обобщенный метод интервалов в сложных примерах
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

«Решение неравенств повышенной сложности обобщённым методом интервалов»

Попова Нина Федоровна

Белых Нина Владимировна

Одной из актуальных задач, стоящей перед учителем математики в современной школе, является задача развития математических способностей учащихся, воспитание их творческой активности, а также формирование системы математических знаний, приёмов и навыков. Умение решать задачи повышенной сложности характеризуется как глубиной усвоения «базового» курса, так и овладением различными математическими приёмами и методами, выходящими за рамки основного курса.

При подборе задач школьного курса математики, безусловно, необходимы задачи, нацеленные  на отработку того или иного математического навыка, задачи иллюстративного характера, тренировочные упражнения, выполняемые по образцу. Но не менее необходимы задачи,  направленные на пробуждение у учеников устойчивого интереса к изучению математики. Осуществляя целенаправленное обучение школьников решению задач повышенной сложности, следует учить их наблюдать, пользоваться аналогией, сравнением и делать соответствующие выводы, развивать логическое  мышление.

Предлагаемый материал знакомит учащихся с  обобщённым методом интервалов, который является одним из наиболее простых и эффективных методов решения неравенств, содержащих различные функции. К сожалению, в большинстве учебников и учебных пособий этот метод рассмотрен применительно к дробно-рациональным неравенствам и не показано его использование для решения неравенств иррациональных, показательных, логарифмических, неравенств смешанного типа, а также неравенств, содержащих модули.

Метод интервалов основан на следующем свойстве непрерывных функций:

Если на интервале (a; b) функция f непрерывна и не обращается

в нуль, то она на этом интервале сохраняет постоянный знак.

Пусть функция f непрерывна на интервале I и обращается в нуль в конечном числе точек этого интервала. По сформулированному выше свойству непрерывных функций этими точками интервал I разбивается на “более мелкие” интервалы так, что на этих интервалах исходная “сложная” задача упрощается, т.к. обладает определёнными свойством, например, свойством сохранения знака.

В качестве примера решим неравенство:

Пример 1

Решение.

1. Рассмотрим функцию f(x) = и найдём значения x, при которых f(x)≤0
2. Найдём область определения функции f(x).

D(f):x≠1, следовательно, D(f)=(-∞;1) U (1;+∞)

3. Найдём нули функции:

f(x)=0, при x=2 и x=-4

4. Точки x=-4, x=1, x=2 делят числовую прямую на промежутки, в каждом из которых функция f(x) непрерывна и  сохраняет постоянный знак.

+                        -                        +                      +

x

  -4                      1                        2        

Для определения знаков, в полученных промежутках используем следующие правила:

а) т.к. внутри рассматриваемого промежутка знак неравенства не меняется, то для определения знака функции f(x) выбирается какая-либо “удобная” точка внутри этого промежутка и вычисляется значение функции в этой точке.

б) если точки неравенства (т.е. корни числителя или корни знаменателя или корни числителя и знаменателя в совокупности) имеют нечётную кратность, то при переходе через эту точку знак неравенства меняется, если указанные точки имеют чётную кратность, то при переходе через неё знак неравенства не меняется. (Для исключения ошибок желательно определить знак функции f(x) в каждом из промежутков в “удобной” точке.)  

Пусть x>2, тогда f(5)>0 (“5” – удобная точка промежутка

Пусть 10

Пусть -4

Пусть x<-4, тогда f(-5)>0

5. Таким образом, f(x) ≤0 при x є [-4; 1) U    Ответ:[-4;1)U{2}

Рассмотрим применение этого метода для решения иррациональных неравенств.

Пример 2   ≥0

1. Рассмотрим функцию f(x)=
2. D(f): x+2≥0; x≥-2; D(f)=[-2; +∞).
3. Найдём нули функции.

f(x)=0, если =0. Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.

 или =0

x=-2

Число (-3) не является корнем, т.к. при этом подкоренное выражение отрицательно.

4. На числовую прямую наносим область определения функции
   D(f)=[-2; +∞) и нуль функции x=3, который разбивает область определения на два промежутка, в каждом из которых функциянепрерывна и  сохраняет постоянный знак.

   -             +                    

         -2                  3                                x

Если x>3, f(5)>0

Если -2

5. Таким образом, f(x)≥0 при x є [3; +∞) U {- 2}.Ответ:[3;+∞)U{-2}.

Из анализа полученного ответа следует, что особое внимание следует уделить концам промежутков и границам области определения. Такие точки могут как принадлежать множеству решений неравенства, так и не принадлежать, что надо дополнительно выяснять, подставляя их значения в неравенство.

Пример 3

или

1. Рассмотрим функцию f(x)=
2. D(f): ;   D(f)=[-2;3]
3. Нули f(x): =0

;

Проверка:  равенство неверное,

 равенство верное,

следовательно, уравнение имеет единственный корень x=2

4. Наносим область определения и нули функции на числовую прямую и определяем знак функции на каждом из промежутков с помощью удобной точки.
5. 

+

     -2                2                3                  x

Проверим знак функции на границах области определения: f(-2)<0, f(3)>0, следовательно, f(x)>0, при x є (2: 3].Следует обратить внимание на то, что x=3 является решением неравенства, хотя неравенство является строгим.Ответ:(2;3].

Пример 4(ЕГЭ 8. 12 2009 г.)

Решение

Преобразуем неравенство, разложив его на множители:

1) Рассмотрим функцию

2) D(f):

Следовательно

3)Нули

X=4 корнем не является, так как при этом знаменатель обращается в нуль.

4) Наносим на числовую прямую область определения f(x) и нули f(x) и определяем знаки f(x) в полученных интервалах, причем так как первый множитель f(x) всегда положительный, достаточно определить знаки только второго множителя.

5) Таким образом,

Ответ:(0;1]U{2}U[3;4)U(4;5]

Используем метод интервалов для решения неравенств с модулями

Пример 5

Решение

Перепишем неравенство в виде:

1) Рассмотрим функцию

2)

3) Нули f(x):

;

4)Нанесем нули f(x) на числовую прямую и определим знак функции f(x) в каждом из интервалов

Пример 6

1) Рассмотрим функцию

2)D(f)=R

3) Нули f(x):

;

4) Нанесем нули f(x) на числовую прямую и определим знаки f(x) в полученных интервалах

5)

Ответ: .

Метод интервалов представляется целесообразным и при решении показательных и логарифмических неравенств, в частности в неравенствах, в которых вводится замена переменной.

Пример 7

Решение

1) Рассмотрим функцию

2) D(f)=R

3) Нули f(x):

Пусть

Обратная замена:

 4) Наносим на числовую прямую нули f(x) и определяем знаки f(x) в полученных интервалах

5)

Ответ: (2; +  )

Пример 8

Решение

1) Рассмотрим функцию

2) D(f):;

 3)  Нули f(x):

Пусть

Обратная замена:

 4) Наносим на числовую прямую область определения и нули f(x) и определяем знаки  в полученных интервалах

5)       Ответ: (0;  ]

Пример 9

1) Рассмотрим функцию

2)

 3) Нули f(x):

4) Наносим область определения и нули функции на числовую прямую и определяем знаки f(x) в полученных интервалах.

5. Таким образом,  при

Пример  10

1. Рассмотрим функцию
2. ; .
3. Нули  ;

Пусть   , тогда ;

Обратная замена:

4. Нанесём  область определения и нули функции на числовую прямую и определим знаки , в полученных интервалах:

• +                            +

Если

Если

Если

Если

5. ,при .                Ответ:

               Рассмотрим применение метода интервалов к решению неравенств смешанного типа:

Пример 11  

1. Рассмотрим функцию  .
2. ;;;

 .

3. Нули

 ;  ;

Уравнение имеет единственный корень

4. Нанесём область определения и нули  на числовую прямую и определим знаки  в полученных интервалах

    +                                                +

;   ;       ;        .

5.   при

Следует обратить внимание на то, что хотя неравенство строгое, значение является решением, т. к.  .

Ответ:  

1. Метод интервалов для рациональных неравенств

        Задача (диагностическая работа № 3, 2007/2008, В6)

Сколько целочисленных решений имеет неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения функции

Нули функции

Значит,

Таким образом, количество целочисленных решений 8.

Ответ: 8.

