          Решить неравенство а) |2x-3| < 8;

                                                                              б) |6- 4x|≥ 7.                                                                    

                                    Задачник 1.

  1) Решите уравнения: а) |0,5-2x|= 4,5;

                                        б) |6x-4|= 8. В ответе укажите сумму его корней.                                  

     2)Решите неравенства: а)                                      |х-5|≥0;

                                         |х-5|>0;

                                         |х+1|≥ 2;

                                        3х-2≥4.

4) Укажите число целых решений неравенства |х+1| <7.

5) Укажите наименьшее натуральное решение неравенства |x-2|>1.

6)Укажите наибольшее целое решение неравенства |x-3|<2.

7) Укажите сумму целых решений неравенства  |5x-1|≤9.                                  

Занятие 2

Цели: показать способы решения уравнений и неравенств с модулем вида |f(x)|=g(x), |f(x)\< g(x), |f(x)|≥g(x); закрепить полученные знания в ходе выполнения упражнений.

1. Оргмомент. Проверка домашнего задания (решение заданий написано на доске).
2. Актуализация опорных знаний.
                                                  

1. Рассказать схему решения уравнений и неравенств вида |f(x)|=b, |f(x)|<b, |f(x)| ≥b.
2. Устно решить уравнения: а) | x+3|= 4;

                                                  б) |2x + 7,8| = 5- ;

 III. Изучение нового материала.

1. Рассмотреть решение уравнения с модулем вида |f(x)|= g(x) на примере.

Пример 1. Решите уравнение |x-4|= 4x+1.

Решение. 1-й способ.

Найдем нули выражения, стоящего под знаком модуля: х-4=0, х=4.

Число 4 разбивает координатную прямую на два промежутка.

                              1) х<4                    2) x≥4

                   ___________________________________

                                                      4

  Решим исходное неравенство на каждом из промежутков.

1. Если х < 4, то выражение под знаком модуля принимает отрицательные значения, и по определению модуля имеем систему

Решением системы будет число 0,6, так как 0,6   (-∞; 4).

                    __________________

                         0,6           4              

2. Если х ≥ 4, то выражение под знаком модуля принимает неотрицательные значения, и по определению модуля имеем систему

Система не имеет  решений, так как –    

                   ________________________

                             - 5/ 3             4

2-й способ.

Уравнение вида |f(x)| = g(x) равносильно системе  

Уравнение |x- 4| = 4x + 1 равносильно системе

решением которой является число 0,6.

Ответ: 0,6.

2. Рассмотреть решение неравенств вида  |f(x)|< g(x) на примере.

Пример 2. Решите неравенство |2x + 4| + x < 2. В ответе укажите  сумму всех его целых решений.

Решение. Неравенство вида |f(x)|<g(x) равносильно системе неравенств

Неравенство  |2х+ 4|< 2 – x равносильно системе неравенств

решением которой является промежуток ( -6; -). Целые решения, входящие в этот промежуток: -5, -4, -3, -2, -1. Их сумма равна -15.

Ответ: -15.

3. Рассмотреть решение неравенств вида  |f(x)|≥ g(x) на примере.                                                

Пример 3. Решите неравенство | х - 4 |≥ 3x.

Решение.  Найдем нули выражения, стоящего под знаком модуля: х-4 = 0, х = ±2.

Числа -2 и 2 разбивают координатную прямую на три промежутка.

                             х≤ -2                 -2 <х <2       x≥ 2        

                         __________________________________

                                        -2                            2                

 Решим исходное неравенство на каждом из промежутков.

1) Если х ≤ -2, то имеем систему  

Решим второе неравенство системы х – 3х – 4 ≥ 0.

                             _____________________________

                                       - 1                       4

Решением неравенства является объединение промежутков ( - ∞; -1) и [4; + ∞).

Решением системы неравенств является промежуток (-∞; -2].

2) Если -2 < x < 2, то имеем систему                        

Решим второе неравенство системы – x -3x + 4 ≥ 0.

