МЕТОДИКИ РАЗВИТИЯ У ШКОЛЬНИКОВ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.
статья по алгебре на тему

МЕТОДИКИ  РАЗВИТИЯ У ШКОЛЬНИКОВ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИХ НАВЫКОВ   НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ.

Закирова Ильсеяр Салихзяновна,

учитель математики, Шеморданский лицей,

Республика Татарстан

Рассматривается  ряд методических особенностей преподавания математики в профильных классах, в частности, опыт использования методик, позволяющих развивать е школьниках самостоятельность, аналитическое мышление, самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

Ключевые слова: развитие, методика, математические ошибки, неправильное решение, поиск ошибок.

Одной из основных задач современного образования является достижение нового качества образования, ориентированного на развитие личности ребенка, его познавательных способностей, его творческой инициативы, самостоятельности.  

Роль обучения заключается не только в том, чтобы передать накопленный общественно-исторический опыт, но в большей степени в том, чтобы вооружить школьников способностью обращаться с миром вещей посредством собственной деятельности; вооружить их общими принципами, приемами, способами, действиями, которые позволяют решать широкий круг практических задач, отвлекаясь от многообразия внешних признаков - обобщать существенные признаки по их содержанию; научить управлять своей умственно-учебной деятельностью и «не потеряться» в информационном потоке, который обеспечивает полноценное существование в современном обществе; рационально и продуктивно осваивать учебную, научную, техническую и другую литературу, т.к. данный процесс занимает все больше и больше времени.

Математика относится к одной из наиболее трудных областей для восприятия учащимися, поэтому возникает необходимость применения нестандартных подходов, методов и методик обучения.

Существует  ряд методических особенностей преподавания математики в профильных классах, в частности, методики, позволяющие развивать в школьниках самостоятельность, аналитическое мышление, самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу.

Рассмотрим методику, связанную с использованием ошибочных решений задач, некорректных формулировок определений и теорем [1, с.25]. Отметим, что математические ошибки рассматриваются не как явление, которое нужно предупреждать и с которым нужно бороться (это сомнению не подлежит). Делается попытка извлечь из этого явления пользу - ошибка несёт здесь обучающую функцию.

Разбор неправильного решения и поиск ошибок (речь, разумеется, идет об «идейных» ошибках, а не просто об арифметических просчетах) могут принести огромную пользу. Применяются две основные формы работы с ошибочными решениями.

Учитель может просто дать «решение» задачи на доске. При этом он должен, проявляя определенный артистизм, быть в «скользких» местах как можно более убедительным. Часто бывает, что ученики замечают подвох (это уже хорошо), но бывает, что решение завершено, все его «поняли», вопросов нет. И в таких случаях очень важно вывести аудиторию из «сонного» состояния, «взорвать» процесс, намекнуть на то, что в изложенном «решении» не всё в порядке.

Вторая форма состоит в том, что учитель раздает школьникам листочки с подборкой «решений» задач по данной теме. Задача учащихся - найти ошибки и исправить их. В процессе дальнейшего разбора в классе все ошибки тщательно анализируются. Кроме того, обсуждаются различные подходы к решению.

Данная методика имеет ряд достоинств: а) интерес у ученика к излагаемому материалу сохраняется даже тогда, когда ему кажется, что «он это знает»; б) в результате подробного анализа какого-либо дефекта в определении или в теореме все учащиеся концентрируются на этом пункте, их знание становится осознанным; в) класс постоянно держится в «тонусе»: ученики привыкают не принимать «на веру» ни одну из фраз учителя; г) воспитывается необходимый самоконтроль и критическое отношение к излагаемому материалу; д) у школьника вырабатываются необходимые навыки и алгоритмы поиска ошибок и недочетов в его собственных рассуждениях и выкладках; е) учащемуся предоставляется возможность учиться на чужих ошибках.

Большинство задач, используемых в процессе обучения математике, имеют стандартный вид: решить уравнение; решить неравенство; найти сторону треугольника; найти точку максимума функции и т. д. Но такие задачи нужно время от времени «разбавлять» задачами необычного вида: от слегка непривычных до совсем нестандартных формулировок.

