Множества и комбинаторика
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок №3

Тема: Перестановки. Размещения. Сочетания

Цели:         повторить общие правила комбинаторики, различные виды выборок и формулы, связанные с их нахождением;

        воспитывать умение работать самостоятельно и в группах;

        способствовать развитию внимания, логического мышления.

Ход урока:

Оформление доски: слева (столбиком) записаны слова:         комбинаторика

                                                                перестановка

                                                                размещение

                                                                сочетание

                справа (столбиком) символическая запись:        

I. Орг. момент.

II. Актуализация знаний.

- При решении некоторых практических задач часто приходится имеющиеся предметы (элементы) соединять в разные наборы (комбинации), например наборы конфет, наборы инструментов, парфюмерные наборы, наборы письменных принадлежностей и т.д. и подсчитывать число этих комбинаций. Решать такие задачи помогает комбинаторика. Итак, дайте определение этого раздела математики: комбинаторикой называется…….(область математики, в которой изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из исходного множества элементов по заданным правилам). (Записать определение в тетрадь).

- Вспомните, пожалуйста, что же является основным объектом комбинаторики? (выборка, соединение, событие).

Итак, основной объект – это выборка.

Задание1: (в тетрадях) Выпишите каждый в своей тетради цифры от 0 до 9 (всего 10 штук). Составьте из них любое 4-х значное число. Какие числа у Вас получились?

Предполагаемые ответы учащихся: 1234, 5123, 1111, т.д.

Учитель: Скажите, пожалуйста, сколько можно составить таких чисел, много или мало, можно ли просчитать?

Обратите внимание на то, как Вы выбирали: кто-то взял все цифры разные, кто-то одинаковые, у кого-то цифры идут от меньшего к большему, у другого наоборот. Все делали одно и тоже действие: составляли 4-х значное число, но сделали это по разному, т.е. выбрали цифры различными способами. Значит, выборки бывают различными, оказывается, что их всего 3 типа.

- Запишите в тетрадях:

При работе с выборками можно использовать 2 правила: правило суммы и правило произведения. Вспомним их:

- правило суммы: если некоторый объект А можно выбрать n способами, а другой объект В можно выбрать m способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить m+n способами.

- правило произведения: если объект А можно выбрать n способами, а после каждого такого выбора другой объект В можно выбрать (независимо от выбора объекта А) m способами, то пары объектов А и В можно выбрать m*n способами.

Учитель: Определите, с помощью какого правила можно решить следующие задачи:

Задача№1: Если на одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой – 40 различных книг (и нет таких, как на первой полке), то выбрать одну книгу из стоящих на этих полках можно:…..(30+40=70 способов). (правило сложения)

Задача№2: Учитель подготовил к самостоятельной работе 4 примера на решение неравенств, 5 задач и 6 примеров на решение квадратных уравнений. Сколько всех возможных вариантов контрольной можно составить, если она должна содержать по одному заданию на каждую из 3-х тем? (4*5*6=120 вариантов).

Задача№3: Сколькими способами из 28 костей домино можно выбрать две кости так, чтобы их можно приложить друг к другу (т.е. чтобы какое-то число встретилось на обеих костях)?

Решение: Сначала выберем одну кость. Это можно сделать 28 способами. При этом в случаях выбранная кость окажется «дублем», т.е. костью вида 00,11,22,33,44,55,66, а в 21 случае – костью с различными числами очков (например, 05,13 и т.д.).

В первом случае вторую кость можно выбрать 6 способами (например, если на первом шаге выбрана кость 11, то на втором шагу можно взять одну из костей 01, 12, 13, 14, 15, 16).

Во втором же случае вторую кость можно выбирать 12 способами (для кости 35 подойдут кости 03, 13, 23, 33, 34, 36, 05, 15, 25, 45,55,56). По правилу произведения в первом случае получаем 7*6=42 выбора, а во втором 21*12=252 выбора.

