МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6- КЛАССАХ
учебно-методический материал по алгебре (5 класс) по теме

Государственное автономное образовательное учреждение 

дополнительного профессионального образования

Новосибирской области

Новосибирский институт повышения квалификации

И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ

Кафедра математического образования

ДЬЯЧЕНКО НАТАЛЬЯ ДМИТРИЕВНА

 МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6- КЛАССАХ

ВЫПУСКНАЯ ИТОГОВАЯ РАБОТА

ПО ДППО ПП ПО МАТЕМАТИКЕ

Научный руководитель:

Тихвинская А.В.

Новосибирск - 2013

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………3

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА……………………………………4

1. РОЛЬ Изучения ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ………………………5
2. ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5- 6     КЛАССАХ……………………………..  9

ГЛАВА II. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ……………                                                                              …15

1. СОДЕРЖАНИЕ ПРОПЕДЕВТИКО - ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ…………………………………………..         ….15
2. УПРАЖНЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ………….  24

2.3.УПРАЖНЕНИЯ, НАПРАВЛЕННЫЕ НА РАЗВИТИЕ ГРАФИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ                                                                                                27

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………….           .    41

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………...                             43

введение

На современном этапе развития школьного образования приоритетными становятся цели формирования целостной личности в процессе ее обучения в школе. Основная роль в решении этой проблемы отводится обучению школьников 7 – 13 лет, поскольку, по мнению психологов, именно в этом возрасте формируются черты личности, закладываются основы ее интеллекта, гармоничное обогащение которого предполагает взаимодействие как логического, так и образного компонентов.

Богатым арсеналом эффективных средств для всестороннего развития мышления учащихся располагает курс школьной геометрии. Особая роль при развитии учащихся средствами геометрии при этом отводится изучению материала пропедевтического курса геометрии поскольку это подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. А кроме того, геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения курса геометрии.

Объект – процесс обучения математики.

Предмет – формирование геометических представлений у учащихся 5-6 классов.

В связи с этим целью выпускной  работы является описание теоретических основ и методических аспектов процесса изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• охарактеризовать роль изучения геометрического материала на уроках математики;
• описать психолого-педагогические особенности изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах;
• рассмотреть содержательный аспект пропедевтико-геометрической подготовки школьников;
• разработать упражнения на формирование метрических представлений учащихся 5-6 классов.

Решению поставленных задач способствует раскрытие содержания двух глав данной выпускной  работы.

ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

1.1         Роль ИЗУЧЕНИЯ геометрического материала на уроках математики

Геометрический материал в 5-6 классах распределён по всему курсу математики. Он составляет содержание так называемого пропедевтического курса геометрии. Основная роль этого курса - подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии в старших классах, к изучению смежных дисциплин.

Многие современные учёные – методисты, анализируя составление школьного курса геометрического образования, формулируют роль обучения геометрии в школе. Например, В.М. Тихомиров отмечал, [18, с. 102].  что роль геометрии в школе – тренировка мозга и эстетическое развитие ребёнка. И.Ф. Шарыгин, многие из работ которого посвящены различным аспектам школьной геометрии, рассуждал о роли геометрического образования, отмечает, что[5, с. 42].  «результаты обучения геометрии не ограничиваются рамками предмета…. процесс изучения геометрии имеет ничем незаменённый эффект для общего развития личности». Академик А.Д. Александров роль обучения геометрии в школе видит «в развитии у учащихся 3-х качеств: пространственного воображения, практического понимания и логического мышления». Можно цитировать ещё многих авторов, в работах которых обсуждаются различные аспекты обучения геометрии в школе. При этом роль изучения геометрии в школе заключается в:

1. развитии логического мышления учащихся; В привитии элементарных навыков определения простейших геометрических понятий, навыков чёткой формулировки выводов на основе наблюдений.
2. развитии пространственных представлений у учащихся.
3. ознакомлении учащихся с простейшими дедуктивными обоснованиями (без введения понятий «определение», «теорема», «доказательство»).
4. формирование умений и навыков выполнения построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира.
5. формировании умений и навыков измерения геометрических величин.
6. развитии творческой активности и самостоятельности учащихся.

Роль пропедевтического курса геометрии определяет его содержание, которое включает многие вопросы, изучаемые в систематическом курсе геометрии старших классов.

В начальной школе ведётся накопление и развитие геометрических представлений у школьников. Это достигается систематическим проведением практических работ. Основную роль на этой ступени обучения играет изготовление учащимися моделей геометрических фигур, вырезание, вычерчивание и т.п.

Учащиеся получают некоторые представления об определениях. Однако самостоятельная задача формулировки определений перед ними не ставится.

Таким образом, к 5 классу у учащихся накапливается значительный запас конкретных геометрических знаний и представлений, которые нуждаются в дальнейшем их обобщении и систематизации.

Целью обучения геометрии учащихся 5-6 классов, как определено программой является овладение школьниками системой основных геометрических понятий и формирование прочных навыков выполнения геометрических построений с помощью линейки, угольника, циркуля и транспортира.

В этих классах в процессе обучения:

1.        уточняются и углубляются представления о геометрических объектах и их свойствах, приобретённые при обучении в младших классах;

2.        водятся новые геометрические фигуры (луч, параллельные прямые, биссектриса угла и т.д.), некоторые преобразования фигур;

3.        изучают новые величины, носителями которых являются знакомые фигуры (длина окружности, величина угла), проводится чёткое различие величин и фигур (отрезок и длина отрезка, угол и градусная мера угла).

4.        расширяется круг геометрических построений и используемых при этом инструментов.

