Планирование урока математики для 5 классов на тему: «Позиционные системы счисления». (Урок изучения нового материала) УМК "Математика. Психология, Интеллект" (МПИ)
учебно-методический материал по алгебре (5 класс) на тему

Министерство образования и науки РФ

Государственное бюджетное образовательное учреждение «Школа с углубленным изучением французского языка № 1265»

Планирование урока математики для 5 классов на тему:

«Позиционные системы счисления».

(Урок изучения нового материала)

УМК "Математика. Психология, Интеллект" (МПИ)

Автор: учитель математики Догова А.Т.

Москва 2015

Цели урока:

• Обучающие: ввести понятие "позиционная система счисления", создать его образное сопровождение, исследовать и обобщить его ее основные особенности.
• Воспитывающие: создание условий для совершенствования интеллектуальных ресурсов каждого ученика за счет обогащения форм индивидуального умственного опыта.
• Развивающие: развитие интереса к математике, литературе, активация мыслительной деятельности учащихся, развитие творческого мышления, математической речи учащихся.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Решить задачу: чему равно 84, если 8∙8=54?

Вопрос показался для учащихся странным, ведь они давно знают, что 8∙8=64. А по условию 8∙8=54!? И как связаны числа 54 и 84?

Вопрос не лишен смысла, однако ответить на него мы сможем позже, когда познакомимся с системами счисления.

2. Объяснение нового материала.

Для записи чисел, мы пользуемся цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифр всего десять (запомните, это важно). Нужно помнить, что значение каждой цифры в записи чисел определяется не только ей самой, но и местом (позицией) которое она занимает в записи числа. Например, число "три" изображается цифрой 3. Можно записать 3, 03, 003, и т.д. В любом случае, цифра 3 стоит справа, и все эти записи обозначают одно и то же число. Если же цифру 3 переместить влево на позицию, то получится 30(три десятка), на две позиции – 300 (три сотни) и т. д. Вот почему запись числа при такой системе называется позиционной. Для позиционной системы характерно, что число разбивается на разряды. Например, запись 798 означает, что число состоит из 8 единиц, 9 десятков и 7 сотен. Единица каждого разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего разряда.  Поэтому такая система счисления называется десятичной.

Почему привычная нам система счисления называется десятичной? (Единица каждого разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего разряда)

Запишем число 1598 в виде суммы разрядных единиц: 1∙1000+5∙100+9∙10+8=1∙103+5∙102+9∙101+8.

Кроме десятичной системы счисления, существуют и другие позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием (кроме 1). Так, в Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления, сохранившаяся и до наших дней. Деление часа на 60 минут, а минуты – на 60 секунд. В древности широко использовалась двенадцатеричная система. Возможно, даже вы слышали такое определение, как дюжина? То есть 12! И в наше время некоторые предметы считают не десятками, а дюжинами: столовые приборы в сервизе, стулья в мебельном гарнитуре и т.д.

Вернемся к задаче, сформулированной в начале урока. Теперь вы догадались, что числа, входящие в условии задачи, были записаны не в десятичной системе счисления.

Пусть основание неизвестной системы х, тогда число 84 означает 8 единиц второго разряда и 4 единицы – первого. Тогда:

84=8х+4 и 54=5х+4.

8∙8=5х+4, т.к. 8∙8=54.

Решая уравнение, получаем: х=12. Это означает, что числа записаны в двенадцатеричной системе. А значит, 84=8х+4=8∙12+4=100.

Итак, одно и тоже число можно записать по-разному: в системах счисления с разными основаниями. В десятичной системе счисления число 2910 пишется просто 29 (то есть, в нижнем право углу числа принято указывать основание системы счисления).

В системе счисления с основанием 5 используется только пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. Поэтому запись числа 2910=1045:

В системе счисления с основанием 3 используется только три цифры: 0, 1, 2. Поэтому 2910=10023:

В системе счисления с основанием 2 используется только две цифры: 0 и 1. Поэтому 2910=111012:

Системы счисления с основанием больше 10 необычны – если в десятичной системе счисления используется все десять цифр, то для 12-ричной системы счисления, например, нужно 12 (в том числе, две двузначные – 10 и 11).  В таких случаях используются латинские буквы:

Вместо 10 – А, 11 – В и т.д.

III. Подведем итоги:

1. Позиционная система счисления дает возможность записывать любое число с помощью небольшого количества цифр. При этом значение каждой цифры зависит не только от ее вида, но и от ее места(позиции) в записи числа.

2.Одно и то же число можно по-разному записать в позиционных системах счисления с разными основаниями.

IV. Решение задач:

1. Какие цифры используются в системах счисления:

а) с основанием 6; б) с основанием 3?

2.количество предметов на рисунках представьте числами в разных (соответствующих) системах счисления:

3. Найдите и объясните ошибку в одной из записей. Числа записаны следующим образом:

1) 215;  2)13;  3) 196;  4) 1123.

4.Заполните таблицу, указав в клетках количество единиц в группе (для подсказки три клетки заполнены):

5. заполните таблицу, записав в пустые клетки числа в соответствующей системе счисления (за образец возьмите выделенную строку):

6.Запишите число учеников в вашем классе в десятичной, пятеричной и двоичной системах счисления.

7.Для каждого из чисел 223 , 245,  408,  19812  запишите число:

а) следующее за ним в указанной системе счисления;

б) предшествующее ему в этой системе счисления.

8. Верно ли, что:

а) 208<20;

б) 20<1912;

в) 208<1912;

г) 218<2012?

9. Сравните числа в каждой паре:

а) 9 и 145;

б) 145 и 315:

в) 9 и 315;

г) 345 и 1103;

д) 1103 и 19;

е) 345 и 19.

Использованные источники

1. Математика: учебник для 5 класса: в2 ч. Ч.1/ Э.Г. Гельфман, О.В. Холодная – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012.
2. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2002.
3. Изучая математику: книга для учащихся 5-6 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.
4. За страницами учебника математики. Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1998