                       _____________________

                              -4                       1

Решением неравенства является отрезок [ -4; 1]. Решением системы неравенств является промежуток ( -2; 1].

3) Если х ≥ 2, то имеем систему  

Решением второго неравенства является объединение промежутков (-∞; -1] [4;+∞). Решением системы неравенств является промежуток [ 4; +∞).

Решением исходного неравенства является объединение решений в пунктах 1), 2),

3): (-∞; 1]  [4; +∞).

Ответ: (- ∞; 1]  [4; +∞).

Данное неравенство можно решить с помощью равносильных переходов т.е.

Неравенство вида |f(x)| ≥ g(x) равносильно совокупности неравенств f(x) ≥ g(x) или

f(x) ≤ - g( x).  Значит, неравенство | x -4| ≥3x равносильно совокупности неравенств

х - 4≥ 3х или х- 4 ≤ -3х.

 IV.Формирование умений и навыков.

1. Решить уравнение  |х-3|=3х+2.        Ответ. 0,25.
2. Решить неравенства а) |3х+6 |+х < 3;

                                         б)  |х+2007|≥ 2007+ х. Эти задания трое  учащиеся выполняют за закрытой доской, а остальные в тетрадях (с последующей проверкой).   Ответ. а) (- 4,5;- 0,75); б) (- ∞; +∞).

3) Решить самостоятельно уравнение |x -9| = - 8x. В ответе указать сумму его корней ( с последующей проверкой). Ответ. – 10.

V. Итоги урока. Повторить схему решения уравнений и неравенств.

VI. Домашнее задание: 1.Решите уравнение |3x – 2| = -3x.

                                         2.Решите неравенство | 5 – 2x| + 4x< 3 и найдите наибольшее                            

                                            целое его решение.

                          3.    Решите неравенство |3x – 5|>9x +1.

                      Задачник 2.

1. Решите уравнение: а) |x+3|= x+x- 6;

                                      б) |х-5|=2х+3;

                                      в)|2х-3|=х;

                                      г) x  - 4| x+1| +5x+4=0;

                                      д) |x+x- 1|=x;                                      

                                      e) |х+ 2007|=2007+х.

                                      д) |х- 9|=8х;

2) Решите неравенство  а) |х+2007|≤ 2007+ х;

                                        б) |х + 2007|< 2007+x;

                                        в) |2x- 5|≤ x;

                                        г) |4x-1| < x+2;

                                        д)  2|x+1|≥ x -1;

                                        e) |3x – 2|> 2x +1;

                                         ж ) |x+3x| < x + 4/

3) Укажите середину промежутка, являющегося множеством решений неравенства

|x + 1| ≤ 0,5x+2.

                                   Занятие 3.

Цели:  выработать навыки и умения решать уравнения и неравенства

с модулем вида |f(x)| = |g(x)|, |f(x)|< |g(x)|.            

.

1. Оргмомент.  Проверка домашнего задания. Разобрать задания, которые вызвали затруднения у учащихся.
2. Работа по карточкам.

                                         Карточка 1

                      Решить уравнение |6- 2x| = - x + 5 и найти сумму его корней.

                                        Карточка 2

                       Решить уравнение |4x- 0,5| + 2x- 1 = 0.

                                         Карточка 3

                       Решите неравенство |x| > x+ 2.

                                         Карточка 4

                       Решите неравенство 2 |x +1|≥ x -1.

3. Устный опрос. Остальные ученики вспоминают схему решения уравнений и неравенств вида |f(x)|=g(x), |f(x)|< g(x), |f(x)|≥g(x).
4. Изучение нового материала.

 Рассмотреть на примере решение уравнений вида |f(x)| = |g(x)|.

Пример 1. Решите уравнение |2x + 5|= |x-1|.

Решение. Два числа модули которых равны, либо равны между собой, либо отличаются только знаком, т.е. если | a | = | b|, то либо а=b, либо а = -b. Применим это свойство модулей к решению исходного уравнения.

