УПРАЖНЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ
методическая разработка (алгебра, 6 класс) по теме

УПРАЖНЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Важным этапом в развитии количественной оценки предметов окружающего нас мира является оценка, осуществляемая при помощи измерения. Вопросы измерения величин являются одними из самых принципиальных в школьном курсе геометрии и также одними из самых трудных для учащихся. К измерению геометрических величин относят: Измерение расстояний, длин кривых, углов, площадей поверхностей, объёмов пространственных фигур. Изучение этих тем проходит через весь курс школьной математики и служит как освоению теории, так и выработке практических умений и навыков.

Программа по математике в разделе «Требования к математической подготовке учащихся» указывает, что уровень обязательной подготовки учащихся 5-6 классов, помимо других, определяется требованием «владеть практическими навыками использования геометрических инструментов… для нахождения длин отрезков и величин предметов; уметь решать несложные задачи на вычисление геометрических величин» [11, с.8].

Формирование геометрических представлений учащихся возможно, в основном, только на уровне их измерительной деятельности, т.е. деятельности по решению задач измерения. Формирование геометрических представлений учащихся происходит в процессе решения задач всего курса геометрической подготовки учащихся 5-6 классов, а так же при выполнении лабораторных и практических работ. Для решения задач, связанных с измерениями, учащимся предлагается широкий набор инструментов: масштабная линейка, мерная лента, транспортир и др.

Овладение навыками измерения отрезков необходимо начинать с уяснения идеи измерения приёмов инструментальных измерений. Уяснить идею измерения – это значит добиться понимания, что значит измерить отрезок. Учащиеся должны понимать, что для измерения расстояний, т.е. для измерения отрезков, нужна определённая мера и что в разные времена и у разных народов были различные меры: шаг, ступня, фут, аршин, метр. Учащиеся должны понимать, что любой отрезок может быть выбран за линейную единицу меры. Измерить отрезок – значит, сравнить его с другим отрезком, который принят за единицу измерения. Из отрезков, равных выбранной линейной единице можно составить новые отрезки. Число, показывающее, из скольких линейных единиц и определённых долей линейной единицы состоит данный отрезок, называется длиной данного отрезка.

Измерительный навык предполагает овладение приёмами работы с измерительными инструментами. К 5 классу учащиеся уже имеют некоторый опыт измерений масштабной линейкой, рулеткой, метром. Все эти инструменты обеспечивают различную точность измерений. В программе по математике для 5-6 классов изучению геометрического материала отводится значительное место измерению геометрических величин. Значит, существует реальная возможность необходимость для обобщения, систематизации и совершенствования имеющихся у учащихся знаний и навыков в измерениях.

Измерительные работы в курсе математики сводятся к выполнению двух взаимно-обратных измерительных операций: измерение и построение заданного отрезка (отмеривание). Обе измерительные операции важны, формирование измерительных навыков происходит при выполнении обоих видов измерительных операций.

Во всех работах, посвященных исследованию роли измерительных умений и навыков в курсе математики 5-6 классов показано, что измерения способствуют или «открытию» новых соотношений, либо применению полученного ранее открытого при решении различных задач; формирование измерительных навыков происходит во взаимосвязи с формированием графических и вычислительных навыков.

Из всех задач, рассматриваемых при изучении геометрического материала, с измерениями связаны в основном конструктивные и расчётные задачи, при этом построение или отмеривание отрезка заданной длины является одним из основных операций при решении конструктивных задач.

Формирование измерительных навыков начинается с проведения обобщений, связанных с понятиями длины отрезка, площади плоской фигуры, объёма геометрического тела. Эти обобщения проводим при решении следующих упражнений.

2.3. Упражнения, направленные на развитие графической культуры

Характеристика заданий:

- задания на развитие тонкой моторики руки;

- задания на наблюдательность, внимательность и аккуратность;

- навыки работы с циркулем и линейкой.

Учимся чертить правильно.

1. Начертите по линейке и линии тетради несколько линий так, чтобы они не пересекались.

2.Возьмите угольник и обрисуйте его. Рядом повторите то же самое, не обрисовывая, а используя только одну сторону линейки.

3. Возьмите циркуль и начертите окружность

а) любого радиуса.

б) радиуса 2 см.

4.  

5. Начертите кусок орнамента в тетради и продлите его по всей длине страницы.

6. Придумайте соседу по парте орнамент и обменяйтесь рисунками.

7. Какая из фигур, приведенных на рисунке, лишняя? Почему?

1.2 Упражнения на развитие наглядно-образное мышление

Характеристика заданий:

-умение находить заданные простые геометрические фигуры разной величины и в разных положениях;

- подготовка к правильному обозначению геометрических фигур;

- развитие мысленных образов;

Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком

1. Попробуйте начертить каждую из предложенных фигур, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды.

2. Фигуру, показанную на рисунке, нужно обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и то же ребро дважды. Если допустить, что линии могут пересекаться, то задача решается просто. Решение весьма усложняется, если пересечение линий запрещено:

3. Фигуру, изображенную на рисунке, обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и тоже ребро дважды. Пересечение линий возможно:

4. На озере семь островов, которые соединены между собой мостами так, как показано на рисунке. На какой остров должен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер должен снять этих людей?

