Рабочая программа элективного учебного предмета по математике "Логические основы математики". 11 класс
рабочая программа по алгебре (11 класс) на тему

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

г. Балаково Саратовской области

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ПЕДАГОГА

к  элективному учебному предмету

«Логические основы математики»

 11 класс

Автор программы:

   учитель математики высшей категории  Горочкина Л.Г.

Рассмотрено на заседании

педагогического совета

протокол №     1

от «29» августа  2014 г.

г.  Балаково, 2014 – 2015 учебный год   

Пояснительная записка

        Программа элективного учебного предмета «Логические основы математики» адресована учащимся  11 классов  МАОУ СОШ №2. Данная программа изучается в течение одного года.

      Данная рабочая программа разработана на основе следующего нормативно-правового и инструктивно-методического обеспечения:

•   Федеральный компонент государственного образовательного стандарта общего образования (Приказ Министерства образования РФ от 05.03.2004 г. №1089 «Об утверждении федерального компонента государственных  образовательных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования»);
•  Примерные  программы основного общего образования по математике (письмо    

     Департамента  государственной политики и образования Министерства образования и

      науки РФ от 7.06.2005 г. № 03-1263);

•  Программа к элективному курсу А. Д. Гетмановой «Логические основы математики» / А.

     Д. Гетманова. – М. : Дрофа, 2005

•  учебный план МАОУ «СОШ №2» г. Балаково на 2014-2015 учебный год.

  Место предмета в федеральном базисном учебном плане

        Согласно учебному плану МБОУ « СОШ №2 г. Балаково на 2014-2015 уч. год в  11 классах на изучение элективного учебного предмета «Логические основы математики» отводится  35 часов,   1 час в неделю.

Концепция программы

Формирование логической культуры учащихся - важное условие гуманитаризации образования. Логическая культура формируется процессе познания, самостоятельного творческого мышления, при усвоении специальных методов и приемов доказательного рассуждения.

       Логическая культура не является врожденной, её надо воспитывать, причем уже в начальной школе. Ее повышению эффективно способствует изучение основ логики как предмета образования. Соблюдение правил логики избавляет рассуждения человека от запутанности, обеспечивает доказательство истинных суждений и опровержение ложных. Правильному мышлению свойственны определенность, непротиворечивость, последовательность и обоснованность.

        Изучение логики способствует становлению самосознания, интеллектуальному развитию личности. Овладение логическими знаниями и умелое их использование на практике помогает разбираться в закономерностях и взаимосвязях явлений общественной жизни, вести аргументированную полемику, доказательно отстаивать истинные суждения.
Людям необходимо умение эффективно и корректно вести диалоги, критически воспринимать аргументацию оппонентов, уметь находить нужные аргументы, культурно и логически грамотно опровергать ложные тезисы, встречающиеся в полемике, дискуссиях, диспутах и других формах диалога.
Цель курса – дать учащимся знание законов и логических форм мышления, а также сформировать навыки и умения, необходимые для реализации полученных знаний на практике(на уроках математики, информатики, физики и др.) и в повседневной жизни.

Задачи курса

1. Дать четкие научные знания и навыки по основным темам  логики, в том числе: 

а) формам мышления (понятиям, суждениям, умозаключениям); б) законам (принципам) мышления: закону тождества, закону непротиворечия, закону исключенного третьего, закону достаточного основания и др.; сформировать у учащихся практические навыки аргументации, доказательства и опровержения, показать встречающиеся в этом процессе правила и логические ошибки, различные уловки, применяемые в ходе полемики, дискуссий, диспутов и других форм диалогов.

2. Акцентировать внимание учащихся на разделах логики, связанных с обучением, научить учащихся применять полученные логические знания в процессе изучения математики, информатики и других школьных предметов.

3. Увязать изучение логики с эристикой (искусством спора) и риторикой (ораторским искусством), a также с эстетикой. Эта задача может быть выполнена в процессе факультативных занятий по указанным темам.

4. Выработать у учащихся умения и навыки решения логических задач; научить их иллюстрировать различные виды понятий, суждений, умозаключений новыми примерами, найденными ими в художественной и учебной литературе.

5. Предложить учащимся оптимальное сочетание традиционной формальной логики и элементов символической (математической) логики.

      Программа включает следующие темы: «Предмет и значение логики», «Понятие», «Суждение», «Законы (принципы) правильного мышления», «Дедуктивные умозаключения», «Символическая логика», «Индуктивные умозаключения», «Умозаключения по аналогии», «Искусство доказательства и опровержения», «Гипотеза».

       В теме «Предмет и значение логики» дается понятие о чувственном познании и его формах (ощущение, восприятие и представление), а также о формах абстрактного мышления (понятие, суждение и умозаключение).

