Олимпиады по математике
олимпиадные задания (5 класс) по теме

ВСЕРОССИЙСКАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

I (школьный) этап

ЗАДАЧИ, РЕШЕНИЯ,

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

Омск – 2009

Материалы подготовлены предметно-методической комиссией муниципального этапа олимпиады в следующем составе: А.В. Адельшин, кандидат физико-математических наук, И.К. Берникова, доцент, кандидат педагогических наук,  О.В. Деркач, учитель математики «Лицея № 64», И.В. Куликова, учитель математики «Гимназии № 88», И.А. Латыпов, доцент, кандидат физико-математических наук, И.А. Чернявская, учитель математики «Гимназии № 117», А.С. Штерн, доцент, кандидат физико-математических наук.

Задания составлены на основе программ по математике для общеобразовательных учебных учреждений и существующих программ школьных кружков (факультативов) с учётом методических рекомендаций Центральной методической комиссии Всероссийской математической олимпиады (http://math.rusolymp.ru/). Варианты заданий 5-7 классов состоят из 5 задач, остальные варианты – из 6 задач. Варианты для учащихся 5-6 классов рассчитаны на  работу в течение двух уроков, для 7-8 классов – трех уроков, 9-11 классов – четырех уроков.

При составлении использовались малоизвестные материалы математических соревнований школьников (региональные олимпиады разных регионов России прошлых лет, турнир журнала «Квант», Уральский турнир юных математиков и т.д.), а также национальных математических олимпиад США, Канады и других стран. Некоторые из предложенных задач являются авторскими.

Приводятся подробные решения и критерии проверки работ. Оценка работ участников школьного тура Всероссийской олимпиады  проводится по той же системе подсчёта очков, который принят на всех этапах Всероссийской математической олимпиады школьников. Максимум, который школьник может получить за каждую из задач, составляет 7 баллов. Если в решении присутствуют недочёты, оценка может быть снижена. Ни в каком случае не снижаются баллы за нерациональность решения, за неаккуратность в оформлении и т.д. Все ответы должны быть обоснованы. Ответ, не обоснованный рассуждениями и вычислениями, оценивается, как правило, невысоко. На это необходимо обратить внимание школьников до того как они приступят к работе.

        Следует учитывать, что задания математических олимпиад являются творческими и допускают различные варианты решений. Необходимо оценивать частичные продвижения в задачах (например, разбор важного случая, доказательство леммы, нахождение примера и т.п.) и снижать баллы за логические и арифметические ошибки в решениях.

        С членами предметно-методической комиссии можно связаться по следующим электронным адресам и мобильным телефонам:

latypov@math.omsu.omskreg.ru, 89043292332 – Латыпов Ильяс Абдульхаевич,

ashtern@yandex.ru , 89139731909 – Штерн Александр Савельевич.

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ПЯТЫЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. В неверном равенстве   расставьте скобки так, чтобы оно стало верным.
2. Чтобы удивить гостей, герцог велел Карлику Носу испечь пирог, который можно одним взмахом ножа разрезать  на 4 части. Придумайте форму такого пирога.
3. Петя и Вася участвовали в велогонке. Все участники стартовали одновременно и показали на финише различное время. Петя финишировал сразу после Васи и оказался на 10 месте. Сколько всего участников, если Вася финишировал 15-ым с конца?
4. У кота Матроскина в погребе на трех полках стояло по 10 банок сметаны. Он снял  на продажу несколько банок с верхней полки, со средней снял столько банок, сколько осталось на верхней. А с нижней полки Матроскин снял половину того, что снял с первых двух. Сколько банок сметаны осталось в погребе?

5. Найдите все решения ребуса. Объясните, почему нет других решений. Разным буквам соответствуют разные цифры.

Время работы 1 час 30 минут

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ШЕСТОЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Квадрат со стороной 20 см разрезали на квадратики со стороной 1 см  и выстроили их в один ряд в виде прямоугольника шириной 1 см. Найдите периметр этого прямоугольника.
2. Разрежьте фигуру, изображенную на рис. 1, на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.