                                    2х+5=х-1 или 2х+5=1-х

                                            х = -6        х = - 4/3.

Ответ: -6; -4/3.

2-й способ.

Уравнение вида |f(x)| = |g(x)| равносильно уравнению f(x) = g(x).

Уравнение | 2x+ 5| = |x – 1| равносильно уравнению (2х + 5) = (х – 1). Далее применяем формулу разности квадратов и условие равенства нулю произведения:

( 2х + 5 – (х-1)) (2х+ 5+ х-1) = 0.

      Рассмотреть на примере решение неравенств  с модулем вида  |f(x)|< g(x).

Пример 2. Решите неравенство |x -2x| < |x+4|. В ответе укажите число целых решений неравенства.

Решение.

Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведем обе части неравенства в квадрат. Имеем: ( х- 2х) < (x + 4).

Перенесем слагаемые в левую часть неравенства и применим формулу разности квадратов.

                (х -2х – х-4)(х-2х+х+4) <0

                        (x-3x-4)(x-x+4) <0.

Данное неравенство не является ни линейным, ни квадратным. Решим его методом интервалов.

  Рассмотрим функцию f(x)= ( х-3х-4)(х-х+4). Найдем нули функции, для этого решим уравнение  (х-3х-4)(х-х+4) = 0.

  Числа -1, 4 являются нулями функции.

  Отметим нули функции на координатной прямой. Они разбивают координатную

прямую на три промежутка.

 В каждом из промежутков знак функции сохраняется, а при переходе через нуль функции (т.е. через точки -1, 4) ее знак меняется.

    Определим знак функции в каком-нибудь из трех промежутков. Например, рассмотрим  f(0)= (0 - 4)(0 + 4) = -16, -16 < 0, значит, в промежутке  (-1; 4) значения функции отрицательны. Далее происходит чередование знаков.

                                                +                     -                   +                                          

                                         ______________________________                                      

                                                           -1                      4

Решением исходного неравенства является промежуток ( -1; 4). В этот промежуток

входит четыре целых числа: 0; 1; 2; 3.

Ответ: 4.

5. Формирование умений и навыков.

        Решить уравнение:   а)  |3x + 4| = | x- 3| - на доске и в тетрадях;

                                     б) |x-5| = |0,5x+3| - самостоятельно в тетрадях.

Решить неравенство:  а) |3x – 2| > |2x + 1| - на доске и в тетрадях;

                                      б) |x+2|< |x-2| - самостоятельно в тетрадях.

                                      в) |3+x|≥|x| - за закрытой доской.

Проверка хода решения и ответов.

VI. Повторить способы решения уравнений и неравенств.

6. Домашнее задание : 1) Решите уравнение |x-9|=|8x|.

                                             2) Решите неравенство а)  |2x-1|< |3x+1|;

                                                                                     б) |4x-1|≥|2x+3|.

                                  Задачник 3        

1.  Решите уравнение:   а) |x- 1| = |x|;

                                                   б) |5x-2|= |x+3|;

                                                   в) |4-x| = | x+7|;

                                                   г) |2x+5|- |6+3x|= 0.

             Ответы. а) 1/2; б) -5/4 или -1/6; в)-1,5; г) -1 или -2,2.      

           2) Решите неравенство а) |x-x|≥|2x+10|;

                                                   б) |x+2|< |x-2|;

                                                   в) |3+x|≥ |x|;

                                                   г)  |4x-1|≥| 2x+3|;          

                                                   д) |x+4-x|≤ |x-5x +4|.

             Ответы. а) (-∞;- 2][5;+∞); б) х<0; в) х≥ -3/2; г) (-∞;-1/3][2;+∞);

                            д) (-∞;0][2;3].  

         3) Решите неравенство  |x+2x|≤|x+6|. В ответе укажите длину промежутка,        являющегося решением неравенства.

     Ответ. 5.

                                         Занятие 4.