       В теме «Понятие» показываются возможности применения  логических операций определения деления понятий в процессе обучения и другие операций.

       В теме «Сужение» акцент делается на анализ структуры простых сужений. А также, как показал опыт, учащиеся овладевают логическими связками и могут успешно составлять формулы сложных суждений.
     В теме «Умозаключение» излагаются в основном содержательные (при необходимом минимуме формализации) аспекты различных видов дедуктивных умозаключений (категорический силлогизм;  условные, условно- категорически и разделительно-категорические умозаключения, дилеммы и трилеммы), индуктивные умозаключения и умозаключения по аналогии.

       В теме «Искусство доказательства и опровержения» на конкретных примерах показывается, как следует находить тезис и аргументы в тексте, иллюстрируются некоторые способы доказательства и опровержения.  Для активизации мышления учащихся целесообразно уделять внимание таким формам обучения, как решение логических задач на уроке, отгадывание кроссвордов (составленных на логические или другие темы), логическим играм, подбору примеров из художественной литературы, художественному красочному оформлению работ. Учащиеся на уроках работают с различными учебниками начальной и средней школы с целью подобрать примеры на определенные логические правила и приемы (например, на определение понятий, для приемов, заменяющих определение понятии для делений и классификаций понятии суждений, для различных видов дедуктивных и индуктивных умозаключений, на аналогию).

      Эффективным способом усвоения многообразных видов дедуктивных умозаключений является самостоятельное нахождение учащимися примеров, с чем они (как показывает опыт преподавания логики в школе) успешно справляются и что доставляет им интеллектуальное удовлетворение. Особенно много интересных оригинальных примеров из художественной литературы, периодической печати, повседневной жизни учащиеся могут найти на дилеммы (сложный выбор наименьшего из двух зол). Можно даже провести интересную читательскую конференцию на тему «Дилеммы современности».
      Сами учащиеся могут изготовить разнообразные наглядные пособия по логике: схемы, рисунки, цветные кружочки, аппликации, красочно оформленные работы на тему «Отношения между понятиями» и др. Представляется весьма перспективным использование ЭВМ на практических занятиях. Данный курс имеет компьютерное сопровождение.

       Символическая логика не противоречит формальной логике, а является одним из ее направлений. Она отражает те же закономерности правильного мышления, которые отражает традиционная формальная логика, но в более обобщенной форме и более строго, чем это делается в последней. С помощью аппарата математической (символической) логики мы можем глубже отражать законы правильного мышления. 

       При изучении темы «Операции с классами» подробно рассматриваются операции пресечения классов, объединение классов, вычитание классов, дополнение. Изучаются законы, характерные для этих операций с классами (объемами понятий).

Изучая тему «Исчисление высказываний», необходимо, прежде всего, решить значительное число задач, позволяющих выразить сложные суждения на языке символической логики.

       При изучении темы «Символическая логика» (современная дедуктивная логика) учитель должен научить учащихся, используя различные способы доказательства (прежде всего табличный способ, приведение формулы к конъюнктивной нормальной форме), доказать, является ли формула законом логики. Учащиеся должны решать и другие задачи, в частности показывать путем эквивалентных преобразований, что две формулы являются эквивалентными.

      Изучая тему «Элементы логики предикатов», учащиеся будут записывать 4 вида простых категорических суждений (A, E, I, O) на языке логики предикатов, научатся решать задачи, выраженные формулами, содержащими кванторы. Этот материал следует преподавать так, чтобы формулы иллюстрировались содержательными примерами (суждениями и умозаключениями), которые приводят сами учащиеся.

      Изучая тему «Многозначные логики», учащиеся должны научиться доказывать, является ли формула законом логики, с помощью табличного определения отрицания и
импликации и соответствующих определений конъюнкции и дизъюнкции.

Содержание курса
Тема I. Предмет и значение логики

          Формы чувственного познания (ощущение, восприятие, представление). Формы абстрактного мышления (понятие, суждение, умозаключение). Как возникла и развивалась логика. Роль логики в повышении культуры мышления. Знание логики - рациональная основа процесса обучения, том числе математики. Описательные и логические термины: логические связки, кванторы. Составление формул для сложных суждений.

Тема II. Понятие

Понятие как форма мышления. Виды признаков предметов: свойства и отношения. Языковые формы выражения понятий. Роль понятий в познании (на примерах математики, информатики и др. школьных дисциплин). Основные логические приемы формирования понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение. Объем и содержание понятия.
Виды понятий. Отношения между понятиями. Совместимые и несовместимые понятия. Типы совместимости: равнозначность, перекрещивание, подчинение. Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие. Решение задач, включающих понятия на материале математики, информатики и др. предметов.

