Учебные материалы по дистанционному курсу для учеников по теме "Числовые последовательности"
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему
В настоящее время активно развивается новая форма обучения, получившая название «дистанционное обучение». Это специфическая образовательная система, которая базируется на современных педагогических и информационных технологиях.
Изучение темы «Числовые последовательности» в курсе алгебры предусматривает знакомство учащихся с вопросами:
- арифметическая прогрессия;
- формула n-го члена арифметической прогрессии;
- формула суммы n первых членов арифметической прогрессии;
- геометрическая прогрессия;
- формула n-го члена геометрической прогрессии;
- формула суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Основная цель – ознакомить их с числовыми последовательностями, научить решать несложные залачи по данной теме.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 arifmeticheskaya_progressiya.docx | 18.67 КБ |
| geometricheskaya_progressiya.docx | 20.41 КБ |
| pr._1.docx | 16.03 КБ |
| pr._2.docx | 15.84 КБ |
| zachetnoe_zadanie.docx | 16.65 КБ |
Предварительный просмотр:
Арифметическая прогрессия
Прогрессия – это определенная последовательность чисел.
Последовательность обозначается так: (an)
Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности.
Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена (a1, a2, a3 и т.д.- читается так: «а первое», «а второе», «а третье» и т.д.).
Последовательность может быть бесконечной или конечной.
Понятие арифметической прогрессии.
Арифметическая прогрессия – это такая последовательность чисел, которая получается в результате сложения каждого последующего члена с одним и тем же числом. |
Пример:
Возьмем последовательность чисел 3; 10; 17; 24; 31.
Здесь каждое последующее число на 7 больше предыдущего. То есть последовательность получилась в результате прибавления одного и того же числа 7 к каждому последующему члену. Это и есть арифметическая прогрессия:
3+7=10
10+7=17
17+7=24
24+7=31
Формула арифметической прогрессии.
Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой: an = kn + b, где k и b – некоторые числа. И наоборот: если последовательность задана подобной формулой, то эта последовательность точно является арифметической прогрессией. |
Пример: формула an =8n –2 является формулой арифметической прогрессии, так как она задана формулой типа an = kn + b. В ней k = 8, b = –2.
Разность арифметической прогрессии.
Разность арифметической прогрессии – это разность между последующим и предыдущим членами прогрессии. Ее обычно обозначают буквой d. |
Пример:
Вернемся к нашей прогрессии 3; 10; 17; 24; 31. В ней разность между второй и первой, третьей и второй и т.д. членами равна 7.
Число 7 и является разностью данной арифметической прогрессии.
Свойства арифметической прогрессии.
1) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов. 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов, то эта последовательность является арифметической прогрессией. |
В нашем примере второй член равен средней арифметической первого и третьего членов:
Точно так же третий член равен среднему арифметическому второго и четвертого членов и т.д.
Как найти определенный член арифметической прогрессии.
Чтобы найти n-й член арифметической прогрессии, следует применить формулу: an = a1 + d(n – 1) |
Пример:
Возьмем некую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен 3, а разность арифметической прогрессии составляет 4. Надо найти 45-й член этой прогрессии.
Дано:
b1 = 3
d = 4
n = 45
---------
b45 - ?
Решение.
Применим формулу bn = b1 + d(n – 1):
b45 = 3 + 4(45 – 1) = 3 + 4 · 44 = 3 + 176 = 179.
Ответ: 45-й член заданной арифметической прогрессии – число 179.
Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии.
Сумму любого количества первых членов арифметической прогрессии можно найти с помощью формулы: Если заданы первый член и разность арифметической прогрессии, то удобно пользоваться другой формулой: |
Пример 1: Найдем сумму первых ста членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+100.
Дано:
a1 = 1
n = 100
an = 100
————
S100 - ?
Решение:
Ответ: Сумма первых ста членов заданной арифметической прогрессии равна 5050.
Пример 2: Найдем сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 5, разность арифметической прогрессии составляет 3.
Дано:
a1 = 5
d = 3
————
S20 - ?
Решение:
1) Найдем сначала двадцатый член по уже известной нам формуле an =a1 +d(n–1):
a20 = 5 + 3 (20 – 1) = 5 + 3 · 19 = 62.
2) Теперь уже легко решить нашу задачу.
По формуле 1:
По формуле 2:
Ответ: Сумма первых двадцати членов заданной арифметической прогрессии равна 670.
Предварительный просмотр:
Геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия – это такая последовательность отличных от нуля чисел, которая получается в результате умножения каждого последующего члена на одно и то же число, не равное нулю. |
Пример геометрической прогрессии: 2, 6, 18, 54, 162.
Здесь каждый член после первого в 3 раза больше предыдущего. То есть каждый последующий член является результатом умножения предыдущего члена на 3:
2 · 3 = 6
6 · 3 = 18
18 · 3 = 54
54 · 3 = 162.