Значит, по правилу суммы получаем 42+252=294 способов выбора пары.

Учитель: Эта задача является иллюстрацией применения сразу двух правил. Теперь давайте подготовимся к практической работе, чтобы её провести Вам понадобится:

1. Составить математическую модель задания;
2. Определить вид выборки;
3. Вычислить результат вручную;
4. Вычислить результат по формуле:

                                  ;       

(Этот план должен быть заготовлен на доске).

Вспомним определения видов выборок:

Перестановки – это…….

(перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определённом порядке)

Размещения – это…….        

        (размещением из n элементов по k (k≤n) называется любое множество,         состоящее из любых k элементов, взятых в определённом порядке из данных n элементов)        

Сочетания – это….

(сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное  из k элементов, выбранных из данных n элементов)

Определите, к какому виду выборки относится данная характерная задача:

1.Сколькими способами 5 учеников можно рассадить на 10 мест?      (размещения)

2.На мойку приехало 5 машин. Сколько существует способов выстроить их в очередь? (120, перестановки)

3.В классе 25 учеников. Сколькими способами учитель может выбрать для опроса 5 учеников? (сочетания)

III. Закрепление знаний.

Учитель: Необходимый теоретический материал мы повторили, теперь приступим к выполнению практической работы в группах.

Группа №1

Сколькими способами можно составить код домофона, состоящий из двух цифр.

(1-я подсказка – размещение, 2-я подсказка - , 3-я подсказка – 10!:8!=9*10=)

Группа№2

Составьте комиссию из 3-х членов для экзамена по математике, если в школе всего 7 математиков. Сколько таких комиссий можно составить.

1-я подсказка – сочетание, 2-я подсказка -, 3-я подсказка – 7!:(3!*4!)=35)

Группа№3

Сколькими способами можно достать все карандаши из коробки – 12 цветов, вытаскивая каждый раз по одному.

1-я подсказка – перестановка, 2-я подсказка -, 3-я подсказка – 12!)

Замечание: подсказки учитель может использовать в случае, если у групп возникнет затруднения в ходе решения задач.

IV. Итог урока. Итак, ребята, сегодня на уроке мы вспомним основные элементы комбинаторики, главный её объект – выборку и её виды: размещение, перестановку, сочетание, а также формулы для их вычислений.

V. Домашнее задание: повторить основные определения, составить 3 задачи для иллюстрации каждой выборки с решениями и оформлением.

Урок №4

Тема: Урок решения задач по теме «Перестановки. Размещения. Сочетания».

Цели: отработать общие правила и формулы комбинаторики при решении задач;

закрепить умение работать с комбинаторными задачами, определять к какому виду выборки относится данная задача;

добиваться в ходе решения задач повышения уровня осмысления материала, глубины его понимания.

Ход урока:

1. Устная работа:

1. Соотнесите с помощью стрелок формулы и виды выборок:

 ;                                        ;

перестановки                        сочетания                    размещения

2. Приведите примеры задач на: а) сочетания;  б) перестановки;  в) размещения.

Замечание. При решении задач по комбинаторике следует обращать внимание на учитывание порядка в сочетаниях. Если порядок учитывается, т.е. составляются упорядоченные множества, то это – размещения. Если порядок не учитывается, т.е. составляются множества, то это – сочетания.

Собрать домашние задачи для проверки

2. Решение задач.

Учитель подробно излагает решение на доске.

Задача№1: «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл и Косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили выбрать 4 любых инструмента из имеющихся 11.

а) найти число всевозможных выборов инструментов;

б) найти число всевозможных рассаживаний участников квартета с выбранными четырьмя инструментами (инструменты, как в басне Крылова, занимают чётко отведенные места).

в) сколько всего различных инструментальных составов квартета может получиться?

Решение: а) требуется найти количество всех выборов четырёх элементов из 11 данных без учёта порядка, т.е. число сочетаний из 11 элементов по 4:

.