3. Банка с медом весит 500 г. Та же банка с керосином весит 350 г. Керосин легче меда в два раза. Сколько граммов весит пустая банка?
4. В неверном равенстве 2×3×2+3×4×3 = 3×2×3+4×3×2 расставьте скобки так, чтобы оно стало верным.

5. В клетках таблицы 3х3 стояли нули. За один ход можно увеличивать на 1 все числа в каком-либо из квадратов 2х2. Через несколько ходов получилась таблица, показанная на рисунке. Восстановите пропущенные числа. Объясните, почему вы считаете свой ответ единственно возможным.

Время работы 1 час 30 минут

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

СЕДЬМОЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Электронные часы показывают время  19:57:33. Через какое наименьшее количество секунд все цифры на часах поменяют своё текущее значение?

2. Куб с ребром 4 см распилили на маленькие кубики с ребром 1 см. Все маленькие кубики выложили в один слой в виде квадрата. Чему равна суммарная площадь всех граней полученной фигуры?

3. В стаде все коровы давали одинаковое количество молока. После добавления в корм коров витаминов у одной трети стада надои поднялись на 20%, а у двух третей поднялись на 35%. На сколько процентов поднялись надои всего стада?

4. Сумма двух чисел равна 168, а их НОД равен 24. Найдите все возможные пары таких чисел.

5. Трехзначное число Х было записано тремя различными цифрами АВС. Четыре школьника сделали следующие заявления. Петя: «Самая большая цифра в записи числа  Х – это В». Вася: «С = 8». Толя: «Самая большая цифра – С». Дима: «С есть среднее арифметическое чисел А и В». Найдите число Х, если известно, что ровно один из ребят ошибся.

Время работы 2 час 15 минут

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ВОСЬМОЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Электронные часы показывают время 19 : 57 : 06. Через какое наименьшее число секунд все цифры на часах изменятся?

2. Семья состоит из мамы, папы и четверых детей. Средний рост детей – 120 см, а родителей – 174 см. Каков средний рост всех членов этой семьи?

3. Делится ли число  на 10?

4. В четырехугольнике АВСD  ВС = АD, , , . Найдите угол АDC.

5. Трехзначное число Х было записано тремя различными цифрами АВС. Четыре школьника сделали следующие заявления. Петя: «Самая большая цифра в записи числа  Х – это В». Вася: «С = 8». Толя: «Самая большая цифра – С». Дима: «С есть среднее арифметическое чисел А и В». Найдите число Х, если известно, что ровно один из ребят ошибся.

6. Штирлиц зашел в кафе и решил съесть сметаны. Сто грамм сметаны с сахаром стоит 73 пфеннинга, а сто грамм сметаны без сахара стоит 75 пфеннингов. На вопрос Штирлица «Почему сметана без сахара стоит дороже?» официант объяснил, что сметана дороже сахара в полтора раза. Сколько граммов сметаны и сколько граммов сахара кладут в этом кафе в стограммовую порцию сметаны с сахаром?

Время работы 2 час 15 минут

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Есть 4 фигурки в виде буквы Г из 6 клеток со стороной 1 (см. рис.). Можно ли ими оклеить поверхность кубика с ребром 2?

2. Сколько действительных корней имеет уравнение ?
3. Хакер Вася создал три компьютерных вируса. Первый вирус пожирает 50% имеющихся данных, второй – 30%, а третий вирус – 20 % данных. Сколько процентов данных компьютера будет уничтожено, если запустить последовательно все три вируса?
4. Число называется  «современным палиндромом», если оно одинаково читается слева направо и справа налево и какие-то четыре его рядом стоящие цифры образуют 2009.  Сколько существует девятизначных «современных палиндромов»?
5. В квадрате  со стороной 6 см проведены отрезки  и , где  - середина ,  - середина .  и  пересекают диагональ квадрата  в точках  и  соответственно.  Найдите длину отрезка .
6. Дорога между городами А и Б сначала идет под гору, а потом такое же расстояние в гору. Мотоциклист едет под гору вдвое быстрее, чем в гору. Когда он проехал весь путь, то оказалось, что на первые 100 км пути у него ушло в полтора раза меньше времени, чем на последние 100 км. Какое расстояние между городами А и Б?

Время работы 3 астрономических часа

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Найти 19 последовательных чисел, сумма которых делится на 91.

