Исследовательская работа по выявлению особенностей квадратичных функций
учебно-методический материал по алгебре (9 класс) на тему

ИЗУЧЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение….………………………………………………………………...3

I. История изучения квадратных уравнений………………………….5

II. Понятие квадратного уравнения и её приложений..……………...6

III. Анализ результатов исследования………………….…………...…7

IV. «Золотая пропорция» и квадратные уравнения……………...…..9

Заключение……………………………………………………………….11

Литература………………………………………………………………..13

ВВЕДЕНИЕ

Необходимость решать квадратные уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Главная цель данного проекта – это изучение особенностей квадратных уравнений. Также целью данной работы является определение понятия «золотая пропорция», нахождение непосредственной связи между этим математическим термином и изучаемыми уравнениями.

Гипотеза исследования: квадратные уравнения обладают некоторыми закономерностями в дополнение к известным определениям и формулам, изучаемым в курсе математики средней общеобразовательной школы.

Решение квадратных уравнений по формулам известным на сегодняшний день учащемуся средней школы не составляет большого труда. Зная формулу для вычисления дискриминанта и формул корней квадратного уравнения каждый из нас может решить уравнение или доказать, что оно не имеет решений.

Задачами данной работы являются:

- получение закономерности для решения некоторых видов квадратных уравнений, посредством их решения по известным формулам;

- обобщение знаний, умений и навыков решения квадратных уравнений;

- изучение особенностей некоторых видов квадратных уравнений;

- формирование у учащихся умения «сортировать» квадратные уравнения;

- понимание специфики нахождения решений;

- формирование убеждения: решать квадратные уравнения – это «просто»,

- определение новых понятий и нахождение связи между изученными ранее, и приобретёнными знаниями;

- получение опыта педагогического исследования.

Методами исследования являются:

- изучение учебников различных авторов для среднего и старшего звена, учебных пособий, просмотр понятий и определений в энциклопедиях, с разных точек зрения: с позиций учёных, учителей, учащихся. Планируемый результат – описание структуры задания некоторых квадратных уравнений и соответственно получение формулы для вычисления их корней;

- групповая рефлексия по работе над проектом (защита идеи проекта на конференции по математике нашей школы), участники – учащиеся и учителя. Планируемый результат – привлечение учащихся среднего и старшего звена школы к активному участию в проекте, получение доказательства справедливости выдвинутой гипотезы;

- формирующий эксперимент: практическая работа по установлению особенностей некоторых квадратных уравнений. Планируемый результат – повышение уровня предметной готовности по данной теме, формирование умения связывать данную тему с другими (для применения) и находить оптимальное и простое решение в поставленных заданиях, формирование мотивов и умений самообразования.

I. ИСТОРИЯ ИЗУЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Из истории математики известно, что ещё в древности люди задумывались над решением уравнений не только первой, но и второй степени. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в их текстах отсутствовали понятия отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее решение квадратных уравнений, приведённых к единой канонической форме ах2+bх=с, а0. В данном уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В алгебраическом трактате ал-Хорезми даётся классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корням», т.е. ах2=bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах2=с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах=с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2+с=bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах2+bх=с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bх+с=ах2.

Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Для ал-Хорезми члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Но всё же, трактат ал-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к введению отрицательных чисел.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVII в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других учёных способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

II. ПОНЯТИЕ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЙ

Прежде чем непосредственно перейти к изучению особенностей квадратных уравнений, необходимо дать определение самому объекту исследования и его приложениям.

Целым уравнением с одной переменной, называется уравнение, левая и правая части которого – целые выражения. Степенью уравнения вида Р(х)=0, где Р(х) – многочлен стандартного вида, называется степень этого многочлена.

Частным случаем целых уравнений с одной переменной, степень которых равен двум, являются квадратные уравнения. Квадратным уравнением называется уравнение вида ах2+bх+с=0, где х – переменная, а, b, с – действительные числа, причём а≠0.

Корни квадратного уравнения находят по формуле: , где выражение D=b2-4ac называется дискриминантом квадратного уравнения. В зависимости от значения дискриминанта делается вывод о количестве корней. Если D0 , то уравнение имеет два корня; если D0 , то уравнение не имеет корней; если D=0 , то уравнение имеет один корень.