б) это уже знакомая нам задача про рассаживание четырёх субъектов на 4 места. Найдём число перестановок:

.

в) каждый инструментальный состав квартета получается в результате проведения двух независимых испытаний: первое – из пункта а), второе – из пункта б). По правилу умножения получаем:

.

Впрочем, ответ можно получить и без использования пунктов а) и б). Действительно, можно считать, что выбор инструментов происходит поочерёдно: первой выбирает Мартышка, потом Осёл, Козёл и Мишка. Значит, требуется найти количество всех выборов четырёх элементов из 11 данных с учётом порядка, т.е. число размещений из 11 элементов по 4:

.

Ответ: а) 330; б) 24; в) 7920.

После фронтального обсуждения один из учеников решает у доски.

Задача№2: В классе 27 учеников, из них нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?

Решение: В случае  а) порядок важен, а в случае б) – нет. Значит, в первом случае получим , а во втором - .

а) ;

б) .

III. «Марафон» по решению задач.

В течение оставшегося времени учащиеся решают в парах 3 задачи (остальные задачи – на усмотрение учителя).

Ученики, решившие задачи первыми, после проверки учителя получают отметку и становятся консультантами, помогая учителю.

Задача№1: Три клавиши из семи  клавиш, соответствующих нотам до, ре, ми, фа, соль, ля, си одной октавы, можно нажать либо одновременно (аккорд), либо поочерёдно (трезвучие).

а) найти число всех возможных трезвучий;

б) найти число всех возможных аккордов;

в) найти число всех возможных аккордов, содержащих ноту соль;

г) найти число всех возможных аккордов, в которых нет подряд идущих нот.

Решение: а) при выборе трезвучия по его определению порядок выбора важен. Значит, всего есть   трезвучий в одной октаве.

Кстати, можно было действовать просто по правилу умножения без всяких формул для числа размещений. Это довольно типичная ситуация, т.е. практически во всех задачах (уровня общеобразовательной школы), связанных с поочередным выбором, можно обойтись ровно правилом умножения, не прибегая к специальному знанию выученных на память формул для числа размещений.

б) Каждый аккорд из трёх нот при разном порядке нажатия клавиш даст 6 трезвучий. Значит, аккордов в 6 раз меньше, чем трезвучий: 210:6=35.

Можно использовать формулу для числа сочетаний:

в) По существу эта же задача, что и в пункте б). Только выбрать нужно (без учёта порядка) 2 ноты из 6: ведь нота соль уже фиксирована. Итак, .

г) Для краткости пронумеруем клавиши по порядку:1,2,3,4,5,6,7 и проведём перебор случаев.

Пусть «меньшая» выбранная клавиша – это 2. Перечислим поочередно все подходящие аккорды: (2,4,6),(2,4,7),(2,5,7). Всего 3 аккорда.

Пусть «меньшая» выбранная клавиша – это 3. Тогда возможен только аккорд (3,5,7). Складывая все варианты, получаем, что возможны 10 аккордов без подряд идущих нот.

Задача№2: Из 20 вопросов к экзамену ученик 12 выучил, 5 совсем не смотрел, а в остальных что-то знает, а что-то нет. На экзамене в билете будет три вопроса.

а) Найти количество возможных вариантов билета.

б) Сколько из них тех, в которых ученик знает ответы на все вопросы?

в) Сколько из них тех, в которых есть вопросы всех трех типов?

г) Сколько из них тех, в которых ученик выучил большинство ответов на все вопросы?

Решение: а) Хотя в реальном экзаменационном билете вопросы могут идти в разном порядке, но для сдающего экзамен порядок вопросов не важен. Значит, есть всего  вариантов билета: именно столькими способами 3 вопроса можно выбрать из имеющихся 20.

б) Тут уже выбор происходит только из тех 12 вопросов, которые выучил ученик. Значит, всего  вариантов билета, в котором ответы на все три вопроса выучены.

