Как сформировать понятие производной.
статья по алгебре (10 класс) на тему

Как сформировать понятие производной в средней школе.

Любое новое понятие – это дверь в неизведанное пространство. Чтобы легко в это пространство проникать, очень бывает удобно, когда эта дверь открыта. Задача педагога-предметника сделать это пространство доступным и научить открывать эти двери самостоятельно, то есть снабдить своих учеников ключами не на время урока, а навсегда. Лучший способ для достижения этой цели – создание цельного законченного образа, который всегда будет раскрывать суть понятия.

Как же создать образ, формирующий понятие производной? Есть огромное количество вариантов, и выбор зависит от особенностей мышления каждого участника процесса. Рассмотрим несколько основных направлений.

Способ первый – через определение. Даем определение производной. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю. Надо сказать, что для неподготовленного человека это мягко говоря не очень понятно. Но если все же упереться и попробовать разобраться, то что мы будем иметь? Ключевое слово (не считая предела, предположим, с ним разобрались) – это отношение. Отношение есть дробь. Это уже тепло, есть почва для создания образа. То есть с помощью определения мы сможем представлять производную в виде дроби. Хорошо, по крайней мере это поможет запомнить формулу       . Но только самые способные смогут докопаться до сути через определение. Это не тот результат, который мы хотим получить.

Способ второй – через физический смысл производной. Рассматривая любую функцию, можно заметить, что при изменении аргумента функция каким-то образом тоже изменяется. Например, зависимость пройденного пути от времени при равноускоренном движении (падающий предмет, отходящий поезд и пр.). Здесь можно наглядно проследить тот факт, что на одинаковых участках по аргументу (за одинаковые промежутки времени) функция изменяется не одинаково (поезд проходит разные расстояния). И тогда отношение   приобретает вполне конкретный и даже осязаемый смысл. Это есть средняя скорость изменения функции. Когда же мы устремим  к нулю, мы получаем очень маленький промежуток времени, мгновение. То есть предел этого отношения становится мгновенной скоростью изменения функции. Самое время давать определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю.   . И при этом необходимо добавить, что производная есть скорость изменения функции в точке. Теперь у нас есть образ – ускоряющийся поезд, разные моменты времени, мгновенная скорость. Определение вписывается в этот образ как младенец в заранее приготовленную постель. Здесь завесили чтоб не дуло, здесь подбили подушку, можно укладывать ребенка. Даст ли этот способ результат? Несомненно. 100%-ный? Конечно же нет. Есть большое количество людей, которые не могут свободно достигать даже этого уровня абстракции. Им нужно увидеть и потрогать руками.

Способ третий – через геометрический смысл производной. Говоря о функции, сразу изображаем ее на графике. Здесь проделываем те же операции, что и с поездом, то есть рассматриваем одинаковые отрезки по аргументу, по графику определяем соответствующие им изменения функции, замечаем, что эти изменения отличаются в разных местах. Дальше обращаем внимание на тот факт, что отношение  определяет «крутизну» графика, то есть скорость возрастания или скорость убывания функции на промежутке. Рассматривая предел этого отношения, мы получаем скорость изменения функции в точке. Причем относительные масштабы этой скорости для каждой точки графика всем очевидны, потому что они определяются наглядной «крутизной» графика. Можно давать определение, а потом еще привести пример с поездом. Покачали, песенку спели, подушку подбили, уложили, накрыли одеялом, да еще и поцеловали. Спи спокойно, малыш.

Про то, что производная функции в точке есть тангенс угла наклона касательной к графику, лучше всего спокойно разобрать на следующем уроке, иначе можно все испортить и получить вместо молодого, еще не окрепшего образа, просто кашу.

Мы никогда не можем наверняка знать, что именно происходит в головах детей, поэтому в каждом конкретном случае шаг за шагом нам необходимо видеть ответную реакцию и интерактивно создавать тот единственный и неповторимый образ, который навсегда станет ключом для многих дверей.