Олимпиада по математике
олимпиадные задания по алгебре по теме

Методические рекомендации

по проведению школьного этапа Всероссийской олимпиады школьников по математике в 2013/2014 учебном году

Оргкомитету и жюри школьного этапа

1. Рекомендуемая продолжительность олимпиады: для учащихся 5-7 классов — 2 часа; для учащихся 8-9 классов — 2,5 часа; для учащихся 10-11 классов — 3 часа.

2. Школа должна сама выбрать по каждому классу один из двух вариантов заданий (по разным классам можно выбирать разные варианты): базовый (более простой) или усложнённый. Классам, где есть профильное или углублённое изучение математики, рекомендуется усложненный вариант.

3. Участники школьного этапа Олимпиады, набравшие наибольшее в своей параллели количество баллов, объявляются победителями и награждаются дипломами победителей при условии, что они набрали не менее 18 баллов. Призёрами школьного этапа Олимпиады признаются участники, следующие в итоговой таблице за победителями. Призёры награждаются дипломами призёров. Количество призёров и количество баллов, дающее право на диплом призёра устанавливаются жюри школьного этапа отдельно по классам таким образом, чтобы общее количество победителей и призёров составляло не более 45% от общего количества участников олимпиады в школе (менее — можно).

4. В муниципальном этапе принимают участие

победители и (или) призеры школьного этапа Олимпиады;

победители и призеры муниципального этапа Олимпиады предыдущего года, если они продолжают обучение в школе.

УКАЗАНИЯ ПО ПРОВЕРКЕ И ОЦЕНКЕ ОЛИМПИАДНЫХ РАБОТ

1. Решение каждой задачи, независимо от её трудности, оценивается из 7 баллов. Жюри не имеет права изменять цену задачи. Каждая оценка должна быть целым числом, не меньшим 0 и не большим 7, дробные оценки не допускаются.

2. При оценке рассуждений в олимпиадных работах, как правило, сначала дается ответ на принципиальный вопрос: являются они решением задачи (хотя, может быть, и с различными недостатками) или не являются (хотя, может быть, и содержат существенное продвижение в направлении решения). В первом случае оценка должна быть не ниже 4, во втором – не выше 3.

3. В случаях, не предусмотренных прямо указаниями по проверке и оценке задачи, помещёнными после её решения в нашей листовке, решение оценивается по следующим общим правилам:

Решение, выполненное более чем наполовину, считается существенно неполным, если:

• содержит основные нужные идеи, но не доведено до конца;
• при верной общей схеме рассуждений явно или скрыто опирается на важные недоказанные утверждения, которые нельзя счесть известными или очевидными;
• состоит в разборе нескольких возможных случаев, и хотя бы один существенный случай упущен или разобран неверно;
• состоит из двух частей (например, доказательства необходимости и достаточности либо доказательства оценки и построения примера), из которых верно выполнена только одна, причём более сложная.

2. При оценке решений на олимпиаде учитываются только их правильность, полнота, обоснованность, идейность и оригинальность. Нельзя снижать оценку за "нерациональность" решения (кроме отдельных редких случаев, когда это прямо предусмотрено дополнительными указаниями по проверке данной задачи). Ни при каких обстоятельствах нельзя снижать оценку за нетиповое оформление решения, исправления, помарки и т.п.

3. Оценивая олимпиадные работы, следует отличать принципиальные (прежде всего— логические) ошибки от технических, каковыми являются, например, вычислительные ошибки в не вычислительной задаче (алгебраические ошибки в вычислительной задаче часто являются принципиальными). Технические ошибки, не искажающие логику решения, следует приравнивать к недочетам.

4. Мы постоянно ориентируем школьников на необходимость обоснования решений. Но при этом не следует требовать большего уровня строгости, чем принято в обычной школьной практике. Умение хорошо догадываться на олимпиаде должно цениться выше, чем умение хорошо изложить решение.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 5 класса

Базовый вариант

1. Цифра 5 записана в строку 20 раз подряд. Поставьте между некоторыми цифрами знаки сложения так, чтобы в сумме получилось 1000.

2. Как без всяких измерений отрезать от бумажной полоски длиной 48 см отрезок длиной 15 см?