в) Один из 12 выученных вопросов можно выбрать двенадцатью способами. Один из пяти неизвестных вопросов – пятью способами. Один из трех частично выученных – тремя способами. По правилу умножения получается 12·5·3=180 билетов.

г) Большинство из трех – это или 3, или2 выученных вопроса. Первый случай уже разобран в пункте б), . Два вопроса из 12 выученных можно выбрать  способами. Один вопрос из 8 оставшихся – восемью способами. По правилу умножения получается 8·66=528. Значит, всего получится 220+528=748 билетов, в которых выучено большинство ответов на вопросы.

Задача№3: За четверть в классе прошли 5 тем по алгебре. Для подготовки к контрольной работе составлено по 10 задач к каждой теме. На контрольной будет по одной задаче из каждой темы. Ученик умеет решать только по 8 задач в каждой теме. Найти: а) общее число всех вариантов контрольной работы;

б) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число тех вариантов, в которых ученик ничего не может решить;

г) число тех вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи , кроме первой.

Решение: Представим, что есть 5 листков. На каждом по 10 задач, из которых и будет составлена контрольная. На каждом листке ученик отметил те 8 задач, которые умеет решать.

а) Мы предполагаем, что при составлении контрольной выбор по одной задаче из каждого листка будет проводиться независимым образом (в противном случае вряд ли эту задачу можно решить). Значит, к пяти испытаниям – выборам пяти задач – применимо правило умножения. Получаем ответ: 10·10·10·10·10=100 000.

б) Рассуждение аналогично, только на каждом из листков выбор производится из восьми отмеченных задач. По правилу умножения получаем ответ: 8·8·8·8·8=215=32768.

в) Рассуждение аналогично, только на каждом из листков выбор производится из двух задач, которые ученик не может решить. По правилу умножения получаем ответ: 2·2·2·2·2=32.

г) В этом задании несколько смешаны задания пунктов б) и в). На первом листке выбор производится из двух задач, которые ученик не смог решить, а на остальных четырех листках – из восьми отмеченных задач. По правилу умножения получаем ответ: 2·8·8·8·8=213=8192.

Задача№4: Встретились несколько человек и стали здороваться друг с другом за руку. Рукопожатий было от 60 до 70. Сколько всего встретилось  человек, если известно, что:

а) каждый здоровался с каждым;

б) только один человек не здоровался ни с кем;

в) только двое не поздоровались между собой;

г) четверо поздоровались только между собой и все остальные поздоровались только между собой?

Решение: а) Рукопожатие – выбор двух человек из n данных. Порядок при этом не важен. Значит, если каждый поздоровался с каждым, то получится  рукопожатий. Можно, конечно, решать два квадратных неравенства  . Но проще подобрать натуральное n, при котором верно двойное неравенство. Вообще числа   образуют такую последовательность:

1, 3, 6, 10 ,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,…. Только одно из них (66) удовлетворяет нужному неравенству. Это происходит при n=12.

б) Тут можно применить рассуждения пункта а) ко всем, кто вообще здоровался. Их будет 12 человек. Ну и еще один, который «не дружит» ни с кем. Ответ:13.

в)  Здесь получается неравенство . Значит, n=12, как и в пункте а).

г) В подгруппе из 4 человек было 6 рукопожатий. Значит, среди оставшихся k=n-4 было от 54 до 64 рукопожатий, т.е. , k=11. Всего было 15 человек.

Задача№5: В оперном театре 10 певцов и 8 певиц, а в хоре по пьесе 5 мужских и 3 женских партий.

а) Сколько существует различных составов хора?

б) То же, но если известно, что певцы А и Б ни за что не будут петь вместе?

в) То же, но если известно, что певец А будет петь тогда и только тогда, когда будет петь певица В?

г) То же, если 6 певцов накануне сорвали голос на футболе и одной певице придется петь мужскую партию.