Для школьников характерно восприятие геометрических фигур как целого чертежа, модели, которая пока ещё не отделима от воспринимаемого объекта. Знакомство школьников 5-6 классов с геометрическими фигурами, соотношениями между ними в большинстве случаев может быть доведено до уровня представлений. Эти представления отличаются друг от друга степенью обобщения. Многие из них несут в себе черты понятий, но это ещё не понятие. Например, школьники получают наглядное представление об отрезке – умеют выделить концы отрезка, отметить точки на отрезке и подсчитать при этом все образовавшиеся отрезки, учатся измерить длину отрезка, знакомятся с отрезком как носителем величины. Всё это создаёт хорошие предпосылки для формирования понятия отрезка.

Курс геометрии связан с систематическим курсом планиметрии 5-6 классов как по содержанию, так и по идейной направленности. Подготовительный курс геометрии знакомит учащихся с геометрической технологией и символикой, которые используются и в систематическом курсе. Ознакомление с некоторыми видами отображения фигур готовит учащихся к сознательному усвоению идей геометрических представлений.

В 5 классе учащиеся имеют дело с такими геометрическими величинами, как длина, площадь, объём (длина отрезка, площадь прямоугольника, объём прямоугольного параллелепипеда). Знакомятся  с величинами угла.

В 6 классе вводятся формулы длины окружности и площади круга. В результате выполнения некоторых измерений и решения соответствующих задач на вычисления у учащихся складывается представление о величине как о неотрицательном числе. В процессе решения задач учащиеся знакомятся и со свойствами геометрических величин.

В курсе геометрии большое внимание уделяется выработке у учащихся умений и навыков в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов, а также формированию у них рациональных приёмов построения геометрических фигур. Это умение будет необходимо как при изучении систематического курса геометрии, так и при изучении курса черчения. В подготовительном курсе геометрии осуществляется связь теории с практикой. Теоретические положения раскрываются при решении задач жизненного характера. Курс геометрии 5-6 классов включает задачи, позволяющие развивать у учащихся пространственные представления.

Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для изучения этой темы в старших классах. В этом заключается основная роль изучения геометрического материала на уроках математики 5-6 классов.

1.2.        ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

Требование учёта возрастных особенностей детей в процессе их обучения и воспитания выдвигали все наиболее известные педагоги прошлого: Я.А. Каменский, Ж.Ж, Руссо, И.Г. Песталоцци, А. Дистервег – все подчёркивали, что обучение и воспитание должно строиться и вестись на основе глубокого знания возрастных и индивидуальных особенностей детей. «Всё подлежащее обучению должно быть распределено сообразно ступеням возраста так, чтобы предлагалось для обучения только то, что доступно восприятию в каждом возрасте», - писал великий славянский педагог Я.А. Каменский [7, с. 402]. К.Д. Ушинский указывал не необходимость так строить учебный процесс, чтобы он активно способствовал психическому развитию ребёнка.

В работе не ставилась цель – полностью характеризовать возрастной период 10-12 лет, т.к. полное и глубокое обоснование характеристики психического развития детей любого возраста очень сложный процесс, который является доступным только специалисту.

Младший подростковый возраст (10-12 лет) – это период интенсивного физического, морального и интеллектуального развития. В этом возрасте происходит дальнейшее развитие и совершенствование мыслительной деятельности. Мышление – это одна из фундаментальных и исключительно значимых для человека психологических способностей. В педагогической науке сформулировано принципиальное положение о том, что одна из ведущих целей всякого образования состоит в формировании мышления.

Генетическая психология выделяет три вида мышления: наглядно-действенное, наглядно-образное, словесно-логическое. Эти три вида мышления, следуя теории Ж. Пиаже, соответствуют трём главным периодам в умственном развитии ребёнка: сенсорному, конкретных и формальных операций. Каждый период характеризуется главным способом мышления (когнитивной структурой) ребёнка, который определяет его активность и понимание мира.

Конечно, такое чёткое деление мышления по генезу условно. В психологии убедительно показано, что эти три вида мышления сосуществуют у взрослого человека и функционируют при решении различных задач. Но на этапе умственного развития детей 10-12 лет при наличии и сосуществовании всех видов мышления, доминирующая роль, по утверждениям психологов, принадлежит образному мышлению, и это нельзя не учитывать при отборе содержания учебного предмета и организации деятельности учащихся. Под влиянием обучения компоненты образного мышления видоизменяются, качественно преобразуются.

Возникает вопрос, как развивать мышление? Ответ содержится во многих работах учёных педагогов и психологов. Например, П.Я. Гальперин и Ж. Пиаже[13] утверждают, что исходным пунктом развития мышления служит действие. Нужно, чтобы ребёнок манипулировал, действовал, экспериментировал «на реальном материале, на физических объектах, на точках, на поверхностях и т.д.» [13, с.35].

В 11-12 лет происходит скачок в развитии логического мышления. «Ключом ко всей проблеме развития мышления в переходном возрасте является тот установленный рядом исследований факт, что младший подросток впервые овладевает процессом образования понятий, что он переходит к новой и высшей форме интеллектуальной деятельности – к мышлению о понятиях» [2, с.115]. Применительно к сензитивному этапу развития психики младшего подростка, стремление к овладению логическими формами – одна из характерных черт этого возраста. В процессе обучения с развитием логического мышления воспитание у детей этого возраста становится более осознанным. Всё большее место в учебной работе младшего подростка начинает занимать наблюдение как целенаправленное, организованное восприятие. Важно, чтобы эти наблюдения носили активный характер, чтобы, наблюдая, дети умели сравнивать, сопоставлять признаки или предметы, обобщать их, классифицировать. На этом этапе вместе с экспериментом и наблюдением выступают и дедуктивные методы, а это позволяет из некоторых свойств, полученных экспериментальным путём, получать другие свойства рассуждениями, хотя значение аксиом, дедукции учащиеся ещё не понимают