Определения понятия. Реальные и номинальные определения. Правила определения понятий. Ошибки, возможные в определении. Приемы, сходные с определением понятий: описание, характеристика, разъяснение посредством примера, сравнение, различение. Нахождение учащимися определений понятий и использование приёмов, их заменяющих, в школьных учебниках по математике и детской литературе.

Деление понятий. Виды деления: по видоизменению признака и дихотомическое (двучленное). Правила деления понятий. Возможные ошибки в делении. Использование операции деления понятий и классификации в математике.

Обобщение и ограничение понятий. Использование этих логических операций в математике.

Тема III. Суждение (высказывание)

Общая характеристика суждения. Суждение и предложение.
Виды простых суждений: суждение свойства (атрибутивное), суждение существования, суждения с отношениями.
Простое суждение и его состав: субъект, предикат, связка, кванторное слово. Классификация простых суждений по качеству и количеству. Объединённая классификация простых суждений по качеству и количеству. Приведения суждения к чёткой логической форме.

Сложное суждение и его виды. Образование сложных суждений из простых с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Составление формул для сложных суждений. Приведение содержательных примеров сложных суждений по данной формуле исчисления высказываний (например, по формуле

(a ^ b) → (e ^ (d ∨ f))).

Тема IV. Законы (принципы) правильного мышления

         Основные черты правильного мышления: определенность, последовательность, непротиворечивость и доказательность. Общая характеристика законов (принципов) правильного мышления. Закон тождества. Закон непротиворечия. Закон исключенного третьего. Закон достаточного основания. Нахождение учащимися примеров, показывающих нарушение этих законов в мышлении. 

Тема V. Дедуктивные умозаключения

         Общее понятие об умозаключении. Структура умозаключения: посылки; заключение; логическая связь между посылками и заключением (вывод). Виды умозаключений: дедуктивные, индуктивные, по аналогии. Понятие дедуктивного умозаключения. Необходимый характер логического следования в правильно построенных дедуктивных умозаключениях. Умозаключения непосредственные и опосредованные. Непосредственные умозаключения: превращение, обращение, противопоставление предикату. Простой категорический силлогизм. Состав, фигуры, модусы, правила категорического силлогизма. Сокращенный категорический силлогизм. Полисиллогизмы. Сориты.

Вывод  логики высказываний. Прямые выводы. Условные умозаключения. Чисто условные умозаключения. Условно-категорические умозаключения. Разделительные умозаключения. Чисто разделительные и разделительно-категорические умозаключения. Дилеммы. Трилеммы.

Тема VI. Символическая логика. Современная дедуктивная логика

         Операции с классами (объемами) понятий: объединение, пересечение, вычитание. Решение задач, включающих два, три или большее число классов на материале математики, информатики и др. школьных учебных предметов. Исчисление высказываний (пропозициональная логика).Понятие высказывания. Простые и сложные высказывания. Способы образования сложных высказываний с помощью логических связок (союзов): конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Тождественно-истинные формулы (законы логики или тавтологии), тождественно-ложные формулы (противоречия) и выполнимые формулы. Исчисление высказываний. Наиболее часто употребляемые схемы правильных рассуждений (умозаключений) закон транзитивности, модус поненс, модус толленс, модус понендо толлес, модус толлендо поненс, диллемы, законы редукции к абсурду, законы де Моргана,  законы идемпотентности, законы коммутативности, закон ассоциативности, законы дистрибутивности, законы двойного отрицания и др. Установление обоснованности рассуждений с помощью таблицы истинности. Отрицание простых и сложных суждений (высказываний). Образование суждения, противоположного сложному суждению. Логическое противоречие и логическое следование. Закон непротиворечив и закон исключенного третьего. Выражение логических связок  (логических постоянных) в естественном языке.Логическое следствие.Равносильные формулы. Доказательство законов, выражающих эквивалентную замену:

1. (a → q) = (p ∨ q)

       (p → q) = p ∨ q

2. (p=q) = ((p →q)^(q→p));

        (p=q) = ((p^q) ∨(p^q))

3. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий);

(p→(q→r) = (p^q) →r

4. Правило экспортации (разъединения условий):

((p^q) →r = (p→(q→r)).

 Доказательства эквивалентности двух выражений путем эквивалентных преобразований. Иные способы доказательств, применяемые в логике высказываний: доказательство условное (методом допущений); доказательство тождественной истинности формул привидением их к конъюнктивной нормальной форме и др. Выведение всех простых следствий из данных посылок методом Порецкого – Блэка. Приложение логики высказываний к анализу и синтезу контактных электронных схем. Элементы логики предикатов.

         Язык логики предикатов: индивидные и предикатные переменные, кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Квантор общности и его связь с конъюнкцией; квантор существования и его связь с дизъюнкцией.