Решение: а) Тут предполагается, что выбор певцов и выбор певиц происходит независимым друг от друга способом. Из 10 певцов можно ровно способами выбрать 5 хористов: ведь порядок тут неважен. Аналогично , из 8 певиц можно ровно  способами выбрать трех хористок. По правилу умножения получаем ответ: 252·56=14 112.

 б) Из ответа в пункте а) следует вычесть число тех составов хора, в которые входят и певец А, и певец Б. Раз они уже вошли в состав хора, то из оставшихся 8 певцов надо выбрать трех. Это можно сделать ровно  способами. С певицами по сравнению с пунктом а) ничего не изменилось. По правилу умножения получаем ответ: 14 112-562=14 112-3136=10 976.

 в) Возможны две ситуации: певица В поет или не поет в хоре. В первом случае из оставшихся семи певиц надо выбрать двух. Это можно сделать ровно С27=21 способом. В таком случае в хоре будет и певец А, из оставшихся девяти певцов надо выбрать четырех. Это можно сделать ровно С49=126 способами. Значит, тут есть 126·21 составов хора. Если же певица В не поет в хоре, то есть ровно С37=35 способов выбора певиц. В таком случае не будет петь и А, и есть ровно С59=С49=126 способов выбора из оставшихся девяти певцов и, следовательно, 126·21+126·35=126·56=7056 вариантов – ровно половина из всех возможных.

 г) Так как осталось только 4 певца, то всем им придется петь: тут есть единственный вариант выбора. Одну певицу, заменяющую певца, можно выбрать восемью способами, а из оставшихся семи певиц можно ровно С37=35 способами выбрать трех хористок. По правилу умножения получаем ответ: 8·35=280.

Урок №5

Тема: Урок – практикум по теме «Комбинаторика»

Цели: проверить умение решать простейшие комбинаторные задачи различных видов.

Ход урока:

1. Проверка домашнего задания (например, разбор решения на доске по усмотрению учителя)
2. Устный счет.

Контрольные вопросы:

• что такое комбинаторика;
• правило суммы и произведения;
• что такое размещение;
• как вычислить размещение m элементов из n;
• что такое перестановка;
• как вычислить число перестановок n предметов;
• сочетания и некоторые свойства сочетаний.

Задача1: Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек?

Решение: {Вася,Петя}≠{Петя,Вася} – одно и тоже. Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два.

Задача2: Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями?

Решение: {Вася,Петя}≠{Петя,Вася} – разные обмены. Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два.

3. Практикум. Для домашнего задания можно выбрать задачи другого варианта.

№1Решите задачу: (I) Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 6,7,8,9,0 (цифры в одном числе не должны повторяться)?

(II) Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4, если цифры в одном числе не повторяются?

№2Вычислите:

I вариант                                                 II вариант

а) С68·Р2;                                              а) С710·Р3;

б)  ;                                     б) ;

№3Решите задачу: (I) Сколькими способами из 7 членов президиума собрания можно выбрать председателя, его заместителя и секретаря?

(II) Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков?

№4Решите задачу: (I) Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно составить стартовую шестерку?

(II) Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

№5Решите задачу: (I) Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «комбинаторика»?

(II) Сколько различных перестановок можно образовать из букв слова «абракадабра»?

№6Решите уравнение:

I вариант                                                   II вариант

А5х=336·Сх-5х-2                                                              12·Сх-1х+3=55·А2х+1

Ответы:

№1(I) 1 способ: 1 цифра выбирается 4 способами, а остальные: 4 способами; 3 способами; 2 способами; 1 способом.4·4·3·2·1=96; 2 способ: 4·А34=4·4!=96.

(II) 1 способ: 4·4·3=48; 2 способ: : 4·А24=4·=4·3·4=48.

№2

I вариант                                                   II вариант

а) ;                            а) ;

б) ;    б) ;

№3 (I) ;  

(II) ;

№4 (I) ;

(II) ;

№5 (I)    Всего букв – 13.                                      (II) Всего букв – 11.

