Квадратный трехчлен и его свойства. Решение квадратных и рациональных уравнений.
методическая разработка по алгебре (8 класс) на тему
Данная методическая разработка дает представление об идеях и методах решения основных классов задач.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Решение квадратных и рациональных уравнений. Квадратный трехчлен и его свойства. | 100.14 КБ |
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №49 Приморского района г.Санкт-Петербурга
Квадратный трехчлен
и его свойства
Составила:
Сивкова Татьяна Владимировна
( учитель математики, методист)
Данная методическая разработка позволит учителю обеспечить поэтапное формирование у школьника представлений об идеях и методах решения основных классов задач и оказать помощь родителям в организации домашних заданий с детьми.
1. Решение неполных квадратных уравнений.
Квадратным уравнением называется уравнение вида : аx2 + bх + с = 0,
где x — переменная, a, b и с — некоторые числа, причем a.
Числа а, b и с — коэффициенты квадратного уравнения.
Число a называют старшим коэффициентом,
b - вторым коэффициентом ,
с — свободным членом .
Заметим, что квадратное уравнение называют еще уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.
- Если в квадратном уравнении аx2 + bх + с = 0, хотя бы один из коэффициентов
b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
- Если a=1, то квадратное уравнение называется приведенным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трех видов:
1) ах2 + с = 0, где с 0;
2) aх2 + bх = 0, где Ь 0;
3) ах2 = 0.
- При решении неполного квадратного уравнения вида ах2 + с = 0, где с
0:
1) переносят свободный член уравнения в правую часть: 2) делят обе части уравнения на а: | aх 2 = -с х 2 = -с/а |
Уравнение х2 = равносильно уравнению ах2 + с = 0. Так как с
0, то
0.
Если 0 , то уравнение имеет два корня x1 =
и x1 =
Если 0 , то уравнение не имеет корней.
- Решите неполное квадратное уравнение:
ПРИМЕР 1
- 8 х2 + 64 = 0 - 8 х2=- 64
х2= 8
и
.
Ответ:
ПРИМЕР 2 . Решите неполное квадратное уравнение:
6х2 + 28 = 0 6 х2 = - 28
х2 =
(Так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то получившееся уравнение не имеет корней, следовательно, не имеет корней и равносильное ему уравнение 6х2 + 28 = 0
) Ответ:
Корней нет.
- При решении неполного квадратного уравнения вида aх2 + bх = 0, где Ь
1) раскладывают левую часть уравнения на множители: 2) приравниваем каждый из множителей к нулю: Необходимо помнить: Произведение некоторого числа множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. | x (aх + b) = 0 x=0 , ax+b =0 |
Решая уравнение ax+b = 0 , где a0, находим : ax = -b , x =
.
Следовательно корнями уравнения являются два числа: 0 и. ⟺
Таким образом квадратное уравнение вида aх2 + bх = 0, где Ь 0 всегда имеет два корня.
- Решите неполное квадратное уравнение:
ПРИМЕР 3 .
9х2 - 121 = 0 (3x-11)(3x+11) = 0
⟺
Ответ: ;
.
ПРИМЕР 4 . Решите неполное квадратное уравнение:
- х2 + 10 =0 ⟺ - х2 =-10 ⟺ х2 = 10⟺ = 10
Ответ:
- Неполное квадратное уравнение вида ах2 = 0 равносильно уравнению х2 = 0 и поэтому имеет единственный корень 0.
Задания для самостоятельного решения.
Решите неполное квадратное уравнение:
1 | -6x2 + 32 = 0 | 6 | x2 - | |
2 | 8x2 + 13 =0 | 7 | 3x2 + 7x =0 | |
3 | 169x2 – 25 =0 | 8 | 2x2 - 3x =0 | |
4 | - x2 + 6 =0 ⟺ | 9 | 3x2 + 2x =0 | |
5 | 12x2 + 48 =0 | 10 | -5x + 8x=0 |
2. Решение квадратных уравнений с использованием выделения полного квадрата.