Если этого не делать, то неизбежными будут такие ситуации: школьник умеет решать уравнение с неизвестным х, но теряется, когда вместо х в этом же уравнении стоит t; школьник, легко решая уравнение f(x)=g(x), не может решить задачу «Найти абсциссы точек пересечения графиков функций y = f(x) и y = g(x)» и т. д.

Следующая методика- применение задач с неполными или избыточными условиями.

При постановке и решении реальных задач далеко не всегда имеется ровно столько данных, сколько требуется. Их может быть и меньше, и больше. Важно поэтому уметь из всех параметров задачи выделить существенные и отбросить малосущественные. Поэтому использование при обучении таких задач очень полезно. Предлагаются следующие типы задач:

1) Если в задаче используются какие-либо константы (например, радиус Земли, плотность вещества, скорость звука и т. п.), они, как правило, обычно задаются в условии. Мы же предлагаем не всегда это делать: учащийся должен самостоятельно понять, какие дополнительные данные ему необходимы, и найти их в литературе, интернете и т. п.

2) Если задача предлагается для решения в классе, учитель может умышленно опустить какие-то детали. Ученики в процессе анализа задачи и ее решения, должны задать учителю определенные вопросы (тренируется умение задавать нужные вопросы!) и уточнить условие.

3) Из-за недостатка данных ученик должен рассмотреть несколько возможных ситуаций.

 Пример 1: Чему равен sin x , если cos x =  4/5 ?

 Ученик должен понять, что знак синуса он определить не может; поэтому нужно рассматривать два случая. Ответ: 3/5,  если х € (2πn; π + 2πn); - 3/5,  если х € (π + 2πn; 2π + 2πn), n € Z.

Пример 2: Через точку, лежащую на границе трапеции, провести прямую, делящую площадь трапеции пополам.

Эта непростая задача имеет различные решения, в зависимости от того, где находится заданная в условии точка: в одной из вершин трапеции; на большем основании трапеции; на меньшем основании; на боковой стороне. Решающий должен сам до этого додуматься.

К этому же типу задач относятся, в частности, геометрические задачи, в которых возможно более одной конфигурации.

4) Условие задачи действительно неполное и нет никакой возможности получить недостающие данные. В этой ситуации ученик должен самостоятельно прийти к выводу о том, что в условии «чего-то не хватает» и строго доказать нерешаемость задачи.

Пример: В треугольнике известны длина основания  2 и  противолежащий угол 60°. Найти его площадь.

Если зафиксировать основание, то третья вершина лежит на

соответствующей дуге окружности. Поэтому высота, опущенная на основание из этой вершины, может принимать бесконечно много значений. Значит, площадь найти нельзя. Мы можем только определить, что  она изменяется от 0 до √3 .

5) Условие задачи избыточное. Поэтому для решения задачи используется часть условий. Остальные условия служат проверкой правильности решения задачи и ответа.

Пример 1: В некотором двузначном числе первая цифра на 3 больше, чем вторая. При умножении этого числа на сумму его цифр получается 814. Найти это число.

Не очень простой анализ, основанный на том, что 814 = 2*11*37, показывает, что только число 74 удовлетворяет второму условию задачи. Поэтому первое условие можно использовать просто для проверки. Но использование при решении сразу двух условий позволяет решить задачу гораздо большему количеству учеников.

Пример 2: В прямоугольнике стороны равны 8,4 см и 3,9

см, а периметр 24,6 см. Найти площадь прямоугольника. При решении этой

задачи в  моем классе выделилось несколько групп: 1 ученик не решил её вообще, 15 учеников решили эту задачу полностью с объяснением того, почему они не использовали при решении задачи данный в ней периметр, но не проверили, соответствует ли данная длина периметра длинам сторон, а  3 ученика решили эту задачу полностью и проверили соответствие в ней данных друг другу.

6) Условие задачи избыточное. Для решения задачи используется часть условий. Но остальные условия приводят к противоречивой ситуации.