«о» - два раза                                         «а» - 5 раз

«к» - два раза                                         «б» - 2 раза

«и» - два раза                                         «р» - 2 раза.

«а» - два раза.

;                     ;

№6 (I)

                                                                                                   х1 – не подходит                         

Ответ: 8.

(II)

                                х2 – не подходит;

Ответ: 8.

Нормы оценивания: 3  задания – «3»                                        

4 задания – «4»                        

5 заданий – «5»                        

Урок №1

Тема: Понятие действительного числа. Множества.

Цель: Обобщить и систематизировать знания учащихся о числовых множествах: натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных числах. Дать понятие множества, элемент множества, способы задания и классификацию множеств, познакомить с операциями над множествами и изображениями множеств.

Развивать логическое мышление, системный подход к изучению математических дисциплин.

Воспитывать интерес к изучению предмета математики, «вкус» к самостоятельному исследованию и познанию.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний.

Учитель: Сегодня на уроке мы будем говорить о числе. Великий Пифагор в свое время утверждал: « Мир построен на силе числа». Мы не можем не доверять великому математику и мыслителю, но все-таки попытаемся выяснить: что заставило Пифагора отвести такую большую роль числу?

- Вспомним, что мы знаем о числах и их обозначениях?

Учащиеся вспоминают определения натуральных, целых, отрицательных, дробных числах и находят соответствие в их обозначениях.

Ответ:

В математике удобно использовать графическую иллюстрацию множества чисел, принятую называть кругами Эйлера.

Эйлеровы круги – принятый в логике способ моделирования, наглядного изображения отношений между объемами понятий с помощью кругов, предложенный знаменитым математиком Л.Эйлером (1707-1783).

3. Изучение нового материала.

Множество является первичным понятием математики ( как «точка», «прямая» или «плоскость» в геометрии) и потому не определяется. Однако его можно представить как совокупность некоторых объектов (предметов), объединенных по определенному общему признаку. Объекты, из которых состоит множество, называют элементами множества.

Пример: а) множество – аквариум с элементами – аквариумные рыбки; б) множество цифр десятичной нумерации (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) и т.д.

Для обозначения множества используют большие латинские буквы (А, В, С). Задать множество можно одним из следующих способов:

1. перечислением всех его элементов в фигурных скобках: А ={5;4;7};
2. описанием общего свойства его элементов: Х – множество корней квадратного уравнения: х2+2х=0.

По количеству элементов множества бывают конечными (количество элементов можно указать), бесконечными (невозможно указать количество элементов) и пустыми (обозначается символом Ø).

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также и элементом множества А.

Обозначение: В.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Пример: Даны четыре множества: А={5,4,7},К={7,5},В={4,3},С=Ø.

Множества А и В называются равными, если они состоят соответственно из одинаковых элементов.

Обозначение: А=В.

Над множествами можно выполнять определенные операции. Рассмотрим основные из них:

Пересечением двух множеств М и N называется множество G, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые содержаться и в множестве М, и в множестве N.

Обозначение: .

Пример: Рассмотрим следующие четыре множества: А={5,4,7},К={7,5},L={2,3},D={7,9}.

A;  Ø; .

Объединением двух множеств М и N называется множество G , состоящее из всех тех и только тех элементов, которые содержаться либо в множестве М, либо в множестве N, либо в обоих множествах М и N.

Обозначение: .

Пример: а) Рассмотрим множества К={7,5}, D={7,9},Т={7,5,9}. Найдем объединение . Как видим, .

Разностью двух множеств М и N называется множество G, состоящее из  всех тех и только тех элементов, которые содержатся в множестве М, но не содержаться в множестве N.

Обозначение: G=М\N.

Пример: Даны множества: А={5,4,7},К={7,5},L={2,3},D={7,9},В={4},С={5}.