Кроме рассмотренных выше особенностей детей 10-12 лет, необходимо отметить расположенность к формированию проективных представлений. Это связано с тем, что развитие понимания ребенком пространства идет в направлении от топологических представлений к проективным. Многочисленные психолого-педагогические исследования, например, исследования И.С.Якиманской [21], показывают, что младшие подростки под влиянием различных видов деятельности (игровой, учебной, трудовой, изобразительной, конструктивно-технической) обнаруживают большие возможности в использовании разных систем отсчета. Довольно рано у них складываются необходимые предпосылки для отвлечения от "схемы тела" и перехода к динамическим и разнообразным базам отсчета, в качестве которых принимается не только человек, но и любой другой объект; произвольно меняются позиции наблюдения. Следует подчеркнуть, что уже в младшем школьном возрасте дети легко переходят от использования трехмерности к двумерности и обратно. Они без труда узнают реальный предмет, спроецированный на лист бумаги (книгу с картинками), экран телевизора, компьютера; это знаменует тот факт, что дети психологически готовы, чтобы оперировать геометрическими свойствами и отношениями в системе не только трех, но и двух измерений, постоянно перекодировать трехмерные образы в двухмерные и наоборот, одновременно использовать и те и другие. Это хорошо видно на примере изобразительной деятельности (рисование), как деятельности, имеющей прямое отношение к геометрии для детей 10-12 лет. Построение изображений является способом освоения окружающего мира, отражением предметной деятельности и пространства особенно.

Овладевая приемами построения рисунка, учащиеся осваивают пропорции, формы, величины, перспективные проекции, приучаются произвольно строить известную систему координат изображаемого пространства и располагать на условном пространстве листа те или иные предметы в определенных пространственных взаимосвязях. Именно в возрасте 10-12 лет по утверждениям психологов, например, Б.Г.Ананьев, детям доступна передача средствами изображения на плоскости не только трехмерности объемных тел, но и глубины пространства (перспективы). Средствами изобразительной деятельности отображаемое человеком пространство моделируется на плоскости, но так же важно и объемное моделирование (изготовление пространственных фигур из бумаги, пластилина и других материалов). Эти два процесса моделирования на плоскости и в пространстве способствуют не только развитию Проективных представлений, но и формированию пространственных представлений учащихся.

Организацию процесса обучения необходимо рассматривать с учетом развития личности ребенка 10-12 лет. «Младший подростковый возраст, - пишет Т.В.Драгунова, - это период интенсивного формирования личности и дальнейшего оформления индивидуальности человека, по этим признакам его называют вторым рождением» [7, с. 15]. Среди многих личчностных особенностей, присущих младшему подростку, особо выделяют формирующееся у него чувство взрослости. Чувство взрослости  проявляется в стремлении к самостоятельности, в отношениях с взрослыми и ровесниками, с появлением новых интересов, не связанных с учебой. Меняется отношение младшего подростка к учебной деятельности, на данном возрастном этапе она хотя и остается для него основной, но перестает быть ведущей. Ведущей деятельностью для детей возраста 10-12 лет является деятельность общения. Учитывая этот факт, при организации учебного процесса выбираются такие формы как коллективную, групповую, парную. Как было отмечено выше, именно в этот период у детей появляется потребность в самостоятельности. Она, по мнению Д.Б.Эльконина, может быть реализована и в учебной деятельности, так как "...младший подростковый возраст сензитивен к переходу учебной деятельности на более высокий уровень. Учение может приобрести для ребенка новый личностный смысл - стать деятельностью по самообразованию и самосовершенствованию[20, с.19]. Руководить интересами подростка в этом направлении могут взрослые, в том числе и учителя. И поэтому одна из целей занятий с учащимися состоит в том, чтобы, не перегружая их, развить интерес к изучению геометрии; приобщить к геометрической деятельности через привлечение элементов конструирования, моделирования, рисования, игры, то есть таких видов деятельности, которые интересны младшему подростку.

Итак, психолого-педагогические особенности детей младшего подросткового возраста при изучении элементов геометрии будут учтены, если:

-         геометрические объекты и их свойства изучать на основе предметно-практических и мысленных действий;

-        изучение геометрических фигур начать с пространственных фигур, а затем ввести плоские, как элементы пространственных - это позволит соединить чувственное и рациональное познание; 

• основными формами познания являются - наблюдение, эксперимент, конструктивно-геометрическая деятельность (измерение, изображение, конструирование, моделирование);
• одновременное  сосуществование  элементов   наглядно-действенного, образного и вербально логического типов мышления позволяет решать  поставленные   перед   учащимися   задачи   тем   способом,   который соответствует уровню его развития;
• при организации учебного процесса использовать репродуктивные, творческие, игровые задания; приобщать к самостоятельному поиску решений, учитывая опыт и потребности практической деятельности детей.

ГЛАВА II. МЕТРИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИЗУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В 5-6 КЛАССАХ

2.1.        СОДЕРЖАНИЕ ПРОПЕДЕВТИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ

В настоящее время образование школьников математике в 5-6 классах может проводиться по нескольким учебным пособиям различных авторов, в которых подходы к отбору и изложению геометрического материала достаточно сильно отличаются. Так, например, в учебном пособии под редакцией Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С.Чеснокова, С.И. Шварцбурд, «Математика: 5 класс», «Математика: 6 класс» геометрический материал изучается в следующей последовательности:

Математика 5 класс

Глава 1. Натуральные числа

§1. Натуральные числа и шкалы

Отрезок. Длина отрезка.Треугольник

С практической точки зрения вводится понятие отрезка, как линии, которая соединяет две точки, эти точки называются концами отрезка.

С помощью рисунка вводится понятие лежать между.

Сообщается, что отрезки можно сравнивать с помощью измерения и вводятся единицы измерения длины отрезков,которые детям уже известны, фактически идет повторение.

На основе рисунка вводится не только понятие треугольника и его составляющих частей, но понятие многоугольника, по количеству вершин.

Плоскость. Прямая. Луч

Понятие плоскости вводится интуитивно, на основе жизненных примеров: поверхность стола, школьной доски, оконного стекла. Сообщается, что плоскость не имеет края, она безгранично простирается во всех направления.