Запись суждений A, E, I, O на языке логики предикатов. Правила отрицания кванторов. Запись отрицания простых категорических суждений в логике предикатов («логический квадрат»). Некоторые простейшие законы логики предикатов

Тема VII. Индуктивные умозаключения

        Понятие умозаключения и его виды. Полная индукция и ее использование  в математике. Математическая индукция. Неполная индукция и ее виды: индукция через простое перечисление (популярная); индукция через анализ и отбор фактов, научная индукция. Условия повышения достоверности индуктивного рассуждения. Индуктивные методы установления причинных связей. Метод сходства. Метод различия. Метод сопутствующих изменений. Метод остатков. Роль индуктивных умозаключений в познании. Взаимосвязь индукции и дедукции в познании и учебном процессе. Индуктивные и дедуктивные методы изложения учебного материала в математике.

Тема VIII. умозаключения по аналогии

       Аналогия и ее структура. Виды умозаключений по аналогии: аналогия свойств и аналогия отношений. Нестрогая и строгая аналогия. Ложная аналогия. Условия повышения степени вероятности заключений в выводах нестрогой аналогии. Достоверность заключений в выводах строгой аналогии. Роль аналогии в познании. Аналогия Логическая основа метода моделирования науке и технике. Использование аналогии в процессе обучения на уроках истории, физики. астрономии, математики, биологии и др.Д. Пойа о примерах применения аналогий в математике.

Тема lХ. Искусство доказательства и опровержения

      Структура н виды доказательств. Доказательство и убеждение. Структура доказательства: тезис, арryменты, демонстрация. Роль доказательства в школьном обучении, в том числе в математике. Прямое и косвенное доказательство. Использование их в  математике. Правила доказательного рассуждения: по отношению к тезисам, к аргументам, к форме доказательства. Логические ошибки относительно доказываемого Тезиса, ошибки в аргументах доказательства и в форме доказательства. Понятие о логических парадоксах («Куча», «Лысый», «Рогатый», «Мэр города» и др.). Математические софизмы, опровержение. Структура опровержения. Опровержение тезиса (прямое и косвенное): критика аргументов, выявление несостоятельности демонстрации.

Тема Х. Гипотеза. Гипотеза как форма развития знаний

      Логико-методологические условия состоятельности научных гипотез. Виды гипотез: общие, частные, и единичные. Понятие рабочей гипотезы. Конкурирующие гипотезы в науке; условия отбора предпочтительных гипотез. Построение гипотезы и этапы её развития. Роль умозаключений и опытных данных при формировании гипотез. Метод множественных гипотез. Основной способ подтверждения гипотез: выведение следствий и их верификация. Роль эксперимента в процессе верификации. Вероятностная оценка степени подтверждения гипотез. Прямой и косвенный способы доказательства гипотез. Способы опровержения гипотез.

            Предполагаемые формы организации учебных занятий: лекционно – семинарская, работа в малых группах, самостоятельная работа с различными источниками, занятия с использованием поисковых и исследовательских методов. Представляется перспективным использование компьютерных технологий на практических занятиях.

Итоговый контроль (по блокам):

   №1. Зачет по теме «Понятие»

№2. Зачет по теме «Суждение»

№3. Зачет по теме «Дедуктивные умозаключения»
№4. Зачет по теме «Математическая логика»
Диспут на морально – этическую тему.

Итоговое занятие «Роль логики в математике, в познании, в жизни»

Базовый учебник 
«Логические основы математики. 10 – 11 кл. : учебное пособие / А. Д. Гетманова. – М. : Дрофа, 2006. 


Дополнительная литература 
Логические основы математики: методическое пособие к элективному курсу А. Д. Гетмановой «Логические основы математики» / А. Д. Гетманова. – М. : Дрофа, 2005. 

К концу изучения данного курса учащиеся должны знать:

1. Формы мышления.
2. Законы мышления.
3. Способы доказательства и опровержения.
4. Виды логических ошибок, встречающихся в ходе доказательства и опровержения.
5. Знать виды гипотез: общие, частные, единичные.
6. Владеть основными знаниями из раздела математической (символической) логики

Учащиеся должны уметь:

1. Иллюстрировать различные виды понятий, суждений, умозаключений новыми примерами, найденными в художественной литературе и в учебниках по математике для средней школы.
2. Записывать структуру сложных суждений и ряда дедуктивных умозаключений в виде формул математической логики.
3. Находить отношения между понятиями, используя круги Эйлера, в том числе между математическими понятиями.
4. Практически владеть навыками аргументации, доказательства и опровержения.
5. Вскрывать ошибки в математических софизмах. 
6. Уметь решать логические задачи по теоретическому материалу науки логики и математики и занимательные задачи по логике.
   

Календарно – тематическое планирование