Связь между НОК и НОД
план-конспект урока по алгебре (5 класс) по теме

Тема: Решение примеров на нахождение наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.Связь между НОК и НОД

Тип урока: комбинированный.

Цели:

Образовательные:

• отработка навыков нахождения НОД и НОК;
• применение полученных знаний для решения задач;
• повторение и закрепление признаков делимости, простых и составных чисел.

Развивающие:

• наблюдательность, внимание, речь, память, логическое мышление, самостоятельность, интерес к математике через региональный компонент, практическое применение приобретенных знаний, установление межпредметных связей.

Воспитательные:

• воспитывать у учащихся культуру труда, взаимоуважение, стремление хорошо учиться; воспитывать стремление достигать поставленную цель; уверенности в себе, умение работать в коллективе.

Ход урока

1. Организационный момент  Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Давайте вспомним, чем мы занимались на предыдущих уроках?

(Мы находили НОД и НОК чисел разными способами и решали задачи)

2. Постановка задачи Сегодня мы с вами обобщим все полученные знания по данной теме. Откройте тетради, запишите число, классная работа, тема: «Нахождение НОД и НОК чисел».

3. Проверка домашнего задания

4. Актуализация знаний  Прежде чем приступим к решению заданий, предлагаю вспомнить некоторые правила.

Стратегия «Собери правило» Учащиеся выходят к доске и ставят соответствие нахождения алгоритма НОД и НОК

5. Обобщение и систематизация знаний и умений

Работа в парах Выполнение задания

1. НОД (4,12)=                              Ответ:
2. НОД (16,24)=                            Ответ:
3. НОД (30,120)=                          Ответ:
4. НОК (4,12)=                              Ответ:
5. НОК (15,4)=                              Ответ:
6. НОК (22,33)=                            Ответ:
7. НОД (4,16,12)=                        Ответ:

Связь между НОК и НОД

Наименьшее общее кратное двух чисел непосредственно связано с наибольшим общим делителем этих чисел. Эта связь между НОД и НОК определяется следующей теоремой.

Теорема.

Наименьшее общее кратное двух положительных целых чисел a и b равно произведению чисел a и b, деленному на наибольший общий делитель чисел a и b, то есть, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Доказательство.

Пусть М – какое-нибудь кратное чисел a и b. То есть, М делится на a, и по определению делимости существует некоторое целое число k такое, что справедливо равенствоM=a·k. Но М делится и на b, тогда a·k делится на b.

Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда можно записать равенства a=a1·d и b=b1·d, причемa1=a:d и b1=b:d будут взаимно простыми числами. Следовательно, полученное в предыдущем абзаце условие, что a·k делится на b, можно переформулировать так:a1·d·k делится на b1·d, а это в силу свойств делимости эквивалентно условию, что a1·kделится на b1.

В этом случае по свойству взаимно простых чисел, так как a1·k делится на b1, и a1 не делится на b1 (a1 и b1 – взаимно простые числа), то на b1 должно делиться k. Тогда должно существовать некоторое целое число t, для которого k=b1·t, а так как b1=b:d, то k=b:d·t. Подставив в равенство M=a·k вместо k его выражение вида b:d·t, приходим к равенству M=a·b:d·t.

Так мы получили равенство M=a·b:d·t, которое дает вид всех общих кратных чисел a иb. Из того, что a и b числа положительные по условию следует, что при t=1 мы получим их наименьшее положительное общее кратное, которое равно a·b:d. Этим доказано, что НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b).

Доказанная связь между наименьшим общим кратным и наибольшим общим делителем двух данных чисел позволяет найти НОК через НОД.

Также нужно записать два важных следствия из рассмотренной теоремы.

1. Общие кратные двух чисел совпадают с кратными их наименьшего общего кратного.

Это действительно так, так как любое общее кратное M чисел a и b определяется равенством M=НОК(a, b)·t при некотором целом значении t.

2. Наименьшее общее кратное взаимно простых положительных чисел a и b равно их произведению.

Обоснование этого факта достаточно очевидно. Так как a и b взаимно простые, то НОД(a, b)=1, следовательно, НОК(a, b)=a·b:НОД(a, b)=a·b:1=a·b.

6. Физкультминутка

7. Решение простейших задач на нахождение НОК и НОД с использованием

Оценивание

8.Домашнее задание

9. Итог урока

Сегодня на уроке мы повторили с вами разложение числа на простые множители, повторили нахождение НОК и НОД чисел.

 Рефлексия