2 презентации учеников по теме функции- их свойства ипериодические функциии
презентация к уроку по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

Периодическая функция Подготовила ученица 10 «А» класса МАОУ «Лицея №3 им. А.С.Пушкина» Козлова Анастасия

Слайд 2

Определение Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода).

Слайд 3

Признак Функция с областью определения называется периодической, если существует хотя бы одно число , такое, при котором выполняются следующие два условия: 1) точки , принадлежат области определения для любого ; 2) для каждого x из D имеет место соотношение

Слайд 4

Экстремумы функции Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума . Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума , а если максимум — точкой максимума . В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум) .

Слайд 5

Точку х 0 называют точкой минимума функции y = f ( x ) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f( х 0 )≥f(x) . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают y min . Под окрестностью точки х 0 понимают интервал ( x 0 – e ; x 0 + e ) , где e – достаточно малое положительное число. Точку х 0 называют точкой максимума функции y = f ( x ) , если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство f( х 0 )≥f(x) . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают y max . Синим обозначены минимумы функции Красным обозначены максимумы функции Зеленым – точки минимума Желтым – точки максимума

Слайд 6

Функция y= sinx – периодическая с периодом

Слайд 7

Заметим, что если число T является периодом функции f ( x ) , то и число 2 T также будет ее периодом, как и 3 T , и 4 T и т.д., т.е. у периодической функции бесконечно много разных периодов. Если среди них имеется наименьший (не равный нулю), то все остальные периоды функции являются кратными этого числа.

Слайд 8

Функция y = sin 2 x имеет наименьший положительный период, в 2 раза меньший, чем функция f ( x )= sin x

Слайд 9

Задача Пусть φ и ψ - непрерывные периодические функции, определенные при x ϵ R и . Доказать, что φ ( x ) ≡ ψ ( x ), x ϵ R.

Слайд 10

Решение Пусть T 1 - период функции φ , а T 2 - период функции ψ . Предположим, что , т. е. существует такая точка x = t , что | φ ( t ) - ψ ( t )| = M > 0. (1) Возьмем ε > 0 произвольное, но меньше M /2. В силу непрерывности функции φ в точке x = t , для указанного ε > 0 существует δ > 0 такое, что | φ ( t ) - φ ( t + h )| < ε , (2) как только | h | < δ .

Слайд 11

Согласно условию, существует такое натуральное число k , что | φ ( t + kT 2 ) - ψ ( t + kT 2 )| < ε , а тогда имеем | φ ( t + mkT 2 ) - ψ ( t + mkT 2 )| < ε . (3) Из неравенств (2), (3) и периодичности функций φ и ψ следует неравенство | φ ( t ) - ψ ( t )| = | φ ( t ) - φ ( t + mkT 2 ) + φ ( t + mkT 2 ) - ψ ( t + mkT 2 )| ≤ | φ ( t ) - φ ( t + mkT 2 )| + | φ ( t + mkT 2 ) - ψ ( t + mkT 2 )| = = | φ ( t ) - φ ( t + mkT 2 - nT 1 )| + | φ ( t + mkT 2 ) - ψ ( t + mkT 2 )| < ε + ε = 2 ε , (4) если только | mkT 2 - nT 1 | < δ . (5) Но мы выбрали такое число ε , что 2 ε < M . Таким образом, неравенство (4) противоречит равенству (1). Источник противоречия - в предложении существования точки x = t , в которой | φ ( t ) - ψ ( t )| = M > 0. Следовательно, такой точки не существует, т. е. φ ( x ) ≡ ψ ( x ), -∞ < x < +∞.

Слайд 1

Числовые функции Презентация По математике Подготовила: Ученица 10 Б класса Лицея №3 ИМ А.С.Пушкина Лузановская Анна.

Слайд 2

Свойства функции • Чётность нечетность • Периодичность • Нули функции • Монотонность • Экстремумы • Асимптоты

Слайд 3

Четная и нечетная функция Функция называется четной если: •область определения функции симметрична относительно нуля •для любого x из области определения f (- x ) = f ( x ) Функция называется нечетной если: • область определения функции симметрична относительно нуля • для любого x из области определения f (- x ) = - f ( x ) y = x 2n , n Z; y = cos x . y = x 2n + 1 , n Z; y = sin x .