2. Дан прямоугольный треугольник, катеты которого относятся как 3:4. Меньший катет этого треугольника увеличили на 60%, а больший уменьшили на 50%. Как и на сколько процентов изменилась гипотенуза этого треугольника?

3. Число называется «современным палиндромом», если оно одинаково читается слева направо и справа налево и какие-то его четыре рядом стоящие цифры образуют число 2009. Сколько существует девятизначных «современных палиндромов»?

4. Часовой мастер раскрасил циферблат часов в три цвета – черный, серый и белый, как показано на рисунке. Какой цвет занимает наибольшую площадь?

5. Решите уравнение:

6. Найти все целые значения параметра , при которых уравнения  и  имеют одинаковое количество различных корней?

Время работы 3 астрономических часа

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ ПО МАТЕМАТИКЕ

2009/2010гг.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

1. Куб с ребром 10 распилили на маленькие кубики с ребром 1 и выложили их в ряд по одному. Найдите площадь полной поверхности полученного многогранника.

2. В прямоугольной системе координат задан график функции  (см. рис.). Какой из коэффициентов a, b, c принимает самое большое значение?

3. Папа с сыном пошли в магазин. Папа считал свои шаги тройками, а сын свои шаги парами, при этом у сына получилось в 6 раз больше. Кто насчитает больше и во сколько раз, если отец свои шаги будет считать парами, а сын – тройками?

4. Вычислите: .

5. Радиус окружности равен 1. Через концы диаметра АВ проходят две касательные к окружности, которые пересечены третьей касательной в точках К и М соответственно. Найдите наименьшее значение площади четырехугольника АКМВ.

6. Даны два уравнения:  и . Определите значения параметра а, при которых данные уравнения имеют одинаковое число различных действительных корней.

Время работы 3 астрономических часа

ПЯТЫЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Например, такой вариант расстановки скобок:  .
2. Годится любая фигура, удовлетворяющая условию задачи. Например, как на рисунке.
3. Ответ: 23 участника.        
   Так как Петя финишировал десятым, то Вася финишировал 9-ым. А значит впереди Васи 8 участников. Сам Вася является 15-ым с конца, тогда всего 8+15=23 участника.
4. Ответ: 15 банок.
   Так как со средней полки Матроскиным было снято столько банок, сколько осталось на верхней, то всего с верхних двух полок было снято 10 банок. Тогда с нижней полки Матроскин снял 5 банок. А значит в погребе осталось 30-15=15 банок.
5. Ответ: 681+681=1362, 841+841=1682, 891+891=1782.
   Цифра П может быть только 1, но тогда Ь – это 2. Так как Т получалось при сложении двух одинаковых цифр, то Т – четная цифра, причем больше 5, значит 6 или 8. Рассмотрим оба случая:
         а) Если Т=6, то О=3 или О=8. В первом случае получается противоречие с условием, что разным буквам соответствуют разные цифры. Если О=8, получаем 681+681=1362.
         б) Если Т=8, то О=4 или О=9. В каждом из этих случаев получаем верное равенство: 841+841=1682 и 891+891=1782.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Любой вариант правильной расстановки скобок – 7 баллов.
   В противном случае – 0 баллов.
2. Приведен пример фигуры, удовлетворяющей условию - 7 баллов.                        В противном случае – 0 баллов.
3. Приведены рассуждения, возможно, в виде картинки, из которых следует правильный ответ – 7 баллов.
   Получен неправильный ответ – 0 баллов.

Приведён правильный ответ без объяснений – 3 балла.        

4. Приведены общие рассуждения, из которых следует, что с верхних двух полок сняли полную полку (т.е. 10 банок), получен правильный ответ – 7 баллов. Приведён правильный ответ без объяснений – 3 балла.
5. Если приведены все три решения  с разумными пояснениями– 7 баллов.
   Приведены все три решения, но без пояснений - 6 баллов.  Найдено только два решения – 4 балла, одно решение – 2 балла.

ШЕСТОЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Ответ: 802 см. При разрезании данного квадрата получим 400 единичных квадратиков. Тогда они образуют прямоугольник, ширина которого равна 1 см, а длина 400 см. Периметр такого треугольника равен 802 см.
2. Искомое разрезание приведено на рисунке.
3. Ответ: 200 г.
   500-350=150 – на столько грамм масса меда больше массы керосина. Но мед в два раза тяжелее керосина, значит разность их масс равна массе керосина. Тогда пустая банка весит 350-150=200 г.
4. Возможны разные решения. Например:         2×(3×2+3×4)×3 = =3×(2×3+4×3)×2 или (2×3×2+3)×4×3 = 3×2×(3+4×3)×2.

5. Ответ:  

Угловые клетки исходной таблицы входят только в один квадрат 2х2. Центральная клетка таблицы – в четыре квадрата, остальные клетки – в два квадрата. Воспользуемся этим для пошагового восстановления таблицы.
9=2+7, 3=10-7, 3=15-2-3-7, 5=3+2, 6=3+3.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Указаны верные размеры полученного прямоугольника, правильно посчитан периметр – 7 баллов. Приведён правильный ответ без объяснений – 3 балла.        
2. Приведен правильный способ разрезания – 7 баллов.
   В противном случае – 0 баллов.
3. Арифметически или алгебраически получен правильный ответ – 7 баллов. Приведён правильный ответ без объяснений – 3 балла.        
4. Любой правильный способ расстановки скобок оценивается в 7 баллов. В противном случае – 0 баллов.
5. Приведены разумные рассуждения, из которых следует однозначность восстановления таблицы, все числа таблицы найдены правильно – 7 баллов.
   Таблица восстановлена правильно, но пояснения отсутствуют – 5 баллов.
   Таблица восстановлена частично (скорее всего, по нашему решению – это первые два шага), приведены пояснения, как получены числа – не более 4 баллов.

СЕДЬМОЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Ответ: 147.         
   До 20:00:00 не измениться первая цифра. Но время 20:00:00 полностью удовлетворяет условию, все цифры поменяли свое значение. До этого времени пройдет ровно две минуты и 27 секунд, то есть 147 секунд.

2. Ответ: 160. 
   Маленьких кубиков будет 4*4*4=64 штуки. При выкладывании их в один слой в виде квадрата получается квадрат 8*8. У полученной фигуры шесть граней: две – это квадраты 8*8, а еще четыре - это прямоугольники 1*8. Суммарная площадь граней равна 160.

3. Ответ: на 30%.
   Обозначим надой всего стада за x, тогда надой третьей части стада это x/3, после увеличения на 20% надой третьей части стал 1,2x/3=0,4x. Надой двух третей стада был 2x/3, а после увеличения стал 1,35*2x/3=2,7x/3=0,9x. Таким образом, общий надой стада после увеличения стал равен 0,4x+0,9x=1,3x. То есть увеличился на 30%.

4. Ответ: (24, 144), (48,120) и (72,96).
   Так как НОД двух чисел равен 24, то оба эти числа делятся на 24, то есть они имеют вид 24a и 24b, тогда их сумма 24a+24b=168. То есть a+b=168/24=7. Таким образом возможны следующие пары чисел (a,b): (1,6), (2,5) и (3,4) (при перестановке местами a и b пары чисел не меняются). То есть все возможные пары искомых чисел это – (24, 144), (48,120) и (72,96).

5.  Ответ: 798.
   Если  Толя сказал правду и наибольшее число – С, то сразу двое (Петя и Дима) ошиблись, чего быть не может, значит, ошибся Толя, а остальные сказали правду. Т.о. число С = 8; В – наибольшее число, т.е. В = 9; С – среднее арифметическое чисел А и В, т.е А = 2С – В = 7 .

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Правильный ответ – 7 баллов, во всех остальных случаях -  0 баллов.
2. Найдены размеры получающегося прямоугольного параллелепипеда 1*8*8, и получен правильный ответ  - 7 баллов.  При подсчете были упущены некоторые грани – 5 баллов. Приведён правильный ответ без объяснений – 2 балла.
3. Полное решение – 7 баллов. При решении допущена одна ошибка – 4 балла Приведён правильный ответ без объяснений – 2 балла.
4. Приведены все три пары (возможно числа в парах переставлены) и объяснено, почему других пар нет – 7 баллов. Если приведены объяснения, но в объяснениях есть логические ошибки, которые привели  к неправильному ответу  – 4 балла. Просто приведены три пары без объяснений – 3 балла. Просто приведены две пары без объяснений – 2 балла. Просто приведена одна пара без объяснений – 1 балл.
5. Полное решение – 7 баллов. Доказано, что ошибиться мог только Толя – 4 балла. Только ответ – 2 балла.

ВОСЬМОЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1.  Ответ: 184 секунд

 Часы должны показать  20 : 00 : 10. Это произойдет через    120+54+10=184 секунды.

2. Ответ: 138 см.

Общий рост детей – см, общий рост родителей  –   см, средний рост всех членов семьи –  см.

3. Ответ:  делится.
, , , . . .   Значит, оканчивается на 1;

 , , , , . . .   Значит,  оканчивается на 1.

  Разность   будет оканчиваться на 0, т.е. число делится на 10.

4. Ответ: .

Решение:      –  равнобедренный  АС = ВС  АС = AD   –  равнобедренный   

5. См .задачу 5 за седьмой класс.

6.  Ответ: 92 г сметаны и 8 г сахара.

Если 100 г сметаны стоят 75 пфеннингов, то 1 г сметаны стоит 0,75 пфеннинга, значит, 1 г сахара стоит 0,75 : 1,5 = 0,5 пфеннинга. Если в стограммовой порции сметаны с сахаром х г сметаны и   у г сахара, то получаем систему уравнений:              

Решая эту систему, находим, что х = 92, у = 8.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Полное решение – 7 баллов. Правильно указано итоговое время – 4 балла. Только ответ – 2 балла
2. Полное решение – 7 баллов. Только ответ – 2 балла.
3. Полное решение – 7 баллов. Найден цикл, правильно указана последняя цифра числа  (или )  – 4 балла.
4. Полное решение – 7 баллов. Доказано, что  –  равнобедренный – 5 баллов. Доказано, что  –  равнобедренный – 3 балла. Только ответ – 2 балла.
5. См. задачу 5 за седьмой класс.
6. Полное решение – 7 баллов. Верно составлена система – 5 баллов. Найдена стоимость 1 г сметаны и 1 г сахара – 4 балла. Только ответ – 2 балла.

ДЕВЯТЫЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Ответ: Да, можно.
   Составим из двух пар фигурок две полоски 2х6 клеток. Оклеим этими полосками по три грани кубика: первой – левую, переднюю и правую грани, а второй полоской – верхнюю, заднюю и нижнюю.

2. Ответ: 7 различных корней.
   Так как , то .  Рассмотрим каждое из полученных уравнений в отдельности.
   1) Если , то .  Если , то , т.е. . А если , то , т.е. .
   2) Если , то , а значит . Снова получаем два уравнения:  и . Так как правые части обоих уравнений положительны, то каждое уравнение имеет по два корня, причем не совпадающих с найденными ранее. А значит, исходное уравнение имеет семь корней.
   
3. Ответ: 72 % .
   Обозначим за  объем начальных данных. Так как первый вирус уничтожает 50% , второй 30%, а третий – 20% данных, то после последовательного воздействия каждого вируса останется . Т. е. 72% данных будет уничтожено.

4. Ответ: 38.
   Найдем возможные случаи расположения числа 2009 внутри девятизначного палиндрома. Очевидно нули (имеются в виду нули числа 2009) не могут стоять в центре палиндрома. Тогда возможны два случая:
   а) само число 2009 целиком расположено справа или слева от центральной цифры. Таких палиндромов 20: первые 4 места занимает число 2009, на 5-ом месте любая из 10 цифр, а дальше – цифры 9, 0, 0, 2. Любой такой палиндром, записанный справа налево, тоже подходит.
   б) центральное место занимает цифра 2 или 9. Если на центральном месте стоит 2, то  палиндром имеет вид:  (их девять штук), аналогично существует 9 палиндромов с центральной девяткой. Итого 38 палиндромов.

5. Ответ: МК=.
   Проведем диагональ АС, обозначим точку пересечения диагоналей О.  Рассмотрим треугольники АВС и ACD. Точка М является точкой пересечения медиан треугольника АВС, а значит . Аналогично К – точка пересечения медиан треугольника ACD, а значит . Получаем, что отрезок МК составляет ровно треть диагонали АС=.

