Элементарные функции и их графики
учебно-методический материал по алгебре на тему

1

         Пропорциональные величины. Если переменные  y  и  x  прямо

Пр  порциональны, то функциональная зависимость между ними  выражается уравнением:             

y  = k x ,

где  k  - постоянная величина  (коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X  угол , тангенс которого равен  k : tqα = k  ( рис. ).

 Поэтому,коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом. На рис.  показаны три графика для  k = 1/3,  k = 1 и  k = 3 .

2

Линейная функция. 

Если переменные  y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел  A  или  B  не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия. Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A, B, C показаны на рис.9.

3

Обратная пропорциональность. 

Если переменные  y  и  x обратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y =                                   

где  k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола ( рис.10 ).  У этой кривой две ветви. 

Основные характеристики и свойства гиперболы:

        - область определения функции:  x 0,  область значений:  y  0 ;

  - функция монотонная ( убывающая ) при  x < 0 и при  x > 0, но не 

 монотонная в целом из-за точки разрыва  x = 0 ;

  - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

  - нулей функция не имеет.

4

Квадратичная функция. 

Это функция: y = ax 2 + bx + c, где  a, b, c – постоянные

 В простейшем случае: b = c = 0 и  y = ax 2.

График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат ( рис.11 ). 

График функции  y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и  y = ax 2, но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента  a  при  x2 и дискриминанта D = b2 – 4ac.  Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

5.

Степенная функция. Это функция:  y = axn, где a, n – постоянные.

При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax;

при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу. 

Все эти случаи ( при  a = 1 ) показаны на рис.13  ( n  0 ) и рис.14 ( n < 0 ).

Если  n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли  n  чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции:  для  n = 2  и  n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y.  При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция  y = x 3 называется кубической параболой.

На рис.16 представлена функция .

6.

Показательная функция. Функция   y = ax, где  a - положительное постоянное число, называется показательной функцией.

 Аргумент  x принимает любые действительные значения;  в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа.

Графики показательной функции для  a = 2  и  a = 1/2  представлены на рис.17. Они проходят через точку  ( 0, 1 ). При  a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1.

 При  a> 1 показательная функция возрастает, a при  0 < a < 1 – убывает.

7.

Логарифмическая функция. 

Функция  y = log a x, где  a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической.

Свойства логарифмической функции:

- область определения функции: x > 0;

    - это монотонная функция: она возрастает при  a > 1 и убывает при          0 <   a < 1;

    - функция неограниченная, всюду непрерывная;

    - у функции есть один ноль:  x = 1.

8.

Тригонометрические функции. 

При построении тригонометрических функций мы используе м радианную меру измерения углов. Тогда функция  y = sin x представляется графиком ( рис.19 ). Эта кривая называется синусоидой.

График функции  y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика  y = sin x  вдоль оси Х  влево на 2 

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: < x + ; область значений:  -1   y  1;

    - эти функции периодические: их период 2;

-  непрерывные, периодические;

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

Методические рекомендации подготовила Короткова Н.Н. ,

преподаватель математики