На основе уже известного понятия отрезка вводится новое понятие- прямая: если отрезок продолжить в обестороны, то получится прямая. Сообщается, что прямая не имеет концов, неограниченно продолжается в обе стороны.

Сообщается аксиома: черездве точки проходит единственная прямая.

Вводится понятие пересечения двух прямых на примере, по рисунку.

Понятие луча вводится напримере по рисунку. Точка О делит прямую на две части, каждую их которых называют лучом. Точка О называется началом лучей. Объясняется как обозначатьлучи.

По рисунку вводится понятие дополнительных лучей.

§4. Площади и объемы

Площадь. Формула площади прямоугольника

Сначала на конкретной фигуре вводится понятие квадратного сантиметра и вычисляется ее площадь. Затем вводится понятие для площади произвольной фигуры.

Затем приведена словесная формулировка для нахождения площади, а потом уже составляется формула. Весь этот материал известен школьника из начальной школы.

Вводится понятие равныхфигур, те, которые можно совместить наложением.

Вводятся некоторыесвойства площадей (без доказательств):

1.  Площади равных фигур равны. (их периметрытоже равны)

2.  Площадь всей фигуры равна суммеплощадей ее частей

После знакомства с понятием прямоугольника на его основе вводится понятие квадрата, как прямоугольника, у которого все стороны равны. Затем, вводится формула площади квадрата, после чего объясняется название квадрат числа.

Единицы измерения площадей

Со стандартными единицами измерения и с тем в чем измеряется площадь ученики уже знакомы. На основезнаний об единицах измерения длин отрезков объясняется как переводить одни квадратные единицы в другие.

Площади полей уже известными единицами измерения неудобно измерять. Аналогично вводятся новые единицы измерения: гектар и ар.

Прямоугольный параллелепипед

На основе примеров из жизни: спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич — вводится понятие прямоугольного параллелепипеда. Затем вводятся элементы прямоугольного параллелепипеда: грани, ребра, вершины и их количество.

Сообщается, что длину, ширину и высоту параллелепипеда называют его измерениями. После этого вводится понятие куба, как прямоугольного параллелепипеда, у которого все измерения равны.

Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

Чтобы сравнить объемы двух сосудов, можно наполнить один из них водой и перелить ее во второй сосуд. Если второй сосуд окажется заполненным, а воды в первом сосуде не останется, то объемы сосудов равны. Если в первом сосуде вода останется, то его объем больше объема второго сосуда. А если заполнить второй сосуд не удастся, то объем первого сосуда меньше объема второго.

Далее структура пункта и введение новых понятий полностью повторяет пункт «Площадь. Площадь прямоугольника».

§5. Обыкновенные дроби

Окружность и круг

Сначала объясняется как с помощью циркуля построить окружность: установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замкнутую лини, такую линию называют окружностью. Затем на основе готового чертежа вводятся все элементы окружности: круг, радиус, диаметр (и их связь),полукруг, полуокружность, дуга окружности.

§8. Инструменты для вычисленийизмерений

Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

Сразу вводится стандартное (полноценное) определение угла: углом называют фигуру, образованнуюдвумя лучами (стороны угла), выходящими из одной точки (вершина угла).

Затем объясняется правило записи названия угла и приводится несколько вариантов (одной или тремя буквами). Вводится значок для обозначения угла.

1. По рисунку для точек Е.А. Бунимович и др. «Геометрия. Анализ данных. Доли»

Вводится понятие лежать внутри и вне угла.

Когда рассматриваласьтема о площади прямоугольника, сообщалось, что фигуры равны, если их можно совместить наложением. Сообщается, что это применимо для всех фигур и углов втом числе.

Ранее было введено понятие дополнительных лучей, на основе этого понятия вводится понятие развернутого угла: два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. Стороны этого угла составляют прямую линию, на которой лежит вершина угла.

С помощью практического объяснения вводится понятие прямого угла: согнем два раза пополам лист бумаги,а потом развернем его. Линии сгиба образуют 4 развернутых угла. Каждый из этих углов равен половине развернутого угла. Такие углы называют прямыми.

Далее проводится «знакомство» с новым чертежным инструментом: чертежный треугольник, как инструмент для построения прямых углов. И приводится план построения прямогоугла:

1.  Расположить чертежный треугольниктак, чтобы вершина его прямого угла совпадала с точкой О, а одна из сторон пошла по лучу ОА;

2.  Провести вдоль второй стороны треугольника луч ОВ.

В результате получим прямой угол АОВ.

Измерение углов.Транспортир

Проводится «знакомство» сновым инструментом, предназначенным для измерения углов.

Шкала транспортира располагается на полуокружности. Центр этой полуокружности отмечен на транспортире черточкой.

Штрихи транспортира делят полуокружность на 180 долей.

Лучи, проведенные из центра полуокружности через эти штрихи, образуют 180 углов, каждый из которых равен 1/180 доле развернутого угла. Такие углы называют градусами.

Вводится понятие градуса и его обозначение. Дети уже знаю, что прямой угол равен половине развернутого, на основе этого определения вводится градусная мера для прямого угла.

Также вводятся градусные меры для острого и тупого углов: если угол меньше 90 градусов, то его называют острым углом, а если больше, то — тупым.

Математика 6 класс

Глава 2. Рациональныечисла

§9. Координаты наплоскости

Перпендикулярные прямые

Сразу дается определение перпендикулярных прямых: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными (с понятие прямых углов учащиеся знакомы по материалу 5 класса).

Вводится стандартное обозначение для перпендикулярных прямых и алгоритм построение перпендикулярных прямых с помощью чертежного треугольника и транспортира (с этими инструментами учащиеся знакомы на основе материала 5 класса).

Параллельные прямые

Сообщается, что для прямых существует два варианта взаимного расположения: они либо пересекаются, либо не пересекается. Рассматривается случай, когда прямые не пересекаются,такие прямые называются параллельными.