5. Возьмите лист бумаги и нанесите на него девять точек так. чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями не отрывая карандаш от бумаги:

6. Сколько треугольников на рисунке?

7. Найдите 27 треугольников в фигуре на рисунке

1.3 Система упражнений на развитие пространственных представлений

Характеристика заданий:

- задания на развитие пространственного мышления;

- задания на развитие умения увидеть по чертежу на плоскости объемное тело;

- первичные навыки развертывания поверхности геометрических тел;

1.Указать число кубиков, из которых состоит фигура:

2. Сколько граней у неотточенного шестигранного карандаша?

Куб находится на рабочем столе. Сколько граней можно покрасить не переворачивая?

3. Сколько разных красок понадобится, если противоположные грани куба раскрасить одним цветом, а соседние разными?

4. Заштрихуйте грань, противоположную данной;

5. Достройте рисунок так, чтобы получился куб:

6. Какие буквы совместятся с буквой А при склеивании развёртки изображённой на рисунке:

Задачи для кружковой работы

Задачи по геометрии, решаемые методами оригами

Слово "оригами" происходит от двух японских слов: "ори" – сложенный, "ками" – бумага, и может быть переведено как "сложенная бумага". Складывание фигурок из бумаги имеет многовековую историю и своими корнями тесно связано с культурой Востока.

Неопределяемыми понятиями геометрии являются: точка, прямая и плоскость. В традиционном школьном курсе геометрии решаются задачи на построение при помощи циркуля и линейки. В решении таких задач с помощью линейки можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. При помощи циркуля можно описать окружность данного радиуса и отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только "геометрию линейки", но и "геометрию циркуля", что обеспечивает возможность решения большого разнообразия серьезных, а порой и забавных задач. Как правило, решение задач методами перегибаний (оригами) проще и нагляднее. Некоторые задачи, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения!

Наглядность и относительная простота освоения оригами могут помочь и при изучении геометрии. Такой подход оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многим учащимся геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Ученики учатся понимать то, о чем говорят сами, и то, что говорят другие, учатся мыслить.

Условные знаки и приемы складывания

Деление отрезка на равные части

Из произвольного листа бумаги при помощи сгибов можно получить квадрат. Если на этом листе бумаги дан отрезок, который требуется разделить, то всегда сначала можно построить квадрат со стороной равной этому отрезку, а затем разделить сторону квадрата.

В задачах этого раздела происходит деление на равные части стороны квадрата (прямоугольника) при этом подразумевается, что длина заданного отрезка равна стороне квадрата.

1.  Методом перегибания точно разделить сторону квадрата на три равные части.

Вариант 2

Прямой угол

1.  Методом складывания разделить один из углов квадрата на три равных угла

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ТЕМА: Прямой, острый и тупой угол (5класс).

Цель работы: овладение навыками построения, умение различать и строить углы, находить S прямоугольника, строить фигуры с равными площадями, уметь изменять S фигур.

Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, чертёжный угольник.

Порядок проведения работы.

1. 1. Учащимся предлагается в тетрадях с помощью циркуля начертить окружность произвольного радиуса.

На окружности отметить точки  К и М.

Построить (отметить) на окружности точки А, В и С так, чтобы:

1. треугольник АМК был остроугольный

б)        треугольник ВМК – тупоугольный

в)        треугольник СМК – прямоугольный.

2. КМ – сторона треугольника. Достройте треугольник, если известно, что угол М – прямой, а угол К равен 45°.

Какой треугольник вы получили?

Ответ:_________________

К _______________ М

3. Проведите необходимые измерения и определите, какой из данных треугольников равнобедренный, какой – равносторонний, а какой – разносторонний. Найдите их периметры.

Равносторонний – треугольник__________           Р=_______мм.

Равнобедренный – треугольник__________           Р=_______мм.

Разносторонний – треугольник__________            Р=_______мм.

2. В каждой клетке таблицы нарисуйте нужный треугольник.
3. Что не удалось? Как вы думаете почему?

5. Постройте биссектрису угла КОТ.

                                               Т

       О

                                                                       К

ВЫВОД:  В зависимости от расположения 1точки на окружности (если 2 точки уже даны) меняется тип угла. На окружности мы можем построить все известные виды угла. Дети должны заметить, что от типа угла зависит расположение центра окружности (точка лежит внутри угла, вне его или на одной из сторон).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА№2

ТЕМА: Площади.

Цель работы: научить детей строить фигуры нужной площади, уметь изменять площадь прямоугольника.

Оборудование: линейка, карандаш.

1. Учащимся предлагается решить следующую задачу:

Фермер решил увеличить участок земли, план которого изображён на рисунке, в два раза, сохранив при этом его прямоугольную форму. Покажите на чертеже различные варианты решения этой задачи. В каком случае затраты на дополнительную ограду будут наименьшими.

