применение производной к исследованию функции (подготовка к егэ)
презентация к уроку по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. Л . Эйлер Применение производной к исследованию функций (готовимся к экзамену)

Слайд 2

Вспомним. ПРОИЗВОДНАЯ , скорость изменения величины математической функции относительно изменений независимой переменной. Производной функции f ( x ) в точке х 0 называется число, к которому стремится отношение при . Смысл производной. геометрический физический (механический) угловой коэффициент касательной к графику функции мгновенная скорость, т. е. скорость в данный момент времени

Слайд 3

« ЕГЭ 3000 задач » под редакцией А. Л. Семенова, И. В. Ященко. №1678 Прямая у = – 4х – 8 является касательной к графику функции у = х 3 – 3х 2 – х – 9 . Найти абсциссу точки касания. Так как к графику функции проведена касательная, то ее угловой коэффициент k = f ꞌ (x 0 ) . Решение: 1. Найдем производную данной функции у ꞌ (x) = 3х 2 – 6х – 1 2. Так как касательная к графику данной функции параллельна прямой у = – 4х – 8 , то k = – 4 3. Составим и решим уравнение 3х 2 – 6х – 1 = – 4 х = 1 Так как касательная к графику функции параллельна прямой у = – 4х – 8 , то ее угловой коэффициент k = – 4 . Ответ: 1

Слайд 4

№1679 На рисунке изображен график производной функции f ( х ), определенной на интервале ( - 9; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f ( х ) параллельна прямой у = 2х + 5 или совпадает с ней. Решение: Так как к графику функции проведена касательная, то ее угловой коэффициент , то есть Так как касательная к графику функции параллельна прямой у = 2х + 5 , то ее угловой коэффициент . k = 2 k = f ꞌ (x 0 ) f ꞌ (x 0 ) = 2 Так как дан график производной функции f ( х ), то надо узнать, сколько точек пересечения имеет данный график с прямой у = 2 . у = 2 Ответ: 4

Слайд 5

№1683 На рисунке изображен график производной функции у = f ( х ), определенной на интервале ( - 3; 8) . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = 1 . Решение: Прямая у = 1 параллельна оси абсцисс. Значит, надо найти количество точек графика, в которых касательная параллельна оси абсцисс . Ответ: 7 у = 1

Слайд 6

№1723 На рисунке изображен график производной функции у = f ( х ), определенной на интервале ( - 8; 4) . В какой точке отрезка [ - 5; - 1 ] функция Принимает наибольшее значение? Решение: Рассмотрим функцию на отрезке [ - 5; - 1 ] . -5 -1 На данном отрезке график располагается в верхней полуплоскости, значит . f ꞌ (x) > 0 Следовательно, функция на данном промежутке . возрастает Значит, наименьшее значение функция принимает в точке , х = -5 а наибольшее значение функция принимает в точке . х = -1 Ответ: - 1

Слайд 7

№1741 На рисунке изображен график производной функции f ( х ), определенной на интервале ( - 2; 18) . Найдите количество точек минимума функции f ( х ) на отрезке [ 0; 15 ] . Решение: Рассмотрим функцию на отрезке [ 0; 15 ] . Так как дан график производной функции f ( х ), то точки минимума это точки, в которых производная переходит с «–» на «+» . Значит эти точки лежат на оси абсцисс , а график в этих точках переходит из нижней полуплоскости в верхнюю . Ответ: 2

Слайд 8

№1741 На рисунке изображен график производной функции f ( х ), определенной на интервале ( - 10; 8) . Найдите количество точек экстремума функции f ( х ) на отрезке [ - 9; 7 ] . Решение: Точки экстремума это . В точках экстремума производная . Так как дан график производной функции f ( х ), то точки экстремума лежат на оси абсцисс . Рассмотрим функцию на отрезке [ -9; 7 ] . На этом отрезке точки лежат на оси абсцисс . 4 Ответ: 4 точки максимума и минимума меняет знак

Слайд 9

№1772 На рисунке изображен график производной функции f ( х ), определенной на интервале ( - 3; 11) . Найдите промежутки убывания функции f ( х ). В ответе укажите длину наибольшего из них. Решение: Функция убывает, если производная . f ꞌ (x) < 0 Рассмотрим промежутки, на которых производная отрицательна . Длина первого промежутка . 4 ед. отр . Длина второго промежутка . 4 ед. отр . Ответ: 4

Слайд 10

№1864 На рисунке изображен график функции у = f ( х ) и касательная к нему в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции в точке х 0 . Решение: Значение производной в заданной точке это угловой коэффициент касательной к графику функции, т. е. тангенс угла наклона между касательной к графику и положительным направлением оси абсцисс . Чтобы найти тангенс угла наклона касательной, надо рассмотреть прямоугольный треугольник, в который входит этот угол. В А С Ответ: 0,75

Слайд 11

№1939 Материальная точка М начинает движение из точки А и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки А до точки М со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат – расстояние s в метрах. Определите, сколько раз за время движения скорость точки М обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте). Решение: Скорость материальной точки в данный момент времени это значение производной данной функции в данной точке . Производная данной функции равна нулю, если касательная к графику данной функции в данной точке параллельна оси абсцисс . Значит, надо найти количество точек, в которых касательная к графику данной функции параллельна оси абсцисс . Ответ: 6

Слайд 12

№1942 Функция у = f ( х ), определена на интервале ( - 10; 1) . На рисунке изображен график функции у = f ( х ). Найдите среди точек х 1 , х 2 , … х 7 те точки, в которых производная функции равна нулю. В ответ запишите количество найденных точек. Решение: Так как дан график функции, то производная данной функции равна нулю в тех точках, в которых касательная к графику функции параллельна оси абсцисс . Ответ: 3

Слайд 13

№1943 На рисунке изображен график функции у = f ( х ) и касательная к этому графику, проведенная в точке х 0 . Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции у = 4 f ( х ) + 7 в точке х 0 . Решение: Значение производной исходной функции в точке х 0 равно угловому коэффициенту касательной Искомая производная больше производной исходной функции в 4 раза. Значит, Значит, искомая производная равна 2 Ответ: 2