Комбинаторные задачи
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Комбинаторные задачи.

Цель урока: познакомить учащихся с разделом математики – комбинаторикой. Показать решение некоторых комбинаторных задач.

Ход урока: объяснение материала; закрепление материала, решение задач.

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитать число комбинаций.

Такие задачи называются комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматриваются эти задачи, называется комбинаторикой.

Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinate, которое означает «соединять», «сочетать».

Пример1.

На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбирать?

Решение.

Всего вариантов столько же, сколько клеток в таблице.

Ответ:     12.

Однако составлять такие таблицы для каждой задачи, занимает время.

А чтобы решить такую задачу быстрее, можно воспользоваться правилом умножения.

Пример 2.

Несколько стран в качестве символа своего государства решили использовать флаг в виде трех горизонтальных полос одинаковых по ширине, но разных по цвету: белый, синий, красный.

Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой, отличный от других, флаг?

Решение будем искать с помощью «дерева возможных вариантов».

Посмотрим на левую «веточку», идущую от «флага», пусть верхняя полоса – белого цвета, тогда средняя полоса может быть синей или красной, а нижняя – соответственно, красной или синей. Получилось два варианта цветов полос флага: белая, синяя, красная и белая, красная, синяя.

Пусть теперь верхняя полоса – синего цвета, это вторая «веточка».

Тогда средняя полоса может быть белой или красной, а нижняя - соответственно, красной или белой. Получилось еще два варианта цветов полос: синяя, белая, красная и синяя, красная, белая.

Аналогично рассматривается случай для верхней полосы красного цвета.

Получается еще два варианта: красная, белая, синяя и красная, синяя, белая.

Всего 6 комбинаций.

Ответ: 6.

Построенная схема действительно напоминает дерево, только перевернутое. Поэтому ее называют «деревом возможных вариантов».

А вот так выглядит «дерево возможных вариантов» для такого примера 3:

Пример 3.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5 и 7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?

Ответ: 24.

Однако многие задачи можно решить быстрее и легче. Для этого надо  знать простейшие комбинации, которые можно составлять из элементов конечного множества.

И одна из первых таких комбинаций  - перестановки.

Пример 4.

Имеются три книги. Обозначим их буквами a ,b и c.Эти книги нужно расставить на полке по-разному:

а b с,  а с b,  b а с,  b с а, с а b, с b а.

Каждое из этих расположений и называют перестановкой из трех элементов.

Например:                   3! = ,    1! = 1.

Поэтому задачу с книгами можно решить так:

Р3=.

Задача №1.

Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Решение:                  

  Р4 =

Ответ: 24.

Задача №2.

Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из чисел 0,2, 4.6?

Решение:  из цифр 0,2.4.6 можно составить Р4 перестановок. Из этого числа нужно исключить те перестановки, которые начинаются с 0.

Число таких перестановок Р3. Значит искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0,2,4,6 равно:

          Р4 – Р3= 4!-3!=                   

Ответ: 18.

Задача №3.

Имеются 9 различных книг, четыре из которых учебники. Сколькими способами можно расставить книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение: сначала будем рассматривать учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать Р6 способами.

И в каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р4 перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг равно произведению:    Р6*Р4=   

Ответ: 17280.

 Задача № 4.

В расписании на понедельник шесть уроков: алгебра, геометрия, биология, история, физкультура, химия. Сколькими способами можно расставить расписание уроков на этот день так, чтобы два урока математики стояли рядом?

Решение:            Р6* Р2= 

Ответ: 1440. 

Вторым видом комбинаций  являются размещения.

Пусть имеются 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. В пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора.

и т.д. Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещениями из четырех элементов по три и обозначают А

Из составленной таблицы видно, что таких комбинаций 24.

Задача 5.

Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было 4 различных предмета.

Решение:         А(способов).

Задача 6.

На странице альбома 6 свободных мест для фотографий. Сколькими способами можно вложить в свободные места

а) 4 фотографии;

б) 6 фотографий.

Решение:  а) А

                  б) А

Задача 7.

Сколько трехзначных чисел (без повторения цифр в записи числа) можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5 и 6?

Решение: если среди семи цифр нет нуля, то число трехзначных чисел которые можно составить из этих цифр равно числу размещений из 7 элементов по 3 А. Однако, среди данных семи чисел есть цифра 0, с которой не может начинаться трехзначное число. Поэтому из размещений из 7 элементов по 3 нужно исключить те, у которых первым элементом является цифра 0.Их число равно числу размещений из 6 элементов по 2.

Значит, искомое число равно: А

Задача 8.

Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:

а) не встречаются цифры 6 и 7;

б) цифра 8 является последней?

Решение: а) А

                 б) А 

Задача 9.

Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры различные и первая цифра отлична от 0?

Решение: А

Пример 5.

Имеется 5 гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, e. Требуется составить букет из трех гвоздик.

Выясним, какие букеты можно составить.

Если в букет входит гвоздика a, то можно составить такие букеты:

abc, abd, abc, acd, ace, adc.

Если в букет не входит гвоздика a, а входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:

 bcd, bce, bdc.

Наконец, если в букет не входит ни гвоздика a,гвоздика b, то можно составить букет

cde.

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти.

Говорят, что составлены всевозможные сочетания из 5-ти элементов по 3.

В отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы.

Поэтому пример про гвоздики можно быстро решить так:

               С

Задача 10.

Из 15 человек туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

Решение:       С

Задача 11.

Из вазы с фруктами, где лежат 9 яблок и 6 груш, нужно выбрать 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: 3 яблока из 9-ти можно выбрать С   способами. При каждом выборе яблок груши можно выбрать С способами. Поэтому по правилу умножения выбор фруктов можно сделать С способами.

Решение:    С =   

Задачи для закрепления.

Задача I.

В классе 7 человек успешно занимаются математикой.

Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение:        С

Задача II.

В лаборатории, в которой работают заведующий и 10 сотрудников, надо отправить в командировку 5 человек.

 Сколькими способами это можно сделать, если:

а) заведующий лабораторией должен ехать в командировку;

б) заведующий должен остаться.

Решение:      

 а) С   

 б)С

Задача III.

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории нужно выделить 4 мальчика и три девочки.

Сколькими способами это можно сделать?

Решение:  С400400.

Задача IV.

В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала?

Решение: С= 720.