    Цели: формировать умения и навыки решения уравнений и неравенств,       содержащих несколько модулей.

   I. Оргмомент.

   II. Проверочная работа (15мин.)            

 III. Изучение нового материала.

    Рассмотреть решение уравнений, содержащих несколько модулей.

 Для решения таких уравнений и неравенств применим метод интервалов.

Пример 1. Решите уравнение |x-7| + |9+x| = 18.

   Решение.

1.Найдем нули каждого из выражений, стоящих под знаком модуля: х-7=0, х=7 и 9+х=0, х=-9.

                                 х≤-9          -9< x< 7              x≥7

 2.                       _________________________________        

                                           -9                         7

3.Определим знаки каждого из выражений стоящих под знаком модуля в каждом из промежутков.

          Составим таблицу знаков.

1. Если х ≤ −9, то имеем систему  

  Так как -10 <-9, то решением системы является число -10.

2. Если -9<x<7, то имеем систему

Система решений не имеет.

3. Если х≥7, то имеем систему

Решением является число 8, так как 8>7. Итак, исходное уравнение имеет два решения: -10 и 8.

Ответ: -10; 8.

Ответ: -10; 8.

Пример 2. Решите неравенство  |x-1| +|x-2|>x+3. Для решения этого неравенства

Применяем метод интервалов.

Ответ: (-∞;0) (6;+∞).

IV.Формирование умений и навыков.

  1) Решить уравнение : a) |x-8|+|7+x|=16- на доске и в тетрадях;

                                               б) |x-5|+|6+x|=13 – самостоятельно с последующей

                                                    проверкой.  Ответы. а) -7,5; 8,5  б) 7;6.    

     2) Решить неравенство: а а) |x+1|+|x+2|+|x-1|+|x-2|<5x-15 – за закрытой доской;

                                          б) |x+3|+|x+2|+|x-2|+|x-3|≤6x-18 – самостоятельно

                                               с последующей проверкой. Ответы. а) (15;+∞) б) [9; +∞).

 V. Итоги урока. Повторить схему решения уравнений и неравенств с модулем.

 VI. Домашнее задание. Решите уравнение а) |x|+|x-6|=6;

                                                                          б) |x-2|+|x-4|=3.

                                          Ответы. а) [0;6] б) 3/2;9/2.

                                          Решите неравенство |x-5|+|6+x| <11.

                              Задачник 4

  Решите уравнение: а)  |x-2|-3|3-x|+x=0;

                                    б)|2x+2| + |x-5|+ 1=0;

                                    в)    |4-x|+|2x-2|+5-2x;

                                    г)  |x+3|- |5-2x|= 2-3x;

                                    д)  |x-3| + 2|x+1| = 4.

Ответы. а)11|5; 7 б) нет решений в) 1 г) 2/3 д) -1.

Решите неравенство: а)|x| -2|x-2|+3|x+5|≥2x;

                                     б) |x|-2| x+1| + 3| x+2|≥ 4;

                                     в) |x+1|- |x-1|> 1.

  Ответы.  а) х- любое; б) х ≤ -4 или х≥-1 в) х>1/2.                              

                               Занятие 5.

1. Проверка домашнего задания. Решение написано на доске.
2. Актуализация опорных знаний.            

      Повторить определение  и свойства модуля.

Устно: а) Модуль числа - 2 равен …

             б) Упростите выражение   |x- 7| +|x| при х <7.

III. Изучение нового материала.

     Рассмотреть решение уравнений ,в которых под знаком модуля находится выражение, в записи которого содержится один или несколько модулей.                              

Пример 1. Решите уравнение ||x-1| - 2|=3.

Решение.

Решение можно начать с раскрытия « внутреннего» модуля. 

1. Если х-1≥0, то |x-1|=x-1. И имеем следующее уравнение |x-1-2=3, |x-3|=3, решением которого являются числа 0 и 6.

Так как х≥1, то число 0 является посторонним корнем уравнения. Значит, при

х-1≥0, получаем только один корень 6.