6. Ответ: 160 км.
   Пусть расстояние от А до Б равно . Очевидно, что , иначе время на первые 100 км пути было бы в два раза меньше времени на последние 100 км. Пусть  км, обозначим через  скорость мотоциклиста, с которой он едет в гору. Тогда по условию задачи , преобразуем это уравнение к виду . Из условия  найдем, что , а . Тогда расстояние от А до Б равно 160 км.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Приведен рисунок (скорее всего, в виде развертки) или пояснения, как можно оклеить кубик – 7 баллов.
   В противном случае – 0 баллов.

2. Учащийся грамотно работает с уравнением вида , не потерян ни один из случаев, обосновано общее количество корней – 7 баллов.
   При работе с уравнением  вида , где , грамотно делается переход к , но потом по невнимательности один из выделенных случаев не разобран – не более 4 баллов.
   Если на каком-либо этапе решения уравнения , где , делается вывод, что (и только) – 0 баллов.

3. Приведено полное общее решение, получен правильный ответ – 7 баллов.
   Рассмотрен частный случай, ответ получен, но нет пояснений, почему ответ будет таким независимо от предполагаемого начального объема – 3 балла.

4. Приведены все возможные конструкции палиндромов, удовлетворяющих условию задачи (возможно, просто все выписаны), правильно посчитано их количество – 7 баллов.
   Приведены все конструкции палиндромов, но при подсчете количества чисел первого вида (см. решение), учащийся считает, что на центральном месте могут стоять 9 (а не 10) цифр – 5 баллов.
   Рассмотрена только одна из двух возможных конструкций или не учтены симметричные варианты – 3 балла.
   В противном случае – 0 баллов.

5. Приведено обоснование, что отрезок МК составляет ровно треть диагонали АС, получен правильный ответ – 7 баллов.
   В противном случае – 0 баллов.

6. Составлена верная система уравнений, получен правильный ответ – 7 баллов.
   Учащийся пояснил, почему из условия задачи следует, что расстояние меньше 200 км, но дальше в решении не продвинулся – 2 балла.

ДЕСЯТЫЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Годится, например, набор чисел   82, 83, … 100.
   Пусть n - первое число в этой последовательности, тогда n+18 – последнее. Их сумма равна     Чтобы эта величина делилась на 91 можно, например,    выбрать n=82 и получить искомую последовательность чисел.

2. Ответ: увеличилась на 4%.         
   Пусть a=3x и b=4x – первоначальные длины катетов, тогда гипотенуза равна c=5x. Новое значение гипотенузы составляет  , что на 4 % больше, чем 5x. Значит, гипотенуза увеличилась на 4%.

3. Ответ: 38.
   Найдем возможные случаи расположения числа 2009 внутри девятизначного палиндрома. Очевидно нули (имеются в виду нули числа 2009) не могут стоять в центре палиндрома. Тогда возможны два случая:
   а) само число 2009 целиком расположено справа или слева от центральной цифры. Таких палиндромов 20: первые 4 места занимает число 2009, на 5-ом месте любая из 10 цифр, а дальше – цифры 9, 0, 0, 2. Любой такой палиндром, записанный справа налево, тоже подходит.
   б) центральное место занимает цифра 2 или 9. Если на центральном месте стоит 2, то  палиндром имеет вид:  (их девять штук), аналогично существует 9 палиндромов с центральной девяткой. Итого 38 палиндромов.

4. Ответ: серый.
   Заметим, что черный цвет занимает ровно треть круга. Сравним площади  черного и белого. В треугольнике с вершинами 1, 5 и 11 площади черной и белой частей одинаковы. Значит, в круге черный цвет занимает большую площадь, чем  белый. Следовательно, белый цвет занимает меньше 1/3 площади круга, а серый  больше 1/3 площади. Значит, серый цвет занимает наибольшую площадь. Можно было напрямую найти площади всех трех фигур и сравнить их.

5. Ответ:
   Из ОДЗ следует, что . Следовательно, все подмодульные выражения отрицательны. После раскрытия всех модулей получаем уравнение , т.е.