        Пример: В прямоугольнике длины сторон равны 6,7 см и 4,2 см, а площадь равна 25,3 кв. см. Требуется найти периметр прямоугольника. Обычно, большинство учащихся решают  эту задачу без использования площади и записывают ответ. Все считают, что площадь в задаче является лишним данным, и мало кто считает нужным проверить, соответствуют ли данные друг другу. Ответ: прямоугольника с такими сторонами и такой площадью не существует.

7) Задачи с противоречивым условием

Также используются задачи с противоречивым условием. Формально такая задача решается, ответ в ней получается. Ход решения верный, но ответ по той или иной причине не может быть признан правильным. Например, получено «1.5 землекопа» (как у двоечника в одном известном мультфильме) или скорость пешехода равна 109 км/час.

Пример 1: Стороны параллелограмма равны 7 и 5. Высота, проведенная к большей стороне равна 6. Найти вторую высоту параллелограмма.

Формально полученный ответ (7• 6 = 5• х;  х = 8,4) не годится, т. к. такого параллелограмма не существует (высота длиной 6 не может быть больше стороны, которая равна 5).

Пример 2: Эту  задачу решали мои девятиклассники.

В одной мензурке имеется некоторое количество кислоты, в другой мензурке – такое же количество воды. Для приготовления раствора сначала вылили из первой мензурки во вторую 30 граммов кислоты. Затем 2/3 раствора, получившегося во второй мензурке, перелили в первую. После этого в первой мензурке оказалось в 1,4 раза меньше жидкости, чем во второй мензурке. Сколько кислоты и воды было взято первоначально?

Все  учеников смогли верно составить уравнение, провести его решение и

записать ответ: 12 граммов воды и кислоты было первоначально. На этом добрая половина учеников прекратили решение задачи. Но остальные, вернувшись к условию задачи, увидели несоответствие, поскольку из мензурки, содержащей 12 г жидкости, требовалось вылить 30 г. Вывод- данная задача решения не имеет.

8) Провоцирующие задачи- задачи, условия которых содержат упоминания, намеки, подталкивающие решающего к выбору неверного пути решения или неверного ответа. Часто это бывают задачи-ловушки или задачи-шутки. Они способствуют воспитанию критичности, приучают к анализу и всесторонней оценке информации, повышают интерес к занятиям математикой.

Примеры таких задач:

-Карандаш весит 10 грамм. Другой карандаш имеет вдвое большие размеры. Найдите его вес. Ответ: 80 грамм (провоцируется ответ 20 грамм).

-Какое из чисел больше: а или 2а ? Ответ: неизвестно; это зависит от знака числа а (провоцируется ответ 2а).

Еще одним типом задач с нетрадиционной формулировкой являются прикладные задачи - имеются в виду задачи, в которых четкая математическая постановка в условии отсутствует. Учащийся должен самостоятельно построить математическую модель описанной в условии ситуации и только после этого решать математическую задачу. Чаще всего это бывают задачи с естественнонаучным содержанием, экономические и другие прикладные задачи.

Многообразные ситуации, возникающие на математическом и нематематическом материале, приводят как к стандартным, так и нестандартным задачам, алгоритм решения которых либо неизвестен, либо не существует.

В последние десятилетия постепенное изменение целей обучения математике  приводит к необходимости учить детей решению не только стандартных, но и нестандартных задач, которые нельзя отнести к классу алгоритмически разрешимых. Именно по отношению к нестандартной задаче возникает необходимость в вариативном поиске решения.

"Задача предполагает необходимость сознательного поиска соответствующего

средства для достижения ясно видимой, но непосредственно не доступной цели. Решение задач означает нахождение этого средства". [3, с. 143]

Список литературы:

1. Зеленский А.С. Использование специально сконструированных ошибочных и нерациональных решений задач для повторения и коррекции знаний учащихся // Математика в школе, - 2012,- №2,- С. 24-33.

2. Зимняя И.А. Ключевые компетентности как результативно-целевая основа компетентностного подхода в образовании. Авторская версия. - М.: Исследовательский центр проблем качества подготовки специалистов. -2004. - 42 с.

3. Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1976,  141-143 с.