2) Если х-1<0, то |x-1|= -(x-1). И имеем следующее уравнение |-(x-1)-2|=3, |- x-1|=3,

решением которого являются числа 2 и (-4). Так как х<1, то число 2 является посторонним корнем уравнения, т. е. при х-1<0 получаем только один корень (-4).

Итак, исходное уравнение имеет два корня (-4) и 6.

Ответ: -4; 6.  

  IV.   Формирование умений и навыков.   

1. Решите уравнение а) ||x|+1|=4 – на доске и в тетрадях;

                                     б) ||x|+2|=6 – за закрытой доской;

                                     в) ||x-3|-4|=5- самостоятельно с последующей

                                     г) |5-|x+2||=1 проверкой.

V. Итоги урока.

VI. Домашнее задание. Решите уравнение: а) ||x| - 2| = 3;

                                                                          б) ||x+3|-1|+4.

                           Задачник 5.

Решите уравнение: а) |3+|x-1| | =2;

                                 б)||x|-6 | = 5;

                                 в)||x+1| -8|= 6;

                                 г) ||x| +2| = 1;

                                 д) ||x+1|- |x-3||=|x| ;  

                                 е) ||x+2| - |x_ 6|=|x|.

                           Ответы. д) -4 или 2/3 , или 2,или 4; е) -8; 4/3; 4; 8.

                                  Занятие 6.

1. Проверка домашнего задания.
2. Проверочная работа (15 мин.)

                                      Вариант 1

     1)  Решите уравнение: а) ||3x|+5| =2;    

                                        б) |x  |- |x-2| =2.      Ответ. а) решений нет; б) х ≥ 2.

      2) Решите неравенство: |3x-2|> |2x+1|. Ответ. (-∞;1/5) (3;+∞).                    

                                      Вариант 2

1. Решите уравнение: а) ||x| + 1| = 4;

                                       б) |x+2| - |x-3| =5. Ответ. а) 3;-3 б) х≥ 3.

2) Решите неравенство  |3 + x|≥ |x|.          Ответ. х≥ – 3/2 .

        III. Изучение нового материала .

         Рассмотреть решение систем уравнений с модулем на примере.

Пример 1. Решите систему уравнений

Решение.

Рассмотрим второе уравнение системы. Так как |x-y|=5, то х-у=5 или х-у = -5.

В первом случае имеем систему        которую можно решить методом

сложения или методом подстановки. Решением системы является пара

чисел (4; -1).

Во втором случае имеем систему       которую тоже можно решить

Методом сложения или методом подстановки. Решением системы является пара чисел ( ; 5).

Ответ: , (4; -1)

IV. Формирование умений и навыков.

1) Решите систему уравнений а)      - на доске и в тетрадях.

                                                     б)    - самостоятельно с последующей

                                                                                  проверкой.      

     2) Решите систему неравенств а)     - на доске и в тетрадях.

V. Итоги урока.

VI. Домашнее задание: Решить:     Ответ. ( 4; 1),(22/7; 43/7).

                            Задачник 6.

  1) Решите систему неравенств                                                                    

В ответе укажите число целых решений системы.  Ответ. 8.

      2)Решите неравенство                              

 Найдите наибольшие и наименьшие целые числа, принадлежащие промежутку, который является  множеством решений системы неравенств.

Ответ. -3 и 5.

                                  Занятие 7

1. Проверка домашнего задания. Решение написано на доске.
2. Работа по карточкам.

                              Карточка 1

                    Решить уравнение |5 -2x|= 2x.

                               Карточка 2

                    Решить уравнение  |4x +2| =2x -1.                                

                         Карточка 3.

              Решите неравенство |2x -1| > 3x-4.

                         Карточка 4.

               Решите неравенство  |4x -1| < |2x+3|.

                         Карточка 5.

              Решите неравенство  |2x+ x -1|> |x +1|.

3. Изучение нового материала.