Если а=1, то квадратное уравнение называется приведённым; если а≠1, - то неприведённым. Числа а, b, с носят следующие названия: а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.

Наиболее простыми для решения являются квадратные уравнения, в которых b или с равно нулю. Уравнения таково вида (ах2+bх=0, ах2+с=0 или ах2=0) называются неполными квадратными уравнениями. В работе данные уравнения не рассматриваются.

III. АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ИССЛЕДОВАНИЯ

Будем рассматривать решения полных квадратных уравнений ах2+bх+с=0.

Первая задача, это рассмотреть решения трёх групп квадратных уравнений и сделать единое для отдельно взятой группы некоторое обоснование (в каждой группе заданий по 9 примеров на вычисление корней квадратного уравнения).

В данной работе приведу решения лишь некоторых заданий, что считаю достаточным, чтобы показать то, что является целью моей работы.

1 группа заданий: найти корни квадратного уравнения и сделать соответствующий анализ на основании полученных результатов

а) ;                г) ;                ж) ;

б) ;                д) ;                з) ;

в) ;                е) ;                и) .

Решение.

а) 2х2+5х+2=0 . Дискриминант равен D=9    х1=-2;  х2=.

б) 3х2-10х+3=0 . Дискриминант равен D=64    х1=3;  х2=.

Прежде всего, необходимо сделать вывод по виду предложенных заданий. Общий вид предложенных заданий ах2+(а2+1)х+а=0 или ах2-(а2+1)х+а=0 . Далее делаем заключение по полученным результатам (корням квадратного уравнения). Оказывается, что корни также связаны непосредственно с коэффициентом а. Т.е. рассматривая вторые коэффициенты, при -(а2+1) имеем корни а и  , а при +(а2+1) корни равны -а и -   (данная формула корней квадратного уравнения выводится из общего вида заданных уравнений ах2±(а2+1)х+а=0).

2 группа заданий: найти корни квадратного уравнения и сделать соответствующий анализ на основании полученных результатов

а) 2х2-5х-3=0;                г) 4х2+13х+3=0;                ж) 15х2+х-6=0;

б) -3х2-5х+2=0;                д) 3х2+2х-8=0;                з) -6х2+х+15=0.

в) 3х2+13х+4=0;                е) -8х2+2х+3=0;

Решение.

ж) 15х2+х-6=0 . Дискриминант равен D=361    х11=;  х12=.

з) -6х2+х+15=0 . Дискриминант равен D=361    х21=;  х22=.

Относительно квадратных уравнений такого вида заключаем, что здесь рассматривается связь между коэффициентами а и с (меняются местами данные коэффициенты). По решениям делаем вывод, что если поменять местами коэффициенты а и с, то корни соответствующих уравнений являются взаимно-обратными числами, т.е. ;  .

3 группа заданий: найти корни квадратного уравнения и сделать соответствующий анализ на основании полученных результатов

а) х2+2х-4=0;                г) х2+5х-25=0;                ж) х2+8х-64=0;

б) х2+3х-9=0;                д) х2+6х-36=0;                з) х2+9х-81=0.

в) х2+4х-16=0;                е) х2+7х-49=0;                и) х2+10х-100=0

Решение.

а) х2+2х-4=0 . Дискриминант равен D==    х1,2=;

б) х2+3х-9=0 . Дискриминант равен D==    х1,2=.

Квадратные уравнения данной группы можно объединить по общей форме представления  и их решением являются числа принимающие такие значения   .

IV. «ЗОЛОТАЯ ПРОПОРЦИЯ» И КВАДРАТЫЕ УРАВНЕНИЯ

Наряду с решениями квадратных уравнений предоставленных заданий, рассматривался математический термин «золотая пропорция».

«Золотая пропорция» (или «золотое сечение») – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как большая часть относится к меньшей   с:b=b:а  (см. рис.).

Золотую, или божественную пропорцию, как назвал её в XVI в. Лука Пачоли, можно встретить в строении листа растения, закономерностях расположения листьев на ветке, строе музыкального произведения, в готических соборах и русских православных храмах, старинных мерах (разнообразные древнерусские сажени), в древнеегипетской архитектуре, шедеврах древнегреческого искусства (древнегреческий храм Парфенон, скульптуры человеческого тела) и искусства эпохи Возрождения.