6. Ответ:  1 и -1.
   Дискриминант первого уравнения равен , значит, уравнения должны иметь два различных корня, причем . Рассмотрим дискриминант второго уравнения:  Решив квадратное неравенство, получаем  Требованиям задачи удовлетворяют значения -1 и 1.

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Приведена верная последовательность чисел с обоснованием или вычислением – 7 баллов, Приведен только правильный ответ – 2 балла.

2. Приведено верное решение – 7 баллов. Верно найдено новое значение гипотенузы – 3 балла.  Решение неверно или приведен только ответ – 0 баллов. 

3. Приведены все возможные конструкции палиндромов, удовлетворяющих условию задачи (возможно, просто все выписаны), правильно посчитано их количество – 7 баллов.
   Приведены все конструкции палиндромов, но при подсчете количества чисел первого вида (см. решение), учащийся считает, что на центральном месте могут стоять 9 (а не 10) цифр – 5 баллов.
   Рассмотрена только одна из двух возможных конструкций или не учтены симметричные варианты – 3 балла.
   В противном случае – 0 баллов.

4. Приведено верное решение – 7 баллов. Показано, что белый цвет занимает меньшую площадь – 4 балла Правильно проведено сравнение какой-нибудь пары цветов – 2 балла. Решение неверно или приведен только ответ – 0 баллов.

5. Приведено верное решение – 7 баллов. Решение неверно или приведен только ответ – 0 баллов.

6. Приведено верное решение – 7 баллов. Ход решения верный, но не исключено постороннее решение a=0 – 5 баллов. Получено условие на дискриминант второго уравнения, но неравенство решено неверно – 2 балла. Решение неверно или приведен только ответ – 0 баллов.

ОДИННАДЦАТЫЙ КЛАСС

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. Ответ: 4002 кв. ед.
   Полученный многогранник – прямоугольный параллелепипед с измерениями 1 × 1 × 1000. Две его грани (квадраты со стороной 1) имеют единичную площадь, а 4 грани – прямоугольники 1 × 1000, т.е. их площади по 1000 кв. ед. Таким образом, площадь полной поверхности полученного многогранника равна 4002 кв. ед.

2. Ответ: c.
   Данная функция является квадратичной (при а = 0 функция линейная, но тогда графиком была бы прямая). Так как ветви параболы направлены вниз, то а < 0. Рассмотрим точку пересечения графика с осью ординат: у(0) = с. График пересекает ось ординат выше оси абсцисс, следовательно, с > 0. Рассмотрим абсциссу вершины параболы. Так как хв < 0, хв =, и при этом а < 0, то b < 0. Таким образом, а < 0; b < 0; с > 0. Значит, самое большое значение принимает коэффициент с (единственный положительный).

3. Ответ: Сын насчитает больше в  раза.
   Пусть длина шага папы равна р, а длина шага сына равна s. Если папа насчитал К троек своих шагов, тогда сын насчитал 6К пар свои шагов. Значит, расстояние до магазина можно выразить так:        3р ⋅ К = 2s ⋅ 6К. Из этого равенства получаем р = 4s. Когда отец будет считать свои шаги парами, то длина его пары будет равна 8s. А сын, пройдя это расстояние, насчитает  тройки своих шагов.

4. Ответ: 2.
   =.

5. Ответ: 2.
           

         Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то АВ ⊥ АК, АВ ⊥ ВМ        ⇒        АК ⎪⎪ ВМ. Тогда четырехугольник АКМВ является прямоугольной трапецией или прямоугольником.

        Допустим, что АКМВ является трапецией. Тогда ее высота равна АВ = 2 (величина постоянная). .

Далее можно продолжать решение несколькими способами.

I способ решения (геометрические оценки)

Используя свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки, заметим, что АК = KL и BM = ML. Тогда АК + ВМ = KL + ML = КМ. Значит, чем меньше длина отрезка КМ, тем меньше площадь. Отрезок КМ заключен между двумя параллельными прямыми и наименьшее свое значение будет достигать, если будет перпендикулярен этим прямым. Тогда трапеция вырождается в прямоугольник, где КМ = 2. Значит, наименьшее значение площади равно 2.