3. Герой известной повести-сказки Л. Лагина «Старик Хоттабыч» Волька как-то спросил волшебника: «Хоттабыч, а сколько тебе лет?». Старик Хоттабыч самодовольно улыбнулся и ответил: «Мой возраст записывается числом, в котором все цифры различны, причём первая цифра этого числа больше последней в 4 раза; если первую и последнюю цифры этого числа зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел с суммой цифр, равной 13.» Помогите Вольке определить возраст Хоттабыча.

4. В школьном шахматном турнире среди пятиклассников первые четыре места заняли Серёжа, Олег, Дима и Максим. При этом оказалось, что сумма мест, занятых Димой, Максимом и Серёжей , равна 6; сумма мест, Олега и Сережи тоже равна 6, и Серёжа выступил лучше Димы. Какое место занял каждый из мальчиков?

5. На клетчатой бумаге нарисовали фигуру. Нужно разделить ее на 4 одинаковые части по линиям клетчатой бумаги. Найдите как можно больше различных способов выполнения этой задачи. Способы считаются различными, если фигурку, полученную в одном из них, нельзя наложить на фигурку, полученную в другом, так, чтобы они полностью совместились.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 5 класса

Усложнённый вариант

1. Как без всяких измерений отрезать от бумажной полоски длиной 48 см отрезок длиной 15 см?

2. Герой известной повести-сказки Л. Лагина «Старик Хоттабыч» Волька  как-то спросил волшебника: «Хоттабыч, а сколько тебе лет?». Старик Хоттабыч самодовольно улыбнулся и ответил: «Мой возраст записывается числом, в котором все цифры различны, причём первая цифра этого числа больше последней в 4 раза; если первую и последнюю цифры этого числа зачеркнуть, то получится наибольшее из двузначных чисел с суммой цифр, равной 13.» Помогите Вольке определить возраст Хоттабыча.

3. В школьном шахматном турнире среди пятиклассников первые четыре места заняли Серёжа, Олег, Дима и Максим. При этом оказалось, что сумма мест, занятых Димой, Максимом и Серёжей , равна 6; сумма мест, Олега и Сережи тоже равна 6, и Серёжа выступил лучше Димы. Какое место занял каждый из мальчиков?

4. Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Как двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее ?

5. Пятиклассники Сергей, Олег, Коля и Иван получили задание разрезать фигуру, нарисованную на клетчатой бумаге, на четыре одинаковые фигурки (по линиям клетчатой бумаги). Смогут ли они выполнить задание так, чтобы у любых двух из них получились различные фигурки? Фигурки считаются разными, если одну нельзя наложить на другую так, чтобы они полностью совместились.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.

 Школьный тур, г. Котельнич

5 класс, базовый вариант

Решения и указания по проверке

1. Ответ: 555+55+55+55+55+55+55+55+55+5 = 1000. Замечание: Можно расставлять плюсы и другими способами: главное, чтобы один раз получилось 555 и 8 раз — 55.

Указания по оценке: За верный ответ — 7 баллов.

2. Решение. Четыре раза подряд сложим полоску вдвое, потом распрямим. Линии сгибов разобьют её на 16 кусочков по 48:16=3 см каждый. Осталось отрезать пять кусочков.

3. Ответ: 8942. Решение. Наибольшим двузначным числом с суммой цифр, равной 13, является число 94. Пусть последняя цифра 1. Тогда первая цифра равна 14 = 4. Но такая цифра в числе уже есть, а по условию все цифры числа должны быть разными. Пусть последняя цифра 2, тогда первая цифра 24 = 8. Все цифры различны. Получилось число 8942. Больше 2 последняя цифра быть не может, потому что уже 34 — двузначное число.

Указания по оценке: За верный ответ без объяснения, почему других ответов нет — 3 балла.

4. Ответ: 1 место — Максим, 2 место — Сергей, 3 место — Дима, 4 место — Олег. Решение. Сергей, Дима и Максим заняли первые три места, иначе сумма занятых ими мест была бы больше 6. Значит, Олег занял 4 место. Тогда Сергей на втором месте, т.к. его место в сумме с местом Олега даёт 6. Дима выступил хуже Сергея, его место — третье. Максиму остается первое место.

Указания по оценке:За верный ответ начисляется 3 балла. Из оставшихся 4 баллов оценивается объяснение того, как он был найден.