Выражение аx2 + bх + с = 0, если астоящее в левой части квадратного уравнения, называют также квадратным трехчленом.
В квадратном трехчлене всегда можно выделить полный квадрат двухчлена:
аx2 + bх + с =a
.
Таким образом, а 2 + b
+ с =
Аналогично для приведенного квадратного трехчлена + p
+q имеем:
+ p
+q=
.
- Выделите квадрат двухчлена в трехчлене:
ПРИМЕР 5.
+ 4
=
+ 2
2
+
–
=
+ 4
+4 – 4 =
ПРИМЕР 6.
3
=
2
=
2
= (
ПРИМЕР 7.
4
= 2(
2
)= 2(
=2(
2 ( (
=2(
ПРИМЕР 8.
14
+36 =
+
36 =
+
- 49+36 =
-13
Задания для самостоятельного решения.
Выделите квадрат двухчлена в трехчлене:
1 |
| 6 |
| |
2 |
| 7 |
| |
3 |
| 8 | ||
4 | 2 | 9 | 4 | |
5 |
| 10 |
|
- Решите квадратные уравнения, предварительно выделив квадрат двухчлена.
ПРИМЕР 9.
14
+49 =0
14
+ 49 =
, откуда
,
,
Ответ: 7.
ПРИМЕР 10 .
6
= 0
6
=
2
-16 , откуда
,
,
,
=7. Ответ: -1 ; 7.
ПРИМЕР 11 .
2
= 0 ⟺
2
= 0 ⟺
⟺
=0⟺
;
.
1)нет решений при a ;
2), при a
;
3) , при a
.
Ответ: нет решений при a ;
, при a
;
, при a
.
ПРИМЕР 12 .
2
=
⟺
2
= 0 ⟺
⟺
=0⟺
;
1), при a
;
2), при a
. Ответ:
, при a
;
, при a
.
Задания для самостоятельного решения.
Решите квадратные уравнения, предварительно выделив квадрат двухчлена.
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| | |
| 1)нет коней при a 2) 3) | |
| 1) 2) |
3.Решение полного квадратного уравнения.
Решим квадратное уравнение аx2 + bх + с = 0 .
Разделив обе части на а , получим равносильное ему приведенное квадратное уравнение .
Преобразуем это уравнение:
.
Число корней последнего уравнения зависит от знака дроби .
Так как a,
– положительное число, поэтому знак этой дроби определяется знаком числителя, т.е.
.
Это выражение называется дискриминантом квадратного уравнения аx2 + bх + с = 0.
Его обозначают буквой D , т.е.
D = .
Запишем уравнение в виде или
.
Рассмотрим теперь различные возможные случаи.
1. Если D , то
,
,
,
Таким образом, в этом случае уравнение аx2 + bх + с = 0 имеет два корня:
,
Принята следующая краткая запись , которую называют
формулой корней квадратного уравнения.
2. Если D , то исходное уравнение примет вид
, откуда
,
.
В этом случае уравнение имеет два совпадающих корня:
.
Действительно, при D эта формула принимает вид:
,откуда
3. Если D , то значение дроби
- отрицательно и поэтому уравнение
не имеет смысла.
Следовательно, уравнение аx2 + bх + с = 0 не имеет корней.
Таким образом, в зависимости от дискриминанта квадратное уравнение может иметь два корня
(при D ) , один корень ( при D
) или не иметь корней (при D
.
Задания для самостоятельного решения.
- Найдите дискриминант квадратных уравнений
1 |
| |
2 |
| |
3 |
| |
4 |
| |
5 |
| |
6 |
| |
7 |
| |
8 |
| |
9 |
| |
10 |
|
4.Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.
- Если D
,то квадратный трехчлен можно представить в виде произведения линейных множителей: аx2 + bх + с = a (
)(
) ,
где или
-
корни квадратного уравнения аx2 + bх + с =0.
ПРИМЕР 13 . Сократите дробь:
.