II способ решения (через исследование функции)

        Пусть АК = х; ВМ = а. По свойству отрезков касательных, проведенных к окружности из одной внешней точки, АК = KL = х и BM = ML = а.  Тогда  S = х + а.

Из точки К опустим перпендикуляр на ВМ и запишем  теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:        4 + (а – х)2 = (х + а)2                ⇒        ах = 1,  .

        Исследуем функцию  при х > 0.         ⇒        Функция S(x) при положительном аргументе имеет единственную критическую точку х = 1, которая является точкой минимума (легко обосновывается с помощью знаков производной). Так как функция  S(x) непрерывна в рассматриваемой области, то при  х = 1 она принимает свое наименьшее значение S(1) = 2 .

Заметим, что а = х = 1, трапеция вырождается в прямоугольник.

Примечание. Доказательство того, что выражение  принимает наименьшее значение при  х = 1, можно провести с использованием неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим.

6. Ответ: , а = 3 .

        Дискриминант второго уравнения положителен, поэтому оно имеет 2 корня при любых значениях параметра. Значит, и первое уравнение должно иметь 2 корня. Разложим левую часть этого уравнения на множители:

Отсюда видно, что это уравнение всегда имеет корень х=1. Чтобы оно имело ровно два корня, нужно чтобы второй множитель имел либо один корень, либо два корня, один из которых равен 1. Второе условие выполнено при а=3. Чтобы выписать первое условие, нужно приравнять нулю дискриминант квадратного трёхчлена, что приводит  к равенству .

КРИТЕРИИ ПРОВЕРКИ

1. Полное верное решение – 7 баллов. Конструкция понята верно, но имеются ошибки в арифметических расчетах – 6 баллов. Подсчитано только общее количество маленьких кубиков – 1 балл. Приведён только ответ – 0 баллов.

2. Полное верное решение – 7 баллов. Все знаки коэффициентов указаны верно, обоснования приводятся, но содержат логические ошибки и неточности – 5 или 6  баллов. Все знаки коэффициентов определены верно, но обоснования отсутствуют – не более 3 баллов. Определены (с обоснованиями) знаки только двух коэффициентов из трех- 2 балла. Определен (с обоснованием) только знак коэффициента а – 1 балл. Приведён только ответ без комментариев – 0 баллов.

3. Полное верное решение – 7 баллов. Логика рассуждений верная, но имеются арифметические ошибки – 6 баллов. В ходе решения установлено соотношение между длинами шагов отца и сына – 3 балла. Записано верное соотношение между данными задачи, но из него не получен результат, необходимый для последующего продвижения – 1 балл.

4. Полное верное решение – 7 баллов. Верный порядок применения формул, но имеются ошибки (в арифметических преобразованиях или в одной из формул) – от 3 до 5 баллов. Дроби приведены к общему знаменателю и для знаменателя применена формула синуса двойного угла – 1 балл.

5. Полное верное решение – 7 баллов. Приведено верное решение, содержащее негрубые арифметические ошибки – 6 баллов. Приведено верное решение, но имеются некоторые пробелы в обосновании (например, нет ссылки на непрерывность исследуемой функции и единственность точки экстремума в рассматриваемой области) – 5 баллов. Приведено верное решение с помощью исследования функции (возможна арифметическая ошибка), но нет обоснований результатов – 3 балла. Доказано, что значение площади четырехугольника зависит только от длины отрезка КМ - 3 балла. Обоснована параллельность касательных, проходящих через концы диаметра, и сделан вывод о виде четырехугольника; определен вид функции, выражающей площадь, но исследование не проведено – 2 балла. Обоснована параллельность касательных, проходящих через концы диаметра, и сделан вывод о виде четырехугольника – 1 балл

6. Полное верное решение – 7 баллов. Логика рассуждений верная (все случаи рассмотрены), но имеются ошибки в вычисления или алгебраических преобразованиях – 5 или 6 баллов. Не обосновано наличие двух корней у 2-го уравнения (путём ссылки на положительность дискриминанта или явным вычислением корней) – 5 баллов. Получен только один вариант ответа из двух – 3 балла. Замечено, что первое уравнение имеет корень х=1,  но других продвижений нет – 1 балл.