Слайд 4

Многие функции могут быть НИ ЧЕТНЫМИ , НИ НЕЧЕТНЫМИ y = e x , y = ln x, y = x - 2, y = (x + 1) 2

Слайд 5

Периодичность Функция f ( x ) называется периодической с периодом T > 0 , если для любого x из области определения значения x + T и x - T также принадлежат области определения и f ( x ) = f ( x + T) = f ( x - T) . При этом любое число вида Tn , где n N , также является периодом этой функции. График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы построить график периодической функции нужно построить фрагмент графика на любом отрезке, длинной T (например [0;T]), а затем произвести последовательные параллельные переносы фрагмента графика на T, 2T, 3T и т.д. вдоль оси x (вправо и влево)

Слайд 6

Нули функции Нулем функции y = f ( x ) называется такое значение аргумента x 0 , при котором функция обращается в нуль: f (x 0 ) = 0 . В нуле функции её график имеет общую точку с осью x . x 1 ,x 2 ,x 3 - нули функции y = f ( x )

Слайд 7

МОНОТОННОСТЬ Функция y = f ( x ) называется убывающей на интервале ( a ; b ) , если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) > f (x 2 ). Функция y = f ( x ) называется возрастающей на интервале ( a ; b ), если для любых x 1 и x 2 из этого интервала таких, что x 1 < x 2 , справедливо неравенство f (x 1 ) < f (x 2 ).

Слайд 8

ЭКСТРЕМУМЫ (МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ) Внутренняя точка x max области определения называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство : f (x 1 ) < f ( x max ) называется максимумом этой функции. Внутренняя точка x min области определения называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство: f (x 1 ) > f ( x min ) называется максимумом этой функции. x max - точка максимума y max - максимум x max - точка максимума y max - максимум

Слайд 9

АСИМПТОТЫ Если график функции y = f ( x ) имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви. Горизонтальная асимптота y = b Вертикальная асимптота x = a Наклонная асимптота y = kx + b

Слайд 10

Обратная функция Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению y из области определения соответствует единственное значение x из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции y = x 2 таким промежутком является, например, луч [0; ) , для функции y =sin x - отрезок [- / 2; / 2]). Функция g называется обратной для функции f , если каждому y из области значений функции f функция g ставит в соответствие такое x из области определения функции f , что y = f ( x ). Таким образом, если y = f ( x ), то x = g ( y ). Функции f и g являются взаимно обратными. • Область определения функции f является областью значений функции g , а область значений функции f является областью определения функции g . Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой y = x

Слайд 11

НАХОЖДЕНИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФУНКЦИИ, ОБРАТНОЙ ДАННОЙ Пользуясь формулой y = f ( x ), следует выразить x через y , а в полученной формуле x = g ( y ) заменить x на y , а y на x . Пример: Найти формулу для функции, обратной функции: Выразить x через y: x = 2y - 2. Заменить x на y: y = 2x - 2. Результат: функция y = 2x - 2 является обратной для функции .

Слайд 12

Определение функции Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу x из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y . Обозначение: y = f ( x ), где x - независимая переменная (аргумент функции), y - зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обычно обозначается D ). Множество значений y называется областью значений функции (обычно обозначается E ). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами ( x , f ( x )).

Слайд 13

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИЙ x 1 2 3 4 5 y 2 4 6 8 10 Аналитический способ: функция задается с помощью математической формулы ( y = x 2 , y = ln x ) в которой зависимая переменная выражается через независимую. Формула указывает те действия и их последовательность, которые нужно совершить над независимой переменной, чтобы вычислить значение функции при заданном значении аргумента. Табличный способ: функция задается с помощью таблицы:

Слайд 14

Графический способ: функция задается с помощью графика. Графики некоторых функций имеют свои названия: Параболой называется график квадратичной функции Описательный способ: функция задается словесным описанием. Кубической параболой называется график функции y = x 3 Гиперболой называется график обратной пропорциональности ( y = k / x )

Слайд 15

Периодическая функция Функция f ( z ) от одного переменного z называется периодической, если можно найти такое число а , чтобы имело место равенство f ( z+a ) = f ( z ) для всяких значений переменного z , действительных, мнимых и комплексных. Число а будет периодом функции. П. функции от одного переменного могут быть лишь однопериодичные либо двупериодичные . Если все возможные периоды суть положительно или отрицательно взятые кратные одного первоначального периода 2ω, то функция однопериодична . Таковы функции е Z , sin z , первоначальные периоды которых суть: первой 2π i , второй 2π, где i = √ ( — 1). Все возможные периоды двупериодической функции могут быть составлены через кратное сложение или вычитание двух разных первоначальных периодов 2ω 1 и 2ω 2 , отношение которых есть величина мнимая. Примерами таких функций служат функции эллиптические.

Слайд 16

Спасибо за урок! Спасибо за урок! Спасибо за внимание!