числовые неравенства и их свойства
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Тема: Числовые неравенства и их свойства.

Цели: изучить теоремы, выражающие свойства числовых неравенств; формировать умения применять теоремы-свойства при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Сравните числа:

а)  и ;                                в)  и ;

б) 0,4 и ;                                г)  и –0,75.

2. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) 1547 ∙   и 1547 ∙  ;                в) 289 ∙  17 и 289 : ;

б) 2187 :  и 2187 ∙  ;                г) 156,4 : 0,2 и 156,4 · 0,2.

3. Сравните выражения:

а) а2 + 25 и 10а;                        б) b2 + 5 и 2b + 3.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т  1

Доказать неравенство:

1) (6y – 1)(y + 2) < (3y + 4)(2y + 1);

2) 4(x + 2) < (x + 3)2 – 2x.

В а р и а н т  2

Доказать неравенство:

1) (3y – 1)(2y + 1) > (2y – 1)(2 + 3y);

2) (x – 5)2 + 3x > 7(1 – x).

Р е ш е н и е

В а р и а н т  1

1) (6y – 1)(y + 2) – (3y + 4)(2y + 1) = 6y2 + 12y – y – 2 – 6y2 – 3y – 8y – 4 =
= –6 < 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) 4(x + 2) – (x + 3)2 + 2x = 4x + 8 – x2 – 6x – 9 + 2x = –x2 – 1 =
= –(x2 + 1) < 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

В а р и а н т  2

1) (3y – 1)(2y + 1) – (2y – 1)(2 + 3y) = 6y2 + y – 2y – 1 – 4y – 6y2 + 2 + 3y =
= 1 > 0, значит, неравенство верно при любом значении у.

2) (x – 5)2 + 3x – 7(1 – x) = x2 – 10x + 25 + 3x – 7 + 7x = x2 + 18 > 0, значит, неравенство верно при любом значении х.

III. Объяснение нового материала.

1. «Открытие» свойств числовых неравенств.

На этом этапе можно организовать работу учащихся в группах (лабораторная работа).

1-я  г р у п п а – арифметический блок.

З а д а н и е  1. Сравните числа:

а) 5,1 и 2,5;                 2,5 и 5,1;

б) – 3 и 2;                2 и –3;

в) 1,05 и 1,005;         1,005 и 1,05.

В ы в о д:

Если а > b, то b … а.

Если а < b, то b … а.

З а д а н и е  2. Сравните числа:

а) 2,3 и 7,6;                 7,6 и 8,7;                 2,3 и 8,7;

б) –1,5 и –1,25;        –1,25 и –1;                 – 1,5 и –1;

в) –0,7 и 2;                2 и 2,1;                 –0,7 и 2,1.

В ы в о д:

Если а < b и b < с, то а … с.

З а д а н и е  3. Сравните:

а) 2,3 и 3,6;                 2,3 + 2 и 3,6 + 2;

б) 1,6 и 2,07;                 1,6 – 11 и 2,07 – 11;

в) –4 и –3;                 –4 +  и –3 + .

В ы в о д:

Если а < b, то а + с … b + с.

З а д а н и е  4. Сравните:

а) 11,1 и 12,1;                 11,1 ∙  3 и 12,1 ∙  3;

б) 0,7 и 1;                 0,7 ∙  1,1 и 1 ∙  1,1;

в) 0,01 и 0,001;         0,01 ∙  10 и 0,001 ∙  10.

В ы в о д:

Если а < b и с > 0, то ab … bc.

2-я  г р у п п а – геометрический блок.

З а д а н и е  1. Если а правее b, то b … а (а > b, то b … а).

З а д а н и е  2. Если а левее b и b левее с, то а … с.

З а д а н и е  3. Если а левее b и с – любое число, то а + с … b + c.

З а д а н и е  4. Если а левее b и с – положительное число, то ас … bc.

Используя рисунок, заполните пропуски так, чтобы получились верные утверждения.

Так как 2 < 3, то 2 · 100 … 3 · 100.

Так как 2 < 3, то 2 · 0,01 … 3 · 0,01.

3-я  г р у п п а – практический блок.

З а д а н и е  1. Если а тяжелее b, то b … а (а > b, то b … а).

З а д а н и е  2. Если а легче b и b легче с, то а … с.

З а д а н и е  3. Если а легче b и с – любое число, то а + с … b + c.

З а д а н и е  4. Если а легче b и с – положительное число, то ас … bc.

2. Формулировка и доказательство теорем, выражающих свойства числовых неравенств.

Разобрать доказательство четырёх теорем согласно пункту учебника.

3. Прочитать правило (формулировка теоремы 4) на с. 158 учебника. Обратить внимание на важность знания этой теоремы для решения неравенств с одной переменной.

4. Рассмотреть  на  конкретном  примере  следствие  из  теоремы  4  на с. 158.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 746, № 748.

Эти упражнения на применение теорем 1 и 2. При решении следует выполнять как построение координатной прямой с точками (геометрическая интерпретация), так и запись соответствующих числовых неравенств.

2. № 749 (а, в), № 750 (б, г), № 751 (а, в, е).

Р е ш е н и е

№ 749.

а) a – 3 > b – 3;         a – 3 + 3 > b – 3 + 3;         a > b (по Т3).

    a > b и b > 4, то  a > 4 (по Т2). Значит, a и b – положительные числа.

в) 7a > 7b;         7a : 7 > 7b : 7;         a > b (по Т4).

    a > b и b > ,  то  a >  (по Т2).  Значит,  a и b – положительные числа.

№ 750.

б) 5 > –3;                5 – 2 > –3 – 2;                        3 > –5.

    5 > –3;                5 – 12 > –3 – 12;                        –7 > –15.

    5 > –3;                5 – (–5) > –3 – (–5);                10 > 2.

г) 15 > –6;                15 : 3 > –6 : 3;                        5 > –2.

    15 > –6;                15 : (–3) < –6 : (–3);                –5 < 2.

    15 > –6;                15 : (–1) < –6 : (–1);                –15 < 6.

№ 751.

а) a < b;                        a + 4 < b + 4;

в) a < b;                        8a < 8b;

е) a < b;                        a : (–1) > b : (–1);                –a > –b.

3. № 752 (устно), № 753 (устно).

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Сформулируйте основные свойства числовых неравенств.

– Если к обеим частям верного неравенства прибавить отрицательное число, то получится ли верное неравенство?

– Можно ли обе части верного неравенства домножить на отрицательное число, чтобы получилось верное неравенство? Какое ещё условие необходимо соблюсти?

– Если a < b и b > 4. Можно ли утверждать, что a > 4?

Домашнее задание:  № 747,  № 749 (б, г),  № 750 (а, в),  № 751 (б, г, д), № 764 (а, в).