Вводится стандартный символ для обозначения параллельных прямых.

С помощью рисунков поясняется, что отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами).

Далее рассматриваются признак параллельных прямых: если две прямые в плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны. Данный факт поясняется на примере прямоугольника.

С помощью рисунка дается пояснение как с помощью треугольника и линейки можно построить прямую, параллельную данной.

Далее, без каких либо пояснений, сообщается аксиома: через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Учебник написан на доступном, понятном для детей языке. Геометрический материал излагается блоками, которые сконцентрированы в одной теме или главе, а расположены в различных разделах. При этом геометрические понятия и задачи с геометрическим содержанием могут рассматриваться наряду с другими понятиями. В учебнике 5 класса чёткие определения геометрических понятий отсутствуют; даётся лишь описанное представление о них, которое иллюстрируется специальными примерами. Например: понятие прямоугольного параллелепипеда вводится как абстракция формы таких предметов, как «спичечный коробок, деревянный брусок, кирпич и др.». Точного определения понятия нет. В учебнике 6 класса определения геометрических понятий даются в точных формулировках. При этом содержание понятий наглядно иллюстрируется с помощью рисунков.

Занимаясь по этому учебнику, дети овладевают навыками геометрических построений (параллельных прямых, перпендикулярных прямых, равных отрезков).

В учебных пособиях под редакцией Э.Р. Нурка и А.Э. Тельгмаа рассматриваются такие понятия, как отрезок, луч, прямая, плоскость, угол, треугольник, прямоугольник, их площади, прямоугольный параллелепипед, его объём, куб, объём куба (5класс); окружность, круг, площадь круга, круговой сектор, шар (6 класс).

Геометрический материал в этих учебниках расположен как в отдельных главах, например, «Угол. Треугольник. Прямоугольник» (5 класс), так и в задачном материале других тем. Все геометрические понятия формулируются в ознакомительном плане, точные определения им не даются. Изучение геометрического материала имеет прикладную направленность, основной целью изучения его по данным учебным пособиям является формирование у учащихся метрических представлений и навыков построения геометрических фигур.

В учебнике содержится много формул для нахождения геометрических величин. Например: «…соединим точку на окружности отрезком, проведённым через центр, получим диаметр окружности. Обозначим его буквой d. Легко заметить, что d = 2r». Кроме того, в указанных пособиях имеется много исторических сведений, что делает его более интересным.

Авторы следующего учебного пособия (Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф.) уделяют много внимания геометрическому материалу – начинается учебник темой «Разнообразный мир линий», а не традиционной темой «Числа и счёт».

В учебнике много внимания уделяется устным упражнениям. Именно во время устной работы пятиклассник эффективно учится устанавливать связи между объектами, явлениями, сравнивать, обобщать, развивать память наряду с этим развивается и гибкость мышления, учится контролировать свои рассуждения.

В учебнике рассматриваются такие понятия, как линии, прямые, ломаные; углы, их измерение; многоугольники и многогранники. Геометрический материал чередуется с математическими понятиями, выделен в отдельные главы. При изучении геометрических сведений по данному учебному пособию учащиеся плавно подводятся к новым понятиям. Определения большинства геометрических понятий сформулированы точно. После формулировки определения описываются все свойства фигур, границы применения. Рассматривается связь между фигурами, возможность получения следующих из предыдущих.

В учебнике есть глава «Многогранники», в которой рассматривается не только прямоугольный параллелепипед, как в других учебниках, но и пирамида, а также учащиеся знакомятся с развёртками этих стереометрических тел. Большинство геометрических понятий проиллюстрированы на рисунках, чертежах, что способствует лучшему усвоению материала и позволяет наглядно представить изучаемые понятия.

Учащихся приучают видеть чёткую грань между геометрическими и алгебраическими (арифметическими) понятиями, а так же их взаимосвязь. Поэтому, в дальнейшем школьникам будет проще определить и разграничить предметы алгебры и геометрии, а так же увидеть их взаимосвязь. Геометрическая линия наиболее полно представлена в УМК Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина. Подробнорассматриваются многие темы. Особенно такие, как: «Линии», «Треугольник»,«Симметрия». Изучение происходит не только на ознакомительном уровне. Изучаютсясвойства фигур.Многие задания имеют практическую направленность, что еще раз подтверждает эффективность курса.Авторы показывают учащимся возможности применения геометрических знаний вреальной жизни.К каждой теме подобранодостаточно много заданий по изучаемому материалу. Предлагаются задания двухуровней сложности. Задания второго уровня чаще носят исследовательскийхарактер.Предлагаются задания врабочих тетрадях. Это задания такого характера как: построить, начертить,измерить, вычислить. Некоторые задание предлагаются для развития глазомера. Вдидактических материалах есть обучающие и проверочные задания по всем темамкурса. Авторы отдельное внимание уделяют интеллектуальному развитию ребенка. Наэто направлены знания, представленные в дополнительных разделах. Авторы,познавательный материал предлагают для дополнительного изучения, тем самым,подталкивая учащегося к самостоятельной деятельности.

В учебниках под редакцией Шеврина Л.Н. и др. рассматриваются следующие геометрические понятия: многоугольники, прямоугольники, прямые и луч, окружность, виды углов и треугольников, измерение углов, площадь фигур, круг, площадь круга, прямоугольный параллелепипед, его объём. В этом учебнике 3 главы, одна из них посвящена теме «Измерение геометрических величин». Всё геометрическое содержание, которое необходимо изучить школьникам 5-6 классов, расположено в этой главе. Это отличает учебник Л.Н. Шеврина от указанных выше учебников математики. Такой подход возможно оправдан в том случае, когда следует подчеркнуть различие между предметами алгебры и геометрии, подготовить учащихся к раздельному систематическому изучению их в дальнейшем. Этому же способствует представление чётких определений геометрических понятий, изучаемых в 5-6 классах.

