Вероятностно-статистический раздел на уроках математики
статья по алгебре (5 класс) по теме

Вероятностно-статистический раздел

на уроках математики

Смирнова Н.В., учитель математики

г.Череповец, МОУ «Средняя

общеобразовательная школа №18»

Уже сегодня необходимо знать, какие требования к образованию предъявляют стандарты второго поколения, и использовать новые подходы в работе.

Математическое образование является обязательной  и неотъемлемой частью общего образования на всех ступенях школы. Обучение математике в основной школе направлено на достижение следующих целей:

1) в направлении личностного развития:

• формирование представлений о математике как части общечеловеческой культуры, о значимости математики в развитии цивилизации и современного общества;
• развитие логического и критического мышления, культуры речи, способности к умственному эксперименту;
• формирование интеллектуальной честности и объективности, способности к преодолению мыслительных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;
• воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность принимать самостоятельные решения;
• формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе;
• развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;

2) в метапредметном направлении:

• развитие представлений о математике как форме описания и методе познания действительности, создание условий для приобретения первоначального опыта математического моделирования;
• формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различных сфер человеческой деятельности;

3) в предметном направлении:

• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;
• создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

Все выше перечисленные цели в основной школе достигаются при изучении раздела «Вероятность и статистика».

Раздел «Вероятность и статистика» - обязательный компонент школьного образования, усиливающий его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим прежде всего для формирования у обучающихся функциональной грамотности – умений воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, проводить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит обучающимся рассматривать случаи, осуществлять перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

При изучении статистики и вероятности расширяются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

В силу новизны для школы вероятностно-статистического материала и отсутствия методических традиций возможна вариативность при его структурировании. Начало изучения соответствующего материала может быть отнесено и к 5-6, и к 7-9 классам. Кроме того его изложение возможно как в рамках курса алгебры, так и в виде отдельного модуля. Последний вариант может быть реализован только при условии увеличения числа часов на математику по сравнению с инвариантной частью Базисного учебного (образовательного) плана.

С 2006 году наша школа перешла на новый базисный план. Преподавание математики мы ведем по учебно-методическому комплекту Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина. Решением МО учителей математики было решено с 2008/09 учебного года с 5 и 7 классов начать работать по этому учебно-методическому комплексу. Сейчас это соответственно 8 и 10 классы. Таким образом, мы смогли проработать весь материал учебно-методического комплекса на практике. Изучение раздела «Вероятность и статистика» мы начинаем с 5 класса.

В 5-6 классах согласно стандартам второго поколения в программе по математике на изучение раздела «Описательная статистика. Вероятность. Комбинаторика» отводится 20 часов.

Этот возраст выбран для первоначального  знакомства с данным материалом не случайно: многочисленные психолого-педагогические исследования, подтвержденные мировым опытом, убедительно свидетельствуют, что период от 11 до 13 лет – это наиболее благоприятный возрастной период для формирования начальных вероятностных представлений. Обучающиеся знакомятся с приемом решения комбинаторных задач путем перебора возможных вариантов, в том числе с помощью дерева возможных вариантов. Материал органично включен в курс, изложен с акцентом на практическое применение к реальным ситуациям. Кроме того, формируется умение работать с информацией, заданной таблицами и диаграммами, а также первоначальные представления о приемах сбора информации. Проводится содержательная подготовка к введению понятия вероятности на основе относительной частоты случайного события.

