РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК.
статья по алгебре на тему

РАЗВИТИЕ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ОШИБОК.

Закирова Ильсеяр Салихзяновна, (zak4475@yandex.ru),

учитель математики, МБОУ «Шеморданский лицей

Сабинского муниципального района Республика Татарстан»

Аннотация : Рассматривается ряд методических особенностей преподавания математики в профильных классах, в частности, опыт использования методик, позволяющих развивать е школьниках самостоятельность, аналитическое мышление, самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

Одной из основных задач современного образования является достижение нового качества образования, ориентированного на развитие личности ребенка, его познавательных способностей, его творческой инициативы, самостоятельности.

Математика относится к одной из наиболее трудных областей для восприятия учащимися, поэтому возникает необходимость применения нестандартных подходов, методов и методик обучения.

Рассмотрим методику, связанную с использованием ошибочных решений задач, некорректных формулировок определений и теорем [1, с.25]. Отметим, что математические ошибки рассматриваются не как явление, которое нужно предупреждать и с которым нужно бороться (это сомнению не подлежит). Делается попытка извлечь из этого явления пользу - ошибка несёт здесь обучающую функцию.

Применяются две основные формы работы с ошибочными решениями.

Учитель может просто дать «решение» задачи на доске. При этом он должен, проявляя определенный артистизм, быть в «скользких» местах как можно более убедительным. Часто бывает, что ученики замечают подвох (это уже хорошо), но бывает, что решение завершено, все его «поняли», вопросов нет. И в таких случаях очень важно вывести аудиторию из «сонного» состояния, «взорвать» процесс, намекнуть на то, что в изложенном «решении» не всё в порядке.

Вторая форма состоит в том, что учитель раздает школьникам листочки с подборкой «решений» задач по данной теме. Задача учащихся - найти ошибки и исправить их. В процессе дальнейшего разбора в классе все ошибки тщательно анализируются. Кроме того, обсуждаются различные подходы к решению.

Данная методика имеет ряд достоинств: а) интерес у ученика к излагаемому материалу сохраняется даже тогда, когда ему кажется, что «он это знает»; б) в результате подробного анализа какого-либо дефекта в определении или в теореме все учащиеся концентрируются на этом пункте, их знание становится осознанным; в) класс постоянно держится в «тонусе»: ученики привыкают не принимать «на веру» ни одну из фраз учителя; г) воспитывается необходимый самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу; д) у школьника вырабатываются необходимые навыки и алгоритмы поиска ошибок и недочетов в его собственных рассуждениях и выкладках; е) учащемуся предоставляется возможность учиться на чужих ошибках.

Большинство задач, используемых в процессе обучения математике, имеют стандартный вид: решить уравнение; решить неравенство; найти сторону треугольника; найти точку максимума функции и т. д. Но такие задачи нужно время от времени «разбавлять» задачами необычного вида: от слегка непривычных до совсем нестандартных формулировок.

Если этого не делать, то неизбежными будут такие ситуации: школьник умеет решать уравнение с неизвестным х, но теряется, когда вместо х в этом же уравнении стоит t; школьник, легко решая уравнение f(x)=g(x), не может решить задачу «Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x)» и т. д.

Следующая методика- применение задач с неполными или избыточными условиями.

При постановке и решении реальных задач далеко не всегда имеется ровно столько данных, сколько требуется. Их может быть и меньше, и больше. Важно поэтому уметь из всех параметров задачи выделить существенные и отбросить малосущественные. Поэтому использование при обучении таких задач очень полезно. Предлагаются следующие типы задач:

1) Если в задаче используются какие-либо константы (например, радиус Земли, плотность вещества, скорость звука и т. п.), они, как правило, обычно задаются в условии. Мы же предлагаем не всегда это делать: учащийся должен самостоятельно понять, какие дополнительные данные ему необходимы, и найти их в литературе, интернете и т. п.

2) Если задача предлагается для решения в классе, учитель может умышленно опустить какие-то детали. Ученики в процессе анализа задачи и ее решения, должны задать учителю определенные вопросы (тренируется умение задавать нужные вопросы!) и уточнить условие.

3) Из-за недостатка данных ученик должен рассмотреть несколько возможных ситуаций.

Пример: Чему равен sin x , если cos x = 4/5 ?

Ученик должен понять, что знак синуса он определить не может; поэтому нужно рассматривать два случая. Ответ: 3/5, если х € (2πn; π + 2πn); - 3/5, если х € (π + 2πn; 2π + 2πn), n € Z.

К этому же типу задач относятся, в частности, геометрические задачи, в которых возможно более одной конфигурации.

4) Условие задачи действительно неполное и нет никакой возможности получить недостающие данные. В этой ситуации ученик должен самостоятельно прийти к выводу о том, что в условии «чего-то не хватает» и строго доказать нерешаемость задачи.

5) Условие задачи избыточное. Поэтому для решения задачи используется часть условий. Остальные условия служат проверкой правильности решения задачи и ответа.

Пример: В прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9

см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой

задачи в моем классе выделилось несколько групп: 1 ученик не решил её вообще, 15 учеников решили эту задачу полностью с объяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон, а 3 ученика решили эту задачу полностью и проверили соответствие в ней данных друг другу.

6) Условие задачи избыточное. Для решения задачи используется часть условий. Но остальные условия приводят к противоречивой ситуации.

Пример: В прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника. Обычно, большинство учащихся решают эту задачу без использования площади и записывают ответ. Все считают, что площадь в задаче является лишним данным, и мало кто считает нужным проверить, соответствуют ли данные друг другу. Ответ: прямоугольника с такими сторонами и такой площадью не существует.

7) Задачи с противоречивым условием

Формально такая задача решается, ответ в ней получается. Ход решения верный, но ответ по той или иной причине не может быть признан правильным. Например, получено «1.5 землекопа» (как у двоечника в одном известном мультфильме) или скорость пешехода равна 109 км/час.

Пример 1: Стороны параллелограмма равны 7 и 5. Высота, проведенная к большей стороне равна 6. Найти вторую высоту параллелограмма.

Формально полученный ответ (7• 6 = 5• х; х = 8,4) не годится, т. к. такого параллелограмма не существует (высота длиной 6 не может быть больше стороны, которая равна 5).

Пример 2: Эту задачу решали мои девятиклассники.

В одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке, перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение и

записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом добрая половина учеников прекратили решение задачи. Но остальные, вернувшись к условию задачи, увидели несоответствие, поскольку из мензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Вывод- данная задача решения не имеет.

8) Провоцирующие задачи- задачи, условия которых содержат упоминания, намеки, подталкивающие решающего к выбору неверного пути решения или неверного ответа. Часто это бывают задачи-ловушки или задачи-шутки. Они способствуют воспитанию критичности, приучают к анализу и всесторонней оценке информации, повышают интерес к занятиям математикой.

Примеры таких задач:

-Карандаш весит 10 грамм. Другой карандаш имеет вдвое большие размеры. Найдите его вес. Ответ: 80 грамм (провоцируется ответ 20 грамм).

-Какое из чисел больше: а или 2а ? Ответ: неизвестно; это зависит от знака числа а (провоцируется ответ 2а).

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего

средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [2, с. 143]

Список литературы:

1. Зеленский А.С. Использование специально сконструированных ошибочных и нерациональных решений задач для повторения и коррекции знаний учащихся // Математика в школе, - 2012,- №2,- С. 24-33.

2. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976, 141-143 с.