С учётом возрастных особенностей учащихся геометрические понятия наглядно проиллюстрированы множеством рисунков. Кроме того, геометрические сведения содержатся в занимательных и исторических рубриках, что подчёркивает прикладную и практическую ценность геометрии.

2. УПРАЖНЕНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ У УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

Важным этапом в развитии количественной оценки предметов окружающего нас мира является оценка, осуществляемая при помощи измерения. Вопросы измерения величин являются одними из самых принципиальных в школьном курсе геометрии и также одними из самых трудных для учащихся. К измерению геометрических величин относят: Измерение расстояний, длин кривых, углов, площадей поверхностей, объёмов пространственных фигур. Изучение этих тем проходит через весь курс школьной математики и служит как освоению теории, так и выработке практических умений и навыков.

Программа по математике в разделе «Требования к математической подготовке учащихся» указывает, что уровень обязательной подготовки учащихся 5-6 классов, помимо других, определяется требованием «владеть практическими навыками использования геометрических инструментов… для нахождения длин отрезков и величин предметов; уметь решать несложные задачи на вычисление геометрических величин» [11, с.8].

Формирование геометрических представлений учащихся возможно, в основном, только на уровне их измерительной деятельности, т.е. деятельности по решению задач измерения. Формирование геометрических представлений учащихся происходит в процессе решения задач всего курса геометрической подготовки учащихся 5-6 классов, а так же при выполнении лабораторных и практических работ. Для решения задач, связанных с измерениями, учащимся предлагается широкий набор инструментов: масштабная линейка, мерная лента, транспортир и др.

Овладение навыками измерения отрезков необходимо начинать с уяснения идеи измерения приёмов инструментальных измерений. Уяснить идею измерения – это значит добиться понимания, что значит измерить отрезок. Учащиеся должны понимать, что для измерения расстояний, т.е. для измерения отрезков, нужна определённая мера и что в разные времена и у разных народов были различные меры: шаг, ступня, фут, аршин, метр. Учащиеся должны понимать, что любой отрезок может быть выбран за линейную единицу меры. Измерить отрезок – значит, сравнить его с другим отрезком, который принят за единицу измерения. Из отрезков, равных выбранной линейной единице можно составить новые отрезки. Число, показывающее, из скольких линейных единиц и определённых долей линейной единицы состоит данный отрезок, называется длиной данного отрезка.

Измерительный навык предполагает овладение приёмами работы с измерительными инструментами. К 5 классу учащиеся уже имеют некоторый опыт измерений масштабной линейкой, рулеткой, метром. Все эти инструменты обеспечивают различную точность измерений. В программе по математике для 5-6 классов изучению геометрического материала отводится значительное место измерению геометрических величин. Значит, существует реальная возможность необходимость для обобщения, систематизации и совершенствования имеющихся у учащихся знаний и навыков в измерениях.

Измерительные работы в курсе математики сводятся к выполнению двух взаимно-обратных измерительных операций: измерение и построение заданного отрезка (отмеривание). Обе измерительные операции важны, формирование измерительных навыков происходит при выполнении обоих видов измерительных операций.

Во всех работах, посвященных исследованию роли измерительных умений и навыков в курсе математики 5-6 классов показано, что измерения способствуют или «открытию» новых соотношений, либо применению полученного ранее открытого при решении различных задач; формирование измерительных навыков происходит во взаимосвязи с формированием графических и вычислительных навыков.

Из всех задач, рассматриваемых при изучении геометрического материала, с измерениями связаны в основном конструктивные и расчётные задачи, при этом построение или отмеривание отрезка заданной длины является одним из основных операций при решении конструктивных задач.

Формирование измерительных навыков начинается с проведения обобщений, связанных с понятиями длины отрезка, площади плоской фигуры, объёма геометрического тела. Эти обобщения проводим при решении следующих упражнений.

2.3. Упражнения, направленные на развитие графической культуры

Характеристика заданий:

- задания на развитие тонкой моторики руки;

- задания на наблюдательность, внимательность и аккуратность;

- навыки работы с циркулем и линейкой.

Учимся чертить правильно.

1. Начертите по линейке и линии тетради несколько линий так, чтобы они не пересекались.

2.Возьмите угольник и обрисуйте его. Рядом повторите то же самое, не обрисовывая, а используя только одну сторону линейки.

3. Возьмите циркуль и начертите окружность

а) любого радиуса.

б) радиуса 2 см.

4.  

5. Начертите кусок орнамента в тетради и продлите его по всей длине страницы.

6. Придумайте соседу по парте орнамент и обменяйтесь рисунками.

7. Какая из фигур, приведенных на рисунке, лишняя? Почему?

1.2 Упражнения на развитие наглядно-образное мышление

Характеристика заданий:

-умение находить заданные простые геометрические фигуры разной величины и в разных положениях;

- подготовка к правильному обозначению геометрических фигур;

- развитие мысленных образов;

Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком

1. Попробуйте начертить каждую из предложенных фигур, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя по одной линии дважды.

2. Фигуру, показанную на рисунке, нужно обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и то же ребро дважды. Если допустить, что линии могут пересекаться, то задача решается просто. Решение весьма усложняется, если пересечение линий запрещено:

3. Фигуру, изображенную на рисунке, обвести, не отрывая карандаш от бумаги и не обводя одно и тоже ребро дважды. Пересечение линий возможно:

4. На озере семь островов, которые соединены между собой мостами так, как показано на рисунке. На какой остров должен доставить катер путешественников, чтобы они могли пройти по каждому мосту и только один раз? С какого острова катер должен снять этих людей?

5. Возьмите лист бумаги и нанесите на него девять точек так. чтобы они расположились в форме квадрата, как показано на рисунке. Перечеркните теперь все точки четырьмя прямыми линиями не отрывая карандаш от бумаги:

6. Сколько треугольников на рисунке?