Знаменатель геометрической прогрессии.
Знаменатель геометрической прогрессии – это число, равное отношению второго и любого последующего члена к предыдущему члену прогрессии. Ее обычно обозначают буквой q. |
В нашем примере при делении второго члена на первый, третьего на второй и т.д. мы получаем 3. Число 3 и является знаменателем данной геометрической прогрессии.
Свойства геометрической прогрессии:
1) Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него: bn2 = bn-1 · bn+1 2) Верно и обратное утверждение: если в последовательности чисел квадрат любого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних членов, стоящих перед ним и после него, то эта последовательность является геометрической прогрессией: |
Пример:
Вернемся к нашей геометрической прогрессии 2, 6, 18, 54, 162. Возьмем четвертый член и возведем его в квадрат:
542 = 2916.
Теперь перемножим члены, стоящие слева и справа от числа 54:
18 · 162 = 2916.
Как видим, квадрат третьего члена равен произведению соседних второго и четвертого членов.
Как найти определенный член геометрической прогрессии.
Чтобы найти n-й член геометрической прогрессии, следует применить формулу: bn = b1 · qn – 1 |
Пример 1: Возьмем некую геометрическую прогрессию, в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии равен 1,5. Надо найти 4-й член этой прогрессии.
Дано:
b1 = 2
q = 1,5
n = 4
————
b4 - ?
Решение.
Применяем формулу bn = b1 · qn – 1, вставляя в нее соответствующие значения:
b4 = 2 · 1,54 – 1 = 2 · 1,53 = 2 · 3,375 = 6,75.
Ответ: Четвертый член заданной геометрической прогрессии – число 6,75.
Пример 2: Найдем пятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 12 и 192.
Дано:
b1 = 12
b3 = 192
————
b5 - ?
Решение.
1) Сначала нам надо найти знаменатель геометрической прогрессии, без которой решить задачу невозможно. В качестве первого шага с помощью нашей формулы выводим формулу для b3:
b3 = b1 · q3 – 1 = b1 · q2
Теперь мы можем найти знаменатель геометрической прогрессии:
q = √16 = 4 или –4.
2) Осталось найти значение b5.
Если q = 4, то
b5 = b1q5-1 = 12 · 44 = 12 · 256 = 3072.
При q = –4 результат будет тот же. Таким образом, задача имеет одно решение.
Ответ: Пятый член заданной геометрической прогрессии – это число 3072.
Как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии.
При q ≠ 1 сумму любого количества первых членов геометрической прогрессии можно найти с помощью одной из следующих формул: Если q = 1, то все члены прогрессии просто равны первому члену:
|
Пример: Найдем сумму первых пяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 2, а знаменатель геометрической прогрессии 3.
Дано:
b1 = 2
q = 3
n = 5
————
S5 – ?
Решение.
Применяем вторую формулу из двух приведенных выше:
Ответ: Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 242.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии.
Следует различать понятия «сумма бесконечной геометрической прогрессии» и «сумма n членов геометрической прогрессии». Второе понятие относится к любой геометрической прогрессии, а первое – только к такой, где знаменатель меньше 1 по модулю.
Сумма бесконечной геометрической прогрессии – это предельное число, к которому сходится последовательность прогрессии. Говоря иначе, какой бы длинной не была геометрическая прогрессия, сумма ее членов не больше какого-то определенного числа и практически равна этому числу. Оно и называется суммой геометрической прогрессии. Не любая геометрическая прогрессия имеет такую предельную сумму. Она может быть только у такой прогрессии, знаменатель которой – дробное число меньше 1. |
Пример-пояснение:
Составим геометрическую прогрессию, в которой первый член – число 2, а знаменатель равен 1/2:
2, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 и т.д.
Сложим все полученные члены прогрессии:
2 + 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 = 255/64 ≈ 3,98 ≈ 4.
Можно продолжить прогрессию до 10, 100, миллиона членов, но во всех случаях сумма членов прогрессии будет практически равна 4. Число 4 и является суммой данной геометрической прогрессии.
Чтобы найти сумму бесконечной геометрической прогрессии, не надо складывать все ее члены. Для этого существует замечательная и довольно простая формула.
Сумма S геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
b1 – первый член геометрической прогрессии; q – знаменатель прогрессии; |q| < 1. |
Решим наш пример с помощью этой формулы.
В нем b1 = 2, q = 1/2. Итак:
Пример решен.
Предварительный просмотр:
Наличие задач на тему «Арифметическая прогрессия»
№1. Заполните таблицу
a 1 | d | n | a n | S n |
8 | 3 | 33 | ||
14 | 5 | 100 | ||
4 | 3 | 33 | ||
5 | -7 | 23 | ||
84 | -4 | 25 |
№2. Найдите разность арифметической прогрессии (сn), если с5 =7, а с7 =13
А | Б | В | Г |
2 | 3 | -2 | другой ответ |
№3. Сумма первого и пятого членов возрастающей прогрессии равна 14, а произведение второго ее члена на четвертый равно 45. Сколько членов прогрессии надо взять, чтобы в сумме получить 21?
№4. Арифметическая прогрессия, в которой первый член равен 4, а разность арифметической прогрессии составляет 5. Надо найти 28-й член этой прогрессии.
№5. Найти сумму первых двухсот членов арифметической прогрессии 1+2+3+4+5 и т.д.+200.
№6. Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии, в которой первый член равен 8, разность арифметической прогрессии составляет 2.
Предварительный просмотр:
Наличие задач на тему «Геометрическая прогрессия»
№1. Заполните таблицу
b 1 | q | n | b n |
218 | 3 | 3 | |
0,14 | 10 | 5 | |
- 4 | -3 | 4 | |
0,56 | -7 | 5 | |
184 | -4 | 5 |
№2. Чему может быть равен знаменатель геометрической прогрессии (bn), если b10 = l0, а b12 = 40?
А | Б | В | Г |
2 | ±2 | 4 | 15 |
№3. Геометрическая прогрессия, в которой первый член равен 4, а знаменатель геометрической прогрессии равен 2. Надо найти 8-й член этой прогрессии.
№4. Найти девятый член геометрической прогрессии, если первый и третий члены равны соответственно 18 и 252.
№5. Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии (bn), в которой первый член равен 6, а знаменатель геометрической прогрессии 9.
№6. Найти знаменатель геометрической прогрессии, если пятый член прогрессии равен 5, а четвертый – равен -40.
Предварительный просмотр:
Зачетное задание «Числовые последовательности»
№1. Чему равна разность арифметической прогрессии, если её первый член равен 3, а пятый равен – 27.
- 8
- 5
- 10
- 6
№2. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии 3; 6; 12; …
- 412
- 295
- 381
- 372
№3. Последовательности заданы несколькими первыми членами. Одна из них – арифметическая прогрессии. Укажите её.
- 2; 3; 5; 6; …
- -2; -4; -8; -12; …
- 4; 1; -2; -5; …
- 1; 2; 4; 8; …
№4. Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; 15; ; 1; -6; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой
.
- 7
- 8
- 9
- 10
№5. Геометрическая прогрессия задана условиями Какое из данных чисел является членом этой прогрессии?
- 1
- 36
- 32
- 24
№6. В геометрической прогрессии Найдите
Ответ: .
№7. Числа 2a, 3b, 4c образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите число b, если a=4, c=7.
Ответ: .
№8. В искусственный водоём внесли 10 кг одноклеточных водорослей. Определите, через сколько дней масса этих водорослей в водоёме заведомо превысит 1 тонну, если количество водорослей в водоёме удваивается через каждые 3 дня.
Ответ: .
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Индивидуальное учебно-тематическое планирование изучения курса математики: алгебры ученика 9 «б» класса на 2011-2012 учебный год всего:53 часа Учитель: Юдина В.А. .
Индивидуальное учебно-тематическое планированиеизучения курса математики: алгебры ученика 9 «б» классана 2011-2012 учебный год всего:53 часаУчитель: Юдина В.А....
Учебная презентация к дистанционному курсу «Измерение информации. Алфавитный подход к измерению информации»
Аннотация курса: Наша современная жизнь протекает в эпоху высоких технологий, одной из сторон которой является ИНФОРМАЦИЯ. Информация является отправной точкой во всем курсе «Информатики» и использова...
Учебные материалы по дистанционному курсу для учеников по теме "Показательная функция"
В настоящее время активно развивается новая форма обучения, получившая название «дистанционное обучение». Это специфическая образовательная система, которая базируется на современных педагогических и ...
Методическая разработка "Модель учебного дистанционного курса «Решение тригонометрических задач» в системе дистанционного обучения MOODLE"
Разработанный учебный курс ««Решение тригонометрических задач» предполагает реализацию в системе дистанционного обучения MOODLE, рекомендо...
Рабочая программа дистанционного курса по русскому языку "Развитие познавательных способностей учеников 6 класса при работе с олимпиадными заданиями по русскому языку"
Рабочая программа дистанционного курса по русскому языку "Развитие познавательных способностей учеников 6 класса при работе с олимпиадными заданиями по русскому языку"...
Дистанционный курс по подготовке к сдаче ОГЭ по информатике на базе сервера 18 лицея и системы дистанционного обучения Moodle. Старый вариант и вариант по материалам 2020 года.
http://109.237.1.184...
Дистанционные курсы по навыкам 21 века и функциональной грамотности (авторские курсы): Дистанционный курс "Прокачай креатив", Дистанционный курс "Время читать", Дистанционный курс "Дела житейские".
Функциональная грамотность уже давно перестала быть для образования просто критерием измерения результатов обучения. На сегодня, развитие таких составляющих функциональной грамотности, как финанс...