На комбинаторные задачи в 5 классе отводится 3 часа. Используется естественный и доступный детям этого возраста метод решения комбинаторных задач с помощью непосредственного перебора возможных вариантов (комбинаций). Этот метод целесообразен в тех случаях, когда число вариантов невелико. Решить комбинаторную задачу – это значит выписать все возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов и др., отвечающих условию задачи, или указать, сколько существует таких комбинаций. Цель данного материала состоит в том, чтобы в процессе решения системы задач обучающиеся встретились с необходимостью перебора различных по своей сути и составу комбинаций. Среди других способов предлагается осуществление перебора с помощью специальной схемы – дерева возможных вариантов. Построение дерева выполняется без использования линейки. После решения с обучающимися нескольких задач с помощью построения дерева, в дальнейшем выбор способа решения следует оставить  задачи за ними. Решение комбинаторных задач считается правильным и полным, если обучающийся предъявил все возможные варианты, каким бы способом решения он при этом не воспользовался. В содержание учебного материала включаем задачи на составления расписания для данного класса, составление меню в школьной столовой, на выборы старосты из классного актива и т.д. Уже с первого урока обучающиеся придумывают аналогичные задачи самостоятельно. Наиболее удачные задачи в дальнейшем включаем в проверочные работы с указанием автора.

На изучение темы «Таблицы и диаграммы» в 5 классе отводится 9 часов. Здесь основной целью является формирование первичных умений работать с информацией, представленной в форме таблиц и диаграмм. Наряду с этим у обучающихся формируется первоначальные представления о приемах сбора необходимых данных, предъявлении этих данных в компактной табличной форме и наглядном изображении в форме столбчатой диаграммы. Обучающиеся знакомятся с простейшими примерами опроса общественного мнения, иллюстрирующими основные этапы проведения социологических опросов. Особенностью материала является то, что в ней наряду с заданиями дидактического характера используются реальные данные, взятые из средств массовой информации. Предложенные в учебнике и тетраде-тренажере темы для опросов используются для организации проектной деятельности посильной для пятиклассников. При этом используется форма работы группы обучающихся над одной и той же проблемой. Участники такой группы самостоятельно распределяют работу, собирают нужные данные, представляют  их в удобной для интерпретации форме, делают выводы и предъявляют свои результаты классу. Важным в таком виде деятельности является формирование навыков работы в коллективе, воспитание ответственности перед «коллегами», выполняющими одно общее задание, формирование умения принимать верные решения и действовать в соответствии с общей задачей. Для некоторых наших пятиклассников такая работа стала способом получения более полной информацией об интересах одноклассников, улучшились отношения в классе, спланировали интересную внеклассную работу на следующий учебный год.

В 6 классе этот материал повторяется и углубляется. На его изучение отводится 8 часов. Здесь продолжается решение задач путем систематического перебора возможных вариантов. Однако при этом обучающиеся имеют дело с большим количеством элементов и в более сложных ситуациях. Они знакомятся с кодированием как способом представления информации, который позволяет упростить записи. Продвижением вперед является знакомство на содержательном уровне с комбинаторным правилом умножения. Задачи решаются как с опорой на зрительный образ, которым служит дерево возможных вариантов, изображенное на бумаге или представленное мысленно, так и с помощью только логических рассуждений.

Особенностью, принятой в данной методике, является статистический подход к понятию вероятности как наиболее наглядной, опирающейся на деятельность ученика и его опыт. Вероятность случайного события оценивается по его частоте, значение которой получено на основе экспериментальных данных, Этот подход требует реального проведения таких экспериментов в ходе учебного процесса. Причем для стабилизации частоты необходимо провести достаточно большую серию экспериментов. Обучающимся очень нравится самим проводить такие эксперименты, так как они вносят разнообразие при изучении математики и позволяют увидеть практическое применение полученных навыков в жизни. На данном этапе обучения продолжается проектная деятельность, с которой обучающиеся познакомились в 5 классе, но уже на новом материале. Поэтому хотя вопрос оценки вероятности по частоте будет рассматриваться в 7 классе, но в пропедевтическом плане знакомство обучающихся с технологией проведения экспериментов включено в 6 класс.

На данной стадии изучения темы главным является дать обучающимся представление о приемах проведения и форме записи результатов случайных экспериментов, а также об использовании полученных результатов для составления обоснованной оценки вероятности случайного события и сравнения вероятностей событий на качественном уровне.