7. Найдите 27 треугольников в фигуре на рисунке

1.3 Система упражнений на развитие пространственных представлений

Характеристика заданий:

- задания на развитие пространственного мышления;

- задания на развитие умения увидеть по чертежу на плоскости объемное тело;

- первичные навыки развертывания поверхности геометрических тел;

1.Указать число кубиков, из которых состоит фигура:

2. Сколько граней у неотточенного шестигранного карандаша?

Куб находится на рабочем столе. Сколько граней можно покрасить не переворачивая?

3. Сколько разных красок понадобится, если противоположные грани куба раскрасить одним цветом, а соседние разными?

4. Заштрихуйте грань, противоположную данной;

5. Достройте рисунок так, чтобы получился куб:

6. Какие буквы совместятся с буквой А при склеивании развёртки изображённой на рисунке:

Задачи для кружковой работы

Задачи по геометрии, решаемые методами оригами

Слово "оригами" происходит от двух японских слов: "ори" – сложенный, "ками" – бумага, и может быть переведено как "сложенная бумага". Складывание фигурок из бумаги имеет многовековую историю и своими корнями тесно связано с культурой Востока.

Неопределяемыми понятиями геометрии являются: точка, прямая и плоскость. В традиционном школьном курсе геометрии решаются задачи на построение при помощи циркуля и линейки. В решении таких задач с помощью линейки можно провести произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. При помощи циркуля можно описать окружность данного радиуса и отложить отрезок на данной прямой от данной точки.

Возможности перегибания листа бумаги включают в себя не только "геометрию линейки", но и "геометрию циркуля", что обеспечивает возможность решения большого разнообразия серьезных, а порой и забавных задач. Как правило, решение задач методами перегибаний (оригами) проще и нагляднее. Некоторые задачи, решаемые методами оригами, при помощи циркуля и линейки просто не имеют решения!

Наглядность и относительная простота освоения оригами могут помочь и при изучении геометрии. Такой подход оживляет и заметно облегчает освоение целого ряда абстрактных, и потому сложных для освоения многим учащимся геометрических понятий, делает их изучение более ясным и доступным, убеждает в правильности классических утверждений, теорем и побуждает к дальнейшим исследованиям. Ученики учатся понимать то, о чем говорят сами, и то, что говорят другие, учатся мыслить.

Условные знаки и приемы складывания

Деление отрезка на равные части

Из произвольного листа бумаги при помощи сгибов можно получить квадрат. Если на этом листе бумаги дан отрезок, который требуется разделить, то всегда сначала можно построить квадрат со стороной равной этому отрезку, а затем разделить сторону квадрата.

В задачах этого раздела происходит деление на равные части стороны квадрата (прямоугольника) при этом подразумевается, что длина заданного отрезка равна стороне квадрата.

1.  Методом перегибания точно разделить сторону квадрата на три равные части.

Вариант 2

Прямой угол

1.  Методом складывания разделить один из углов квадрата на три равных угла

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1

ТЕМА: Прямой, острый и тупой угол (5класс).

Цель работы: овладение навыками построения, умение различать и строить углы, находить S прямоугольника, строить фигуры с равными площадями, уметь изменять S фигур.

Оборудование: циркуль, линейка, карандаш, чертёжный угольник.

Порядок проведения работы.

1. 1. Учащимся предлагается в тетрадях с помощью циркуля начертить окружность произвольного радиуса.

На окружности отметить точки  К и М.

Построить (отметить) на окружности точки А, В и С так, чтобы:

1. треугольник АМК был остроугольный

б)        треугольник ВМК – тупоугольный

в)        треугольник СМК – прямоугольный.

2. КМ – сторона треугольника. Достройте треугольник, если известно, что угол М – прямой, а угол К равен 45°.

Какой треугольник вы получили?

Ответ:_________________

К _______________ М

3. Проведите необходимые измерения и определите, какой из данных треугольников равнобедренный, какой – равносторонний, а какой – разносторонний. Найдите их периметры.

Равносторонний – треугольник__________           Р=_______мм.

Равнобедренный – треугольник__________           Р=_______мм.

Разносторонний – треугольник__________            Р=_______мм.

2. В каждой клетке таблицы нарисуйте нужный треугольник.
3. Что не удалось? Как вы думаете почему?

5. Постройте биссектрису угла КОТ.

                                               Т

       О

                                                                       К

ВЫВОД:  В зависимости от расположения 1точки на окружности (если 2 точки уже даны) меняется тип угла. На окружности мы можем построить все известные виды угла. Дети должны заметить, что от типа угла зависит расположение центра окружности (точка лежит внутри угла, вне его или на одной из сторон).

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА№2

ТЕМА: Площади.

Цель работы: научить детей строить фигуры нужной площади, уметь изменять площадь прямоугольника.

Оборудование: линейка, карандаш.

1. Учащимся предлагается решить следующую задачу:

Фермер решил увеличить участок земли, план которого изображён на рисунке, в два раза, сохранив при этом его прямоугольную форму. Покажите на чертеже различные варианты решения этой задачи. В каком случае затраты на дополнительную ограду будут наименьшими.

2. Заштрихуйте квадрат, площадь которого равна 1 см². Начертите два различных прямоугольника площадью 6 см².

3. Начертите квадрат, площадь которого равна площади данного прямоугольника.

Ответ: __________________

4. Нарисуйте фигуру той же площади, что и фигура А, но другой формы.

5. Дан четырёхугольник АВСД. АВ=5см, ВС=3см, АД=8см, СД=4см.

Найти S этого четырёхугольника.

                                                     С

                В

                                                    Д

           А

ВЫВОД: Дети должны увидеть, что S фигуры можно изменять, меняя длины сторон прямоугольника. Существуют различные варианты изменения S. Ученик будет уметь строить четырёхугольники, научится вычислять их S.