а) Найдем А\K={5,4,7}\{7,5}={4}=В. Аналогично, б) А\A=Ø; в) K\L=K; г) K\D=C;

Если требуется вычислить количество элементов в объединении двух множеств, то здесь необходимо применить одно из двух правил суммы: 

а) правило суммы для двух непересекающихся (не имеющих общих элементов) множеств:

Если множество М содержит а элементов (обозначение: n(M)=a), а множество N – b элементов и эти множества не пересекаются (т.е.Ø), то объединение множеств  содержит a+b элементов: . (1.1)

б) правило суммы для двух пересекающихся множеств:

Если множества М и N пересекаются, то число элементов их объединения равно сумме числа элементов в каждом из них, уменьшенной на число элементов в пересечении этих множеств: .  (1.2)

Пример: а) Рассмотрим два непересекающихся множества: А={5,4,7}, L={2,3}. Здесь n(A)=3,n(L)=2. , по формуле (1.1) ;

б) Для двух пересекающихся множеств:  А={5,4,7}, D={7,9}. Найдем . Здесь n(A)=3;n(D)=2;. По определению суммы: По формуле (1.2):

Правило умножения:

Пусть даны два конечных множества А и В, множество А содержит μ элементов, множество В – v элементов. Число различных пар, которые можно составить, взяв по одному из каждого множества, равно произведению μv.

Пример: А={эклер, трубочка с кремом}, В={сок яблочный, сок грушевый, сок апельсиновый}. Всевозможные пары «сок – пирожное» найдем с помощью таблицы, в которой, для краткости, пирожные обозначены э и т, а соки – я, г и а соответственно.

Здесь μ=n(A)=2;v=n(B)=3. Из таблицы видно, что число пар равно  μv=2*3=6.

При решении задач с множествами очень удобно использовать графические иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера – Венна. Множество изображается как часть плоскости, ограниченная некоторым замкнутым контуром.

На рисунке заштрихованные фигуры иллюстрируют, соответственно, объединение, пересечение и разность двух множеств.

Пример: Изобразить с помощью диаграмм Эйлера – Венна множества А, В и С, если: а)  б)  в)

Решение:

Конечное множество называется упорядоченным, если существует заданный порядок его элементов. Для обозначения таких множеств будем использовать круглые скобки.

Два конечных упорядоченных множества считаются равными, если они состоят соответственно из одинаковых  элементов, расположенных в одном и том же порядке.

Пример: а) Р=(сержант, капитан, майор, полковник, генерал);

б)  А=(4,5,2), В=(4,5,2), С=(5,4,2). Здесь: А=В, но А≠С.

4. Итог урока.

Урок №2

Тема: Понятие действительного числа. Множества.

Цель: Обобщить и систематизировать знания учащихся о числовых множествах: натуральных, целых, рациональных, иррациональных и действительных числах. Дать понятие множества, элемент множества, способы задания и классификацию множеств, познакомить с операциями над множествами и изображениями множеств.

Развивать логическое мышление, системный подход к изучению математических дисциплин.

Воспитывать интерес к изучению предмета математики, «вкус» к самостоятельному исследованию и познанию.

Ход урока:

1. Организационный момент.

II. Устно:

Задание№1: По указанному заданию множества дать его словесное описание:

А) {0;2;4;6;8} – множество четных цифр;

Б) {10;15;20;...;90;95} – множество всех двузначных чисел, кратных 5

В) {1;8;27;64;125;...} – множество всех кубов натуральных чисел.

Задание№2 Верно ли, что:

 - нет;   - да;  {x|x²+2x­3=0} – да;   1{x|>30} – нет

Задание№3 На рисунке изображены четыре плоские фигуры: круг А, прямоугольник В,  треугольник С, овал Д.

Верно ли:

Анет;  - да;  - да; - да;  - нет;  - нет;

Задание№4 Дано: А={n,e,p,a,c,д,л,н,и}; В={р,е,ф,о,м,и,в,а,н}. Найти: А

Ответ: .