2. Метод интервалов для неравенств с модулями

Задача  (МГУ, геологический факультет, 2005)

Решите неравенство

1 способ (Обобщённый метод интервалов)

Рассмотрим функцию

Область определения функции

Нули функции

2 способ (Рассмотрение случаев)

1 случай. Если

Тогда неравенство принимает вид

Но, учитывая условие раскрытия модуля – получаем

2 случай. Если  

Тогда неравенство принимает вид

Но, учитывая условие раскрытия модуля – получаем

Объединяя полученные ответы – имеем

Ответ:

Часто обобщённый метод интервалов удобнее и короче традиционного способа решения.

3. Метод интервалов для иррациональных неравенств

Задача  (Диагностическая работа №2, 2008/2009,)

Решите неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения

Нули функции

Учитывая область определения, получаем, что нули функции

Определим знаки функции на образовавшихся промежутках (это задача С – необходимо обосновывать!)

Знаки, принимаемые функцией , определяются значением второго множителя, так как корень неотрицателен на области определения. Так как второй множитель – квадратный трехчлен, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, то при  , а при  

Значит,

Ответ:

Из приведённого примера виден один из недостатков метода – может быть затруднено определение знаков на полученных интервалах, особенно, если точки расположены довольно близко друг к другу и/или когда значения нулей или границ области определения – «плохие».

В тоже время, обобщённый метод интервалов во многих случаях представляет собой хорошую альтернативу традиционным схемам решения иррациональных неравенств вида  и

Задача  (МГУ, экономический факультет, 2003)

Решить неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения функции найдём из условия

Нули функции найдём, решив уравнение

Проверкой убеждаемся, что  является корнем уравнения, а  - корнем уравнения не является.

Определим знаки функции на полученных интервалах

Значит,

Ответ:

4. Метод интервалов для показательных и логарифмических неравенств

Задача (Демоверсия 2009 варианта ЕГЭ по версии МИОО, С10)

Решить неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения

Нули функции

Определим знаки функции на образовавшихся промежутках

Ответ:

Обобщённый метод интервалов может быть использован и вместо традиционного способа решения логарифмических и показательных неравенств.

Задача 10 (МГУ, МГТУ)

Решить неравенство

Рассмотрим функцию

Область определения

Нули функции

С учётом области определения – ответ уравнения

Определим знаки функции на полученных интервалах

Значит,

Ответ:

5. Метод интервалов для смешанных неравенств

Наиболее полезен обобщённый метод интервалов при решении неравенств «смешанного» типа, т.е. неравенств, содержащих части различного вида.

Задача  (РЭА)

Найти наименьшее целое решение неравенства

Рассмотрим функцию

Область определения

Нули функции

Определим знаки функции на образовавшихся промежутках

Значит, . Наименьшее целое решение – число .

Ответ:

6. Метод замены множителей

В заключении рассмотрим так называемый «метод замены множителей», который может оказаться полезным при решении неравенств, содержащих части разного вида.

Например, при решении показательных неравенств, в которых неизвестное встречается и в основании, и в показателе степени, полезно использовать следующее правило (см. И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев "Решение задач 11"): выражение   при имеет тот же знак, что , и противоположный, если   Оба варианта можно объединить в один: выражения  и имеют один знак. При этом, конечно нельзя забывать об области определения выражения   (должно быть положительным).

Задача 12

        Решите неравенство

        Решение.

Воспользуемся утверждением

Пусть

Таким образом,  для всех

        +                -                +                -                +                

                -1                                0                3                        х

Ответ:

Подобные «замены множителей» могут быть (с соответствующими изменениями) произведены и при решении неравенств с модулями, иррациональных неравенств, логарифмических неравенств и т.д. Особенно данный метод полезен при решении неравенств смешанного вида.

Задача 13

Решить неравенство

Область определения данного неравенства найдём из условий

Воспользуемся методом «замены множителей».

Отсюда,

Ответ:

Задача  (МГИЭТ 2001) 

Решить неравенство

при

Отдельно следует рассмотреть случай  при этом выражения, стоящие в показателях степени должны быть положительными.

1.         

        Решением последней системы является

         не удовлетворяет этому условию, следовательно, не является решением неравенства.

         удовлетворяет условию, следовательно, является решением неравенства.

2.        

                +                -                +                                х

                -                +                -                +        х

        Таким образом, получаем  

Ответ:

P.S. Если в выражении  допустить отрицательные значения  то надо требовать, чтобы значение было целым числом. Тогда при  получим  то есть  Тогда  Значит,   то есть значение выражения  не является целым числом.