При изучении этого материала используются флеш-демонстрации и тесты с электронного приложения, рабочие тетради на печатной основе, тетрадь-тренажер, тетрадь-экзаменатор, задачник-тренажер к учебникам Е.А.Бунимовича и др., материалы из Интернета,  газеты и т.д. Школьники видят тесную связь между математикой и жизнью. Учатся применять полученные знания.

В 7-9 классах  на изучение раздела «Описательная статистика» предусмотрено 10 часов, на раздел «Случайные события и вероятность» – 15 часов, а на раздел «Элементы комбинаторики» 10 часов.

В 7 классе получает дальнейшее развитие вероятностно-статистическая линия. На эту тему в 7 классе запланировано 10 часов. Здесь вводятся некоторые статистические характеристики ряда распределений: среднее арифметическое, мода, размах. Разнообразные по сюжетам упражнения позволяют обучающимся не только поупражняться в нахождении этих характеристик, но и увидеть сферу их практического применения, различные содержательные интерпретации. Решаются комбинаторные задачи: как методом полного перебора, так и на основе комбинаторного правила умножения; вводится формула для подсчета числа перестановок. Осознание способа решения комбинаторных задач по правилу умножения – основная учебная цель. Здесь это правило формулируется в явном виде и демонстрируются разнообразные ситуации, в которых оно применимо. Обучающимся опять предлагается придумывать свои ситуации (задачи), при решении которых используется правило умножения. Формируется представление о вероятности случайного события, причем для этого выбран статистический подход к понятию вероятности – через эксперимент со случайными исходами, дается геометрическое истолкование с помощью вероятностной шкалы. В качестве дополнительного материала рассматривается правило сложения вероятностей, т.е. сделан некоторый шаг от качественного подхода к рассмотрению понятия к его математическому описанию.

В 8 классе на тему «Вероятность и статистика» запланировано 9 часов. В ней вводится новая статистическая характеристика ряда распределений – медиана, повторяются понятия среднего арифметического, моды и размаха. Вводится классическое определение вероятности и рассматриваются геометрические вероятности.

В 9 классе завершается вероятностно-статистическая линия. Повторяются все статистические характеристики, различные понятия вероятности, отрабатываются решения комбинаторных задач. На это отведено 6 часов программы.

Математическое образование играет важную роль как в практической, так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная – с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Практическая полезность математики обусловлена тем, что ее предметом являются фундаментальные структуры реального мира: пространственные формы и количественные отношения – от простейших, усваиваемых в непосредственном опыте, до достаточно сложных, необходимых для развития научных и технологических идей. Без конкретных математических знаний затруднено понимание принципов устройства и использования современной техники, восприятие и интерпретация разнообразной социальной, экономической, политической информации, малоэффективна повседневная практическая деятельность. Каждому человеку в своей жизни приходится выполнять достаточно сложные расчеты, находить в справочниках нужные формулы и применять их, владеть практическими приемами геометрических измерений и построений, читать информацию, представленную в виде таблиц, диаграмм, графиков, понимать вероятностный характер случайных событий, составлять несложные алгоритмы и др.

Без базовой математической подготовки невозможно стать образованным современным человеком. В школе математика служит опорным предметом для изучения смежных дисциплин. В послешкольной жизни реальной необходимостью в наши дни является непрерывное образование, что требует полноценной базовой общеобразовательной подготовки, в том числе и математической. И наконец, все больше специальностей, где необходим высокий уровень образования, связано непосредственным применением математики (экономика, бизнес, финансы, физика, химия, техника, информатика, биология, психология и т.д.) Таким образом, расширяется круг школьников, для которых математика становится значимым предметом.

В заключение хотелось бы подчеркнуть, что к изучению данной темы надо подходить с некоторой осторожностью, не надо форсировать этот новый для нашей традиционной школы материал, который вписан в традиционное содержание курса и усиливает его прикладное значение. Пока обучающиеся не научатся применять изученный материал, не следует вводить новые термины и понятия.