Решение: Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:
1) , корни уравнения
и
, откуда в числителе
)(
) =2
)
(
)= (
,
2)
Далее получим: =
=
Ответ:
ПРИМЕР 14 . Сократите дробь:
.
Решение: Разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:
1)
Далее получим:
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
- Разложите на множители квадратный трехчлен:
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 | ||
5 | ||
6 | ||
7 | | |
8 | ||
9 |
Задания для самостоятельного решения.
- Сократите дробь:
1 | ||
2 | ||
3 | ||
4 |
5.Теорема Виета.
При D корни
и
квадратного уравнения аx2 + bх + с =0 удовлетворяют следующим
условиям:
Верно и обратное утверждение: если числа m и n таковы, что их сумма равна -p ,
произведение равно q , то эти числа являются корнями уравнения x2 + pх + q =0 .
Теорема 1. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0 , то один из корней уравнения равен 1, а второй находится по формуле .
Теорема 2. Если сумма cтаршего коэффициента и свободного члена квадратного уравнения равна второму коэффициенту, то один из корней уравнения равен , а второй находится по формуле
.
Задания для самостоятельного решения.
- Используя теоремы о сумме коэффициентов, найдите корни квадратного уравнения.
1. |
| |
2. |
| |
3. |
| |
4. | ||
5. |
| |
6. | ||
7. |
| |
8. |
|
ПРИМЕР 15 . Один из корней квадратного уравнения равен -3. Назовите коэффициент k и второй корень
уравнения :
.
Решение: По теореме Виета имеем: и
откуда
и
.
Ответ: ,
.
Задания для самостоятельного решения.
- Один из корней квадратного уравнения равен
-3, назовите коэффициент k и второй корень
:
| |
| |
|
ПРИМЕР 16 . Пусть
и
- корни квадратного уравнения x2 + pх + q =0 . Не решая квадратного уравнения, вычислите:
.
Решение: По теореме Виета
,
откуда
Задания для самостоятельного решения.
- Пусть
и
- корни квадратного уравнения x2 + pх - 15 =0 . Выразите через коэффициент p сумму:
№ | Задание | Ответ |
|
Задания для самостоятельного решения.
- 1.Сократи дробь
и найди ее значение при
.
Ответ : .
- 2. Сократи дробь
и найди ее значение при
Ответ : .
- 3. Сократи дробь
и найди ее значение при
.
Ответ : .
- 4. Сократи дробь
и найди ее значение при
.
Ответ : .
Задания для самостоятельного решения.
- Составьте квадратное уравнение, если его корни равны:
-3 и 4 | ||
- 3 и | ||
-1 и 7 | | |
-3 и | | |
-1 и -12 | ||
3 и - | |
Задания для самостоятельного решения.
ПРИМЕР 17. Дано квадратное уравнение x2 + pх + q =0, и
- его корни . Не решая уравнения, составьте квадратное уравнение , имеющее следующие корни:
и
.
Решение: По теореме Виета имеем : +
= - p ;
= q.
Следовательно +
, откуда по обратной теореме Виета числа
и
x2 + kpх +
q =0.
Ответ: x2 + kpх +q =0.
Задания для самостоятельного решения.
- Дано квадратное уравнение x2 + pх + q =0,
и
1. |
| x2 + (p-q)х -pq =0, |
2. |
- Числа
p и q, если:
1. |
| P=-8, q=15 |
2. |
| P=2, q=0 |
3. |
| P=0, q=-7 |
- Определите, при каких значениях параметра a один из корней уравнения равен нулю.
1. | ||
2. | ||
3. |
ПРИМЕР 18. Определите, при каких значениях параметра a оба корня уравнения равны нулю.
.
Решение: По теореме Виета параметр a является решением системы:
, тогда a =1 Ответ: a =1
ПРИМЕР 19. Определите, при каких значениях параметра a оба корня уравнения равны нулю.
Решение: По теореме Виета параметр a является решением системы:
, тогда a =
Ответ: a =
.
ПРИМЕР 20. Определите, при каких значениях параметра a корни уравнения равны по модулю.
Решение. Корни уравнения равны по модулю тогда, когда =
или
=
Тогда по теореме Виета параметр a является решением совокупности с
Первая система решений не имеет, а решением второй является a=0.
Ответ: a=0
Задания для самостоятельного решения.
- Определите, при каких значениях параметра a корни уравнения равны по модулю.
1 | a = | |
2 | a = | |
3 | a = |
6.Решение систем уравнений с использованием свойств квадратного трехчлена.
ПРИМЕР 21. Решите систему уравнений.
Решение. По обратной теореме Виета числа и
являются корнями квадратного уравнения
откуда
Ответ: (-8; -2) ; (-2 ; -8)
Задания для самостоятельного решения.
По обратной теореме Виета числа и
являются корнями квадратного уравнения.
⟺ Ответ: ( 4; --1) ; ( -1 ; 4 )
Ответ: ( 1; 6 ) ; ( 6 ; 1 )
Ответ:( 7; -3 ) ; ( -3 ; 7 )
ПРИМЕР 22. Решите систему уравнений.
Решение. и
- корни квадратного уравнения
откуда ,
и
( нет решения) ,
Тогда и
Ответ: ( 49; -3 ) .
Задания для самостоятельного решения.
- Решите систему уравнений.
⟺ Ответ: ( -1 ; 16 )
⟺
Тогда и
- корни квадратного уравнения………..
Ответ: ( -2 ; -3 ) , ( 6 ; 1 )
⟺
Решение. и
корни квадратного уравнения…………….
Ответ: (;
) , ( 2 ; 5 )
⟺
Решение. и
- корни квадратного уравнения
Ответ: ( 36 ; 1 ) .
⟺
Ответ: ( 1 ; 36 ).
7. Решение квадратных уравнений методом подстановки.
ПРИМЕР 23. Решите уравнение.
Решение. Сделав замену : , получим квадратное уравнение
корнями которого являются числа 4 и 9. Тогда ,
и
;
,
и
Ответ: ±2 ; ±3.
Задания для самостоятельного решения.
- Решите уравнения.
1. | ±2; ± 5 | |
2. | ±6 | |
3. | ± |
ПРИМЕР 24. Решите уравнение.
Решение. Пусть , тогда
,
Выполнив замену, получим квадратное уравнение: ,
,
корнями которого являются числа 0 и .
Далее сделаем обратную подстановку: так как ;
(решений нет);
,
,
,
Ответ: ;
.
Задания для самостоятельного решения.
- Решите уравнения.
1. | | |
2. | | |
3. | |
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры 8 класс "Решение дробно-рациональных уравнений"
Приводится конспект урока по алгебре в 8 классе по теме "Решение дробно-рациональных уравнений"...
Решение дробных рациональных уравнений
Презентация содержит демонстрационный материал к обяснению нового материала по теме "Решение дробных рациональных уравнений". Учебник Макарычева Ю.Н. и др. "Алгебра 8"...
Решение дробно - рациональных уравнений с модулем.
Данная презентация разработана для подготовки учащихся 10 классса к КДР, может быть полезна для подготовки учащихся 11 класса к ЕГЭ....
Способы решения систем рациональных уравнениий
В данном документе представлены способы решения рациональных уравнений. Подобран теоретический, практический метериал. Материал оформлен в форме буклетов....
Урок алгебры в 8-м классе "Решение дробно-рациональных уравнений"
Урок закрепления изученного материала проводится в форме игры "Лабиринт". Задания в лабиринте дифференцированы по уровням сложности, что позволяет учащимся выбрать наиболее походящий для себя режим ра...
Урок в 8 классе"Решение дробных рациональных уравнений"
Урок формирования умений и навыков....
Разработка урока по теме "Решение дробных рациональных уравнений"
Алгебра возникла в связи с решением разнообразных задач при помощи уравнений. Обычно в задачах требуется найти одну или несколько неизвестных, зная при этом результаты некоторых дей...