5. Решение. Нам известны четыре различных способа разрезать данную фигуру на одинаковые пятиклеточные фигуры. Они указаны на рисунке справа.

Указания по оценке:За один указанный способ разрезания фигуры начисляется 1 балл, за два — 3 балла, за три — 5 баллов, за четыре — 7 баллов.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

5 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по проверке

1. Решение. Четыре раза подряд сложим полоску вдвое, потом распрямим. Линии сгибов разобьют её на 16 кусочков по 48:16=3 см каждый. Осталось отрезать пять кусочков.

2. Ответ: 8942. Решение. Наибольшим двузначным числом с суммой цифр, равной 13, является число 94. Пусть последняя цифра 1. Тогда первая цифра равна 14 = 4. Но такая цифра в числе уже есть, а по условию все цифры числа должны быть разными. Пусть последняя цифра 2, тогда первая цифра 24 = 8. Все цифры различны. Получилось число 8942. Больше 2 последняя цифра быть не может, потому что уже 34 — двузначное число.

Указания по оценке: За верный ответ без объяснения, почему других ответов нет — 3 балла.

3. Ответ: 1 место — Максим, 2 место — Сергей, 3 место — Дима, 4 место — Олег. Решение. Сергей, Дима и Максим заняли первые три места, иначе сумма занятых ими мест была бы больше 6. Значит, Олег занял 4 место. Тогда Сергей на втором месте, т.к. его место в сумме с местом Олега даёт 6. Дима выступил хуже Сергея, его место — третье. Максиму остается первое место.

Указания по оценке:За верный ответ начисляется 3 балла. Из оставшихся 4 баллов оценивается объяснение того, как он был найден.

4. Решение. Разделим подлежащие проверке монеты на три равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной. При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет. В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе. Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие), мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).

5. Ответ: Да (см. рисунок справа).

Указания по оценке:Ответ «да» без обоснования — 0 баллов. Ответ «нет» — 0 баллов, даже если некоторые способы разрезания были найдены.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 6 класса

Базовый вариант

1. Сумма возрастов нескольких друзей 29 лет. Через 3 года сумма их возрастов стала 41 год. Сколько всего друзей?

2. Закрашенная тёмным фигура вписана в прямоугольник со сторонами 3 и 6. Выделенные точки разбивают стороны прямоугольника на равные части, а фигура внутри — квадрат. Чему равна площадь заштрихованной фигуры? Ответ обоснуйте.

3. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купил 52 тетради, Вася и Юра вместе — 43, Юра и Саша вместе — 34, Саша и Сережа вместе — 30. Сколько тетрадей купил каждый из них? Ответ обоснуйте.

4. Мудрец предложил ученику определить, в какой коробке сидит таракан. При этом он сказал, что таракан сидит только в одной коробке, и на каждой коробке имеется надпись из двух предложений, причём на одной коробке оба предложения верны, на другой — только одно, на третьей —. Надпись на первой коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в третьей коробке». Надпись на второй коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в первой коробке». Надпись на третьей коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в третьей коробке». Помогите ученику. Объясните, как вы рассуждали.

5. Разгадайте числовой ребус ДВА = ПАРА, если известно, что ПАУК < ПАРК. Здесь разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые, причем согласным — четные, а гласным — нечетные. Найдите все возможные ответы и объясните, почему других ответов нет.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 6 класса

Усложнённый вариант

1. Закрашенная тёмным фигура вписана в прямоугольник со сторонами 3 и 6. Выделенные точки разбивают стороны прямоугольника на равные части, а фигура внутри — квадрат. Чему равна площадь заштрихованной фигуры? Поясните, как вы нашли ответ.

2. Пять учеников купили 100 тетрадей. Коля и Вася купил 52 тетради, Вася и Юра вместе — 43, Юра и Саша вместе — 34, Саша и Сережа вместе — 30. Сколько тетрадей купил каждый из них? Ответ обоснуйте.

3. Мудрец предложил ученику определить, в какой коробке сидит таракан. При этом он сказал, что таракан сидит только в одной коробке, и на каждой коробке имеется надпись из двух предложений, причём на одной коробке оба предложения верны, на другой — только одно, на третьей —. Надпись на первой коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в третьей коробке». Надпись на второй коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в первой коробке». Надпись на третьей коробке: «В этой коробке нет таракана. Таракан в третьей коробке». Помогите ученику. Объясните, как вы рассуждали.