2. Заштрихуйте квадрат, площадь которого равна 1 см². Начертите два различных прямоугольника площадью 6 см².

3. Начертите квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Ответ: __________________

4. Нарисуйте фигуру той же площади, что и фигура А, но другой формы.

5. Дан четырёхугольник АВСД. АВ=5см, ВС=3см, АД=8см, СД=4см.

Найти S этого четырёхугольника.

                                                     С

                В

                                                    Д

           А

ВЫВОД: Дети должны увидеть, что S фигуры можно изменять, меняя длины сторон прямоугольника. Существуют различные варианты изменения S. Ученик будет уметь строить четырёхугольники, научится вычислять их S.

Для формирования геометрических представлений учащихся необходимо решать большое количество задач различного плана. Школьники будут владеть навыками построения, и в дальнейшем, при изучении курса геометрии в старших классах, ученикам легче будет усваивать новый материал.

На внеклассных занятиях, в кружковой деятельности можно научить играть детей в игру-головоломку «Танграм»

Игра очень проста в изготовлении. Квадрат 8х8 см из картона, пластика, одинаково раскрашенный с двух сторон разрезают на 7 частей. В результате получается 2 больших, 1 средний и 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Используя все 7 частей, плотно присоединяя их друг к другу, можно составить очень много различных изображений по образцам и по собственному замыслу. 

В результате упражнений и заданий к этой игре ребенок научится анализировать простые изображения, выделять в них геометрические фигуры, научится визуально разбивать целый объект на части и наоборот составлять из элементов заданную модель.

• Самое первое упражнение с такой игрой - составление фигуры из двух-трех элементов. Например из треугольников составить квадрат, трапецию. Ребенок должен сориентироваться в головоломке: посчитать все треугольники, сравнить их по размеру.

• Потом можно просто прикладывать детали друг к другу и смотреть, что получится: грибок, домик, елочка, бантик, конфетка…

Можно в процессе игры рассказать, что головоломку называют “Танграмом” в честь ученого, который ее придумал.

Второй этап

• Через несколько уроков и игр с танграмом, можно переходить к упражнениям по складыванию фигурок по заданному примеру. В этих заданиях нужно использовать все 7 элементов головоломки.

Начните с составления зайца, это самая простая из нижеприведенных фигур.

Третий этап

• Более сложной и интересной для ребят является воссоздание фигур по образцам-контурам. Это третий этап освоения игры. Воссоздание фигур по контурам требует зрительного членения формы на составные части, то есть на геометрические фигуры. Такие задания в детских садах рекомендуют предлагать детям с 6-7 лет (мне кажется - поздновато).

Одно из первых заданий на этом этапе - бегущий гусь, начните лучше с него. Сначала, проанализируем, их каких частей может состоять голова, шея, лапы гуся. Можно ли их сделать их других деталей…
Дольше можно прикладывать различные элементы головоломки, ища правильный результат.

Это уже посложнее - фигуры человека бегущего и сидящего.

Это самые трудные фигуры в этой головоломке.

заключение

Все сказанное выше позволяет сделать следующие выводы:

1. Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрического материала. В этом заключается основная роль изучения геометрического материала на уроках математики 5-6 классов.

2. Младший подростковый возраст (10-12) лет – это период интенсивного психического, морального и интеллектуального развития. В этом возрасте происходит дальнейшее развитие и совершенствование мыслительной деятельности. Также для детей этого возраста имеет место такая особенность, как значение первого впечатления, которое накладывает отпечаток на восприятие всего предмета. У детей появляется способность строить внутренние, умственные образы и представления об окружающих предметах и действовать с ними во внутреннем плане.

Всё это учителя пытаются учесть как при отборе содержания, так и при планировании изучаемого материала  следующим образом: чтобы и первое впечатление и восприятие геометрической формы предмета было наиболее полным и верным, чтобы при этом выделялись важные и существенные геометрические свойства изучаемых объектов, знакомят учащихся с основными геометрическими формами до того, как они встречаются с ними при изучении других предметов.

3. Несмотря на большое количество учебных пособий для 5-6 классов все они очень похожи между собой. Учебники написаны на доступном для детей языке, понятны для восприятия. Геометрический материал в различных учебниках расположен по-разному: либо сосредоточен в одной главе, либо разбросан по всему учебнику. Все геометрические понятия, в основном, формулируются в ознакомительном плане, точные определения не даются. Основной целью изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах является формирование у учащихся метрических представлений и навыков построения геометрических фигур.

4. Из всех задач, рассматриваемых при изучении геометрического материала, с измерениями связаны в основном конструктивные и расчётные задачи, при этом построение или отмеривание отрезка заданной длины является одним из основных операций при решении конструктивных задач.

Формирование измерительных навыков начинается с проведения обобщений, связанных с понятиями длины отрезка, площади плоской фигуры, объёма геометрического тела. Эти обобщения целесообразнее всего проводить при выполнении специально составленных практических работ, примеры которых приведены в последнем параграфе второй главы.