Индивидуальный маршрут по теме «Степень с рациональным показателем» для 9 класса.
методическая разработка (алгебра, 9 класс) на тему

Индивидуальный маршрут по теме                                                        «Степень с рациональным показателем» для 9 класса.

Арифметический корень п-й степени.

1. Определение арифметического корня п-й степени.

Арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число в, которое при возведении в степень п дает число а.

Число п – называется показателем степени корня, число а –подкоренным выражением.

Обозначение:  п√ а = в, что означает по определению в п = а и в ≥ 0.

Пример. 1)  3√ 8 = 2, т.к. 2 3 = 8 и 2 ≥ 0;        2)   6√ 729 = 3, т.к. 3 6 = 729 и 3 ≥ 0.

      2. Свойства арифметического корня п-й степени:

1. п√ ав = п√ а п√ в.   2. (п√ а ) т = п√ а т .  3. п√ т√ а = п т√ а .  4. п√ а  = п√ а .

                                                                                                                  в      п√ в

3. Основные тождества:  (п√ а) п = а    и    п√ а п = а , если а ≥ 0 .

Образцы примеров.

1. 3√ 125 ∙ 8  = 3√  125 ∙ 3√ 8 = 3√ 53 ∙ 3√ 23 = 5 ∙ 2 = 10;
2. 5√ 2 ∙ 5√ 16 = 5√ 32 = 5√ 2 5  = 2;
3. 5√ 32 3 = (5√ 32 )3 = ( 5√ 2 5 )3 = 2 3 = 8;
4. 5√ 32  =  5√ 32  = 2  ;         3√ 54  = 3√ 27 = 3√ 33 = 3;

           243    5√ 243   3            3√ 2    

4. Степень с целым и дробным показателем.

 Рассмотрим степень а р, где р € Z.

1. Если р = 0, то по определению а0 = 1 ( при а # 0 ). Например, 5 0 = 1.
2. Если р < 0, то по определению ар = 1  ( при а # 0 ). Например, 5 - 2 = 1  ;  ( - 3 )- 1 = - 1

                                                                   а-р                                                   5 2                     3

3. Рассмотрим степень а р/q , где р – рациональное число. Выражение имеет в общем виде смысл только при а > 0.      q    Если а > 0, р – целое число, q – натуральное число, то по определению а р/q = q√ а р ; 0 q = 0. Например, 5 2/3 = 3√ 5 2.

4. Степень с рациональным показателем обладает теми же свойствами, что и степень с натуральным показателем, а именно если  а > 0, и р € Q, q € Q, то:

а р∙ а q  = а р + q ;  а р : а q  = а р – q ; ( а р ) q  = а р∙ q ; ( а / в )р = а р / в р ; ( а в )р = а р в р.

Образцы примеров с решениями:

1. Вычислить:     64 1/3 = 3√ 64 = 3√ 43 = 4;       121 -1/2 = √ 121 – 1  = √ 1  =  1  ;

                                                                                                                121   11

2. Упростить выражение:  6 ¼ ∙ 6 ¾  = 6 ¼ + ¾   = 6 4/4 = 6;   16 2/3 : 16 1/6 =  16 2/3-1/6 = 16 ½ = ( 2 4) ½  = 2 2 = 4;   25 2/3 =  ( 5 2 ) 2/3  = 5 4/3  = 3√ 5 4 = 5 3√ 5 ;   ( 27 / 64 ) 1/3  = ( ( 3/4)3 ) 1/3 =   ( 3/4)3 ∙1/3  = 3 / 4 .

5. Реши сам

1. Вычислить: 3 – 2  ;    27 2/3  ;    ( - 0,5 ) – 4 ;    100  - ½  .

2. Выполнить действия:  7 2/3 ∙ 7 1/3 ;   ( 1 / 9 ) – 3/8 :  ( 1 / 9 ) – 5/8 ;  

3. Упростить:  ( 2 у ¾ )4   ;     ( 2 ¾ ) 4 ∙ 2 2 ;        7 – 3  ∙ 7 6  ;   √ 121  +  2√ - 27  +  4√ 16 .

                                у – 2                                                 49

4. Проверь себя! На странице 50 из учебника Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразовательных учреждений / Ш.А.Алимов и др.