4. Разгадайте числовой ребус ДВА = ПАРА, если известно, что ПАУК < ПАРК. Здесь разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые, причем согласным — четные, а гласным — нечетные. Найдите все возможные ответы и объясните, почему других ответов нет.

5. В шахматном турнире, где каждый участник сыграл с каждым по одной партии, участвовало 8 человек. Все они набрали разное количество очков, причём шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Как сыграли между собой шахматисты, занявшие третье и седьмое места? Напомним, что шахматист за победу получает 1 очко, за ничью — 0,5 очка, за поражение — 0 очков. Ответ обоснуйте.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

 Школьный тур, г. Котельнич

6 класс, базовый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: 4. Решение. Сумма возрастов за 3 года увеличилась на 12. Значит, было 12 : 3 = 4 человека.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 3 балла.

2. Ответ: 9. Решение. Площадь белого треугольника равна половине произведения его катетов, каждый из которых равен 1,5, то есть (1,5)2/2 = 9/8. Белый квадрат можно сложить из четырёх угловых белых треугольников. Поэтому сумма площадей четырёх белых треугольников и белого квадрата равна 8(9/8) = 9, а площадь заштрихованной фигуры равна 36 – 9 = 9.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

3. Ответ: Коля — 27, Вася — 25, Юра — 34, Саша — 16, Сережа — 14. Решение. Коля, Вася, Юра и Саша вместе купили 86 тетрадей. Значит, Сережа купил 100–86 = 14 тетрадей. Саша и Сережа вместе купили 30 тетрадей, следовательно, Саша купил 30–14 = 16 тетрадей. Юра и Саша купили вместе 34 тетради, значит, Юра купил 34–16 = 18 тетрадей. Вася, Юра, Саша и Сережа вместе купили 73 тетради, поэтому Коля купил 100–73 = 27 тетрадей. Коля и Вася вместе купили 52 тетради. Значит, Вася купил 52–27 = 25 тетрадей.

Указания по оценке: Ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

4. Ответ:  В первой коробке. Решение. Из предложений на третьей коробке одно обязательно верно, а другое — нет. Поэтому на одной из двух первых коробок обе фразы верны, а на другой обе неверны. Если верны обе надписи на первой коробке, то верны и обе надписи на второй коробке, что противоречит условию. Значит, обе надписи на первой коробке неверны, а на второй — верны. Такое возможно только в случае, когда таракан в первой коробке.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов. Если показано, что одна фраза на третьей коробке верна, а другая ложна, а дальнейшего содержательного продвижения нет — 2 балла.

5. Ответ: 861 = 2141. Решение: Рассмотрим равенство ДВА = ПАРА. Сомножители и произведение заканчиваются на одну и ту же  нечетную цифру. Ею могут быть только 1 или 5. Но вариант А = 5 невозможен, потому что даже наименьшее возможное значение произведения ПАРА в этом случае равно 2545 > 1000. При А = 1 произведение может оказаться  трехзначным числом только если ПАРА=2141 = 861. Итак, Д = 8, В = 6. Стало быть, Р равно 2 или 4. Так как ПАУК < ПАРК, то У < Р. Поскольку А = 1, У ≤ 3. С другой стороны, У < Р ≤ 4. Следовательно, У = 3, Р = 4, П = 2.

Указания по оценке: Только ответ — 2 балла. Не объяснено, почему невозможен ответ 4121 = 861 — не выше 4 баллов.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года. Школьный тур, г. Котельнич

6 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: 9. Решение. Площадь белого треугольника равна половине произведения его катетов, каждый из которых равен 1,5, то есть (1,5)2/2 = 9/8. Белый квадрат можно сложить из четырёх угловых белых треугольников. Поэтому сумма площадей четырёх белых треугольников и белого квадрата равна 8(9/8) = 9, а площадь заштрихованной фигуры равна 36 – 9 = 9.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

2. Ответ: Коля — 27, Вася — 25, Юра — 34, Саша — 16, Сережа — 14. Решение. Коля, Вася, Юра и Саша вