Учебные материалы по дистанционному курсу для учеников по теме "Показательная функция"
методическая разработка (алгебра) по теме

1. Наличие задач, связанных с показом практической значимости нового понятия или с его значимостью для дальнейшего продвижения в изучении математики

1. При радиоактивном распаде количество веществ уменьшается вдвое за сутки. Сколько вещества останется от 250 г через 1,5 суток? 3,5 суток? Вычисления провести на микрокалькуляторе.
2. На некотором лесном участке можно заготовить  м3 древесины. Ежегодный прирост деревьев равен 4%. Сколько можно заготовить древесины на этом участке через 5 лет? Вычисления провести на микрокалькуляторе.
3. Величина х меняется с течением времени t по закону органического роста. Известно, что при t=0 ее значение равнялось 4, а при t=4 она равнялась 32. Найдите значения величины при
4. Масса радиоактивного вещества при t = 1 равнялась 5 г, а при t = 4 она равнялась 2 г. Во сколько раз меняется эта масса за единицу времени? Какое значение она имела при t = 1, -4, 3, 7,
5. 3. При прохождении света через мутную среду сила света на участке длиной 10 см уменьшилась в три раза. Во сколько раз уменьшится сила света на участке длиной 5, 20, 25 см?

2. Наличие задач на актуализацию знаний и умений, необходимых  при формировании данного понятия

1. Найдите значение выражения  при указанных значениях переменной х:

а) х = 3, б) х = 2; в) х = 5; г) х = 4, д) ; е); ж) ; з)  

2) Найдите значение аргумента х, при котором функция y принимает заданное значение: а) 16; б) 8; в) ; г) .

3) Определите, какое из чисел  или больше, если:

а)  ,  ;

б)   ;

в) ,  ;

г) ,  . [18, 20]

4) Расположите числа в порядке возрастания:

а)

б)  .

3. Наличие задач на выделение существенных признаков понятия

1) Схематично изобразите график показательной функции:

а); б) ; в) ; г) .

2) В одной системе координат изобразите графики функций:

а)

б) ;

в) , , ;

г)  . [18, 20]

3) Постройте график функции:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Наличие задач на распознавание формируемого понятия

1. Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: а) y б) y в)  г) . 
2. Среди заданных функций укажите те, которые являются показательными: а) y б) y в)  г) . 

5. Наличие задач на использование символики, связанной с понятием

1. Найдите значение показательной функции  при заданных значениях х:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6. Наличие задач на установление свойств понятия

1. Верно ли, что показательная функция : а) имеет экстремумы; б) принимает наибольшее значение в некоторой точке  в) принимает в некоторой точке значение, равно е0; г) является четно (нечетной)?

2. Укажите, какие из заданных функций ограничены снизу:

а) ; б) ; в) ; г) .

3. Укажите, какие из заданных функций не ограничены сверху:

а) ; б) ; в) ; г)  

4. Исследуйте функцию на монотонность:

а) б) ; в) б) ; г) .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значение заданной функции на заданном промежутке:

а) ;

б) ;

в) ;

г) . [18, 20]

6. Найдите область определения функции:

а) ; б)  в) ; г) .

6. Наличие задач на применение понятия

1. Решите графически уравнение:

а) ; б)  в); г) 

2. Решите уравнение:

а) ; б)  в); г) 

3. Решите неравенство:

а) ; б)  в); г) 

а) б) ; в)  

4. Дана функция y = f (x), где

а) Вычислите

б) постройте график функции y = f (x);

в) прочитайте график функции.

5. Используя график функции , найдите приближенное значение: а) ;         б) ;              в) ;           г) .

6. Используя свойство возрастания или убывания показательной функции, сравнить числа:

а)  и 1; б)  в) ; г)                            д) ; е)  

Тест по теме «Показательная функция»

Теоретический материал

Определение показательной функции: функция, заданная формулой y = ax (a > 0, 1), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D ( ax ) = R; E ( ax ) = RТ; ax возрастает при a > 1 и ax убывает при 0 < a < 1; напоминаются основные свойства степеней.

Формулируются теоремы, на которых базируется теория решения показательных уравнений и неравенств.

Теорема 1. Если , то равенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 2. Если  то неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 3. Если , то равенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

Теорема 4. Если , то неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда ; неравенство  справедливо тогда и только тогда, когда .

Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени.

В качестве приложения свойств показательной функции рассматриваются решения простейших показательных уравнений и неравенств.

Свойства показательной функции.

1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел.

2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+.

3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0

4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами:

ax*ay = a(x + y);

(ax)/(ay) = a(x-y);

(a*b)x = (ax)*(ay);

(a/b)x = ax/bx;

(ax)y = a(x * y).

Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у.

5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1)

6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов.

На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0.

На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0

И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).

7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка.

8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Список литературы:

1. Степень с рациональным показателем и ее свойства http://pwpt.ru/presentation/matematika/stepen_s_ratsionalnyim_pokazatelem_i_ee_svoystva/ 
2. Презентация по теме «Показательная функция» http://prezentacii.com/matematike/5027-pokazatelnaya-funkciya.html 
3. Подготовка к ЕГЭ. Исследование показательной и логарифмической функций с помощью производной. (Показательная и логарифмическая функция в задачах типа В14 ЕГЭ).

http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2013/03/08/podgotovka-k-ege-issledovanie-pokazatelnoy-i-logarifmicheskoy 

4. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. – 6-е изд. – М. : Мнемозина, 2012. – 287с.
5. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича.  – 6-е изд. – М. : Мнемозина, 2012. – 264с.
6. Видеорук http://www.videxp.com/RU/v/3250/0/go.html