          Рассмотреть примеры  иррациональных уравнений при решении которых применяется свойства модуля.    

Пример 1. Решите уравнение х +  −12 = 0.

Решение.

Так как = |b|, то исходное уравнение равносильно уравнению x+|x|-12=0.

Решим его двумя способами.

1-й способ.

Решим уравнение на каждом из двух промежутков х≥0 и х<0.

1. При х≥0 получим уравнение х+х-12=0. Его корни: -4 и 3. С учетом условия

х≥0, имеем  только один корень 3.

2. при х< 0 получим уравнение х-х-12=0. Его корни 4 и (-3). С учетом условия

х<0, имеем только один корень (-3).

Исходное уравнение имеет два корня 3 и (-3).

2-й способ.

Введем новую переменную. Пусть |x|=a. Так как х = |x|, то имеем квадратное уравнение относительно а.

                         а+а-12=0.

                         а = -4 или а = 3.

                         | x|=-4 или |x|=3.

Первое уравнение корней не имеет. Второе уравнение имеет два корня ±3.

Ответ: ±3.

Замечание: уравнение х +()- 12=0 внешне практически  не отличается от

уравнения х+- 12=0. тем не менее при решении его используется другое свойство арифметического квадратного корня. А именно: ()= а, а≥0.

И его решение будет следующим:

                       х+ ()-12=0

Корни квадратного уравнения: 3 и (-4). Но х≥0, поэтому решением уравнения

х +()-12=0 будет только число 3.

4. Формирование умений и навыков.

  1) Решите уравнение а)  х- на доске и в тетрадях.

                                      в) - самостоятельно с последующей проверкой.

     V. Итоги урока.

     VI. Домашнее задание. Решите уравнения    а) х;

                                                                                 б) х

  Курс завершается контрольной работой в двух вариантах.

                            Контрольная работа.

                                               Вариант 1                                              

1.Упростите выражение |x-5|-6 при х < 2.

2.Решите уравнения а) |2x+3| = 5;

                                          б) |5x-1|= 3-.

    3. Решите неравенство |x- 7|≥ 4.

    4. Решите уравнение |x В ответе укажите сумму его корней.

    5. Решите неравенство |x+1| +|x-2|+|x-3|< 3x-9.

        Ответы: 1) –х-1; 2) а) 1;-4; б) корней нет; 3) (-∞;3)(11;+∞); 4) -10.

                                               Вариант 2.

1. Упростите выражение |x-1| - 3 при х<1.
2. Решите уравнения  а) |5x-1|= 2;

                                       б) |2-3x|=-8.

    3    Решите неравенство | 15- 3x|< 6.

    4. Решите уравнение |3x-5|=2x. В ответе укажите сумму его корней.

    5. Решите неравенство |x+3|+|x+2|+|x-2|+|x-3|≤6x-18.

           Ответы: 1) –х-2; 2) а) -0,2; 0,6; 3)(3;7) 4) 5/3; 1.

Литература

1.Вавилов В.В.,Мельников И.И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства : справочное пособие. – М.: Наука,2000.

2.Дорофеев Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы.- М.: Наука,1999.

3.Звавич Л.И., Шляпочкин Л.Я.,Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа 8-11классы: пособие для школ с углубленным изучением математики.- М.: Дрофа,2000.

4.Кочагина М. Н. Математика: 9 класс: Подготовка к « малому ЕГЭ».-М.: Эксмо,

5.Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Доп. главы к шк. учеб. 9кл.: Учебное пособие

для учащихся школ и классов с углубленным  изучением  математики.- М.: Просвещение,1996.

6.Мерзляк А. Г. и др. Алгебраический тренажер: Пособие для школьников и абитуриентов.- М.: Илекса,2003.

7.Скворцова М.А. Уравнения и неравенства с модулем.8-9 классы // Математика №20, 2004.  

8. Сивашинский И.Х. Теоремы и задачи по алгебре и элементарным функциям.- М.:

  Наука, 1998.