III. Закрепление материала.

Задача№1

Перечислите все элементы множества А, являющегося подмножеством множества натуральных чисел и состоящего из чисел, кратных 3 и меньших 59.

Ответ: А={3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57}.

Задача№2

Создайте множество К, элементами которого будут имена всех учеников вашего класса. Дано множество V={Рома, Саша, Дима, Настя, Женя, Света, Юля, Ваня}. Найдите \К.

Задача№3

Указать все подмножества множества Е=В\А, если:

а) А={б,л,е,ф}, В={к,л,у,б};

Ответ: а) {Ø}

Решение: а) Разность Е=В\А={к,л,у,б}\{б,л,е,ф}={к,у}. Перебором находим все подмножества (включая пустое и само множество Е).

Задача№4

Пусть А={x},F={y}. Найти количество элементов в множествах Е=А\F,D=F\A,C=AF,

K=AF, если а) ;   ; (иначе, х – все натуральные числа, меньшие 7, y – все числа расширенного натурального ряда (ряд натуральных чисел с приписанным в нулем в начале ряда), не больше 8).

Ответ: а) n(E)=0,n(D)=3,n(C)=9,n(K)=6;

Решение: а) Раскроем множества А и F: А={1,2,3,4,5,6}, F={0,1,2,3,4,5,6,7,8}; из условия Е=А\F=Ø; D=F\A={0,7,8}; С=={0,1,2,3,4,5,6,7,8}; К=АF={1,2,3,4,5,6}; Непосредственно, из раскрытых множеств имеем: n(E)=0,n(D)=3,n(C)=9,n(K)=6.

Задача№5

Изобразить с помощью диаграмм Эйлера – Венна множества А.В.С, если: а)

А\B=Ø;  б) Ø;  в) Ø,  Ø, Ø.

Ответ:

Решение: а) включение соответствует положению контура А внутри контура С; включение соответствует положению контура В внутри контура С; разность А\B=Ø означает, что нет участка А, не принадлежащего В, т.е. все точки фигуры А принадлежат также множеству В; б) контуры А и В лежат внутри контура С, но не пересекаются между собой; в) все три контура А, В и С попарно не пересекаются.

IV. Итог урока. Домашнее задание

Задача№6

Указать все подмножества множества Е=В\А, если:

а) А={4,7,1,2}, В={7,3,2};

б) А={/,\,­,=,+}, В={=,+}.

Ответ:

а) Е={7,3,2}\{4,7,1,2}={3}. Подмножества: {3},{Ø}.

б) Е={=,+}\{/,\,­,=,+}=Ø. Подмножества: {Ø}.

Задача№7

Пусть А={x},F={y}. Найти количество элементов в множествах Е=А\F,D=F\A,C=AF,

K=AF, если а)   y – пустое множество, {y}=Ø.

Решение: Раскроем множества А и F:A={-3,-2,-1,0,1,2,3}, F=Ø. Из условия: Е=А\F= {-3,-2,-1,0,1,2,3}, D=F\A=Ø; С=АF={-3,-2,-1,0,1,2,3}; К=АF=Ø. Непосредственно, из раскрытых множеств имеем: n(E)=7,n(D)=0,n(C)=7,n(K)=0.

Задача№8

П – множество прямоугольников, Р – множество ромбов. Какие фигуры являются элементами множества N=ПР?

Ответ: квадраты.

Решение:

1. Прямоугольник – это параллелограмм с прямыми углами.
2. Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Пересечение – параллелограмм с равными между собой сторонами и прямыми углами, а это  - квадрат.

Задача№9

Пять стрелков стреляют по трем мишеням. Сколько всего сделано выстрелов, если каждый выстрелил по каждой мишени один раз?

Ответ: 15.

Решение: Пусть А – множество стрелков, m(A)=5; В – множество мишеней, n(B)=3; всего выстрелов mn=5·3=15.