«Золотая пропорция» создаёт зрительное ощущение гармонии и равновесия. Но помимо этого, оказывается, она обладает ещё математическим свойством.

Пусть длина некоторого отрезка равна а, длина его большей части – х, тогда длина а-х – длина его меньшей части. Согласно приведённому определению «золотой пропорции» можно записать следующее:   х2=а(а-х)  х2+ах-а2=0 , что и есть вид квадратных уравнений рассмотренных в группе 3. При решении уравнений такого вида мы получили формулу для корней х1,2=.а . В «золотой пропорции» рассматривается естественно только положительный корень х=.а, т.к. длины – положительные числа, где ψ= ≈ 0,618033989… - коэффициент «золотого сечения» (ψ – «фи», в честь древнегреческого скульптора Фидия).

Сделаем соответствующие выводы полученной связи «золотой пропорции» и квадратных уравнений. Существует бесконечное множество разбиений отрезка на две части. И лишь единственный способ разбиения такой, что отношение всего отрезка к его большей части равно отношению большей части к меньшей части. Оказалось, что для деления отрезка в данном отношении достаточно рассмотреть квадратные уравнения вида х2+ах-а2=0, в которых за а будем брать отрезок необходимой длины, а положительный корень уравнения х будет являться длиной большей части.

«Золотая пропорция» - один из основных принципов представления человека о красивом. «Золотая пропорция» и различные виды симметрии – причина эстетической привлекательности предметов искусства, объектов живой и неживой природы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе были рассмотрены частные случаи представления квадратных уравнений, а именно способы задания их в виде:

1) ах2+(а2+1)х+а=0 ; 2) ах2+bх+с=0   и   сх2+bх+а=0 ; 3) х2+ах-а2=0 .

Результатом рассмотрения явились установление некоторых закономерностей. Эти закономерности:

- способствуют элементарному нахождению корней данных квадратных уравнений;

- эффективны в целях экономии времени, т.к. исключаются затратные, и в некоторых случаях объёмные вычисления;

- облегчают построение графиков функций;

- непосредственно связывают понятия «золотая пропорция» и квадратное уравнение, что является большим подспорьем при делении отрезков в данном отношении;

- эффективны при геометрическом построении фигур и т.д.

Знание и умение решать квадратные уравнения, умение «сортировать» их по группам является одним из важнейших составляющих в изучении математики в 8, 9 и старших классах.

Конечно же, нужно отметить, что рассмотренным мной видам квадратных уравнений не уделяется должного внимания. Изучая их, пусть даже одной темой, можно было бы разгрузить учащихся от некоторой порции дополнительных вычислений.

Основная задача работы это, прежде всего, научить простому пониманию квадратных уравнений, виденью красоты чисел через их частные случаи, показать существенную организационную помощь данных знаний и умений на практике и в теории изучения математики.

Необходимо отметить, что присматриваться Вам к каждому квадратному уравнению или нет, решать каждому индивидуально, ведь как говориться: «Спасение утопающих – дело рук самих утопающих!»

ЛИТЕРАТУРА

1. Алгебра: учеб. для 8 класса общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – 12-е изд. – М.:Просвещение, 2003. – 223с.

2. Алгебра. 8 класс: учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. – 6-е изд. – М.:Мнемозина, 2006. – 367с.

3. Алгебра: учеб. для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова; под ред. С.А.Теляковского. – 3-е изд. – М.:Просвещение, 1995. – 271с.

4. Алгебра: учеб. для 9 класса средних школ/ Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др. – М.: Просвещение, 1992. – 223с.

5. Алгебра. 9 класс: учеб. для шк. и кл. с углубл. изуч. математики/ Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков. – 5-е изд. – М.:Мнемозина, 2006. – 439с.

6. История математики в школе: IV-VI кл. Пособие для учителей/ Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1981. – 239с.

7. История математики в школе: VII-VIII кл. Пособие для учителей/ Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1982. – 240с.

8. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П.Савин. – М.: Педагогика, 1985. – 352с.

9. Справочник по элементарной математике/ Выгодский М.Я. – 27-е изд., испр. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1986. – 320с.

10. Научно-теоретический и методический журналы «Математика в школе» за 1985-2008гг.