Для формирования геометрических представлений учащихся необходимо решать большое количество задач различного плана. Школьники будут владеть навыками построения, и в дальнейшем, при изучении курса геометрии в старших классах, ученикам легче будет усваивать новый материал.

На внеклассных занятиях, в кружковой деятельности можно научить играть детей в игру-головоломку «Танграм»

Игра очень проста в изготовлении. Квадрат 8х8 см из картона, пластика, одинаково раскрашенный с двух сторон разрезают на 7 частей. В результате получается 2 больших, 1 средний и 2 маленьких треугольника, квадрат и параллелограмм. Используя все 7 частей, плотно присоединяя их друг к другу, можно составить очень много различных изображений по образцам и по собственному замыслу. 

В результате упражнений и заданий к этой игре ребенок научится анализировать простые изображения, выделять в них геометрические фигуры, научится визуально разбивать целый объект на части и наоборот составлять из элементов заданную модель.

• Самое первое упражнение с такой игрой - составление фигуры из двух-трех элементов. Например из треугольников составить квадрат, трапецию. Ребенок должен сориентироваться в головоломке: посчитать все треугольники, сравнить их по размеру.

• Потом можно просто прикладывать детали друг к другу и смотреть, что получится: грибок, домик, елочка, бантик, конфетка…

Можно в процессе игры рассказать, что головоломку называют “Танграмом” в честь ученого, который ее придумал.

Второй этап

• Через несколько уроков и игр с танграмом, можно переходить к упражнениям по складыванию фигурок по заданному примеру. В этих заданиях нужно использовать все 7 элементов головоломки.

Начните с составления зайца, это самая простая из нижеприведенных фигур.

Третий этап

• Более сложной и интересной для ребят является воссоздание фигур по образцам-контурам. Это третий этап освоения игры. Воссоздание фигур по контурам требует зрительного членения формы на составные части, то есть на геометрические фигуры. Такие задания в детских садах рекомендуют предлагать детям с 6-7 лет (мне кажется - поздновато).

Одно из первых заданий на этом этапе - бегущий гусь, начните лучше с него. Сначала, проанализируем, их каких частей может состоять голова, шея, лапы гуся. Можно ли их сделать их других деталей…
Дольше можно прикладывать различные элементы головоломки, ища правильный результат.

Это уже посложнее - фигуры человека бегущего и сидящего.

Это самые трудные фигуры в этой головоломке.

заключение

Все сказанное выше позволяет сделать следующие выводы:

1. Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. Геометрический материал 5-6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрического материала. В этом заключается основная роль изучения геометрического материала на уроках математики 5-6 классов.

2. Младший подростковый возраст (10-12) лет – это период интенсивного психического, морального и интеллектуального развития. В этом возрасте происходит дальнейшее развитие и совершенствование мыслительной деятельности. Также для детей этого возраста имеет место такая особенность, как значение первого впечатления, которое накладывает отпечаток на восприятие всего предмета. У детей появляется способность строить внутренние, умственные образы и представления об окружающих предметах и действовать с ними во внутреннем плане.

Всё это учителя пытаются учесть как при отборе содержания, так и при планировании изучаемого материала  следующим образом: чтобы и первое впечатление и восприятие геометрической формы предмета было наиболее полным и верным, чтобы при этом выделялись важные и существенные геометрические свойства изучаемых объектов, знакомят учащихся с основными геометрическими формами до того, как они встречаются с ними при изучении других предметов.

3. Несмотря на большое количество учебных пособий для 5-6 классов все они очень похожи между собой. Учебники написаны на доступном для детей языке, понятны для восприятия. Геометрический материал в различных учебниках расположен по-разному: либо сосредоточен в одной главе, либо разбросан по всему учебнику. Все геометрические понятия, в основном, формулируются в ознакомительном плане, точные определения не даются. Основной целью изучения геометрического материала на уроках математики в 5-6 классах является формирование у учащихся метрических представлений и навыков построения геометрических фигур.

4. Из всех задач, рассматриваемых при изучении геометрического материала, с измерениями связаны в основном конструктивные и расчётные задачи, при этом построение или отмеривание отрезка заданной длины является одним из основных операций при решении конструктивных задач.

Формирование измерительных навыков начинается с проведения обобщений, связанных с понятиями длины отрезка, площади плоской фигуры, объёма геометрического тела. Эти обобщения целесообразнее всего проводить при выполнении специально составленных практических работ, примеры которых приведены в последнем параграфе второй главы.

список литературы

2. Е.А. Бунимович и др. «Геометрия. Анализ данных. Доли»
3. Н.Я. Виленкин и др. «Математика» 5 класс
4. Н.Я. Виленкин и др. «Математика» 6 класс
5. Л.С. Выготский «Проблемы изучения и умственного развития в школьном возрасте» 1991г.
6. Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин «Математика» 5класс
7. Ительсон «Психологические основы обучения»
8. Я.А. Каменский «Избранные педагогические сочинения» 1965г.
9. В.И. Мишин «Методика преподавания математики в средней школе»
10. Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа «Математика» 5 класс
11. Э.Р. Нурк, А.Э. Тельгмаа «Математика» 6 класс
12.   Обухова «Этапы развития детского мышления»
13. Пардала «Математика в школе» № 5 – 1993г., № 3 – 1995г
14. Ж. Пиаже «Роль действий в формировании мышления»
15. Ж. Пиаже «Роль действий в формировании мышления»
16. В.К. Совайленко «Система обучения математике в 5-6 классах»
17. И.Л. Соловейчик «Я иду на урок математики» 5 класс
18. В.М. Тихомиров Математика в школе»
19. Л.Н. Шеврин и др «Математика» 5 класс
20. Л.Н. Шеврин и др. «Математика» 6 класс
21. «Хрестоматия по возрастной психологии»/ Ильясова, 1981.
22. Д.Б. Эльконин «К проблеме периодизации психического развития в детском возрасте»
23. И.С. Якиманская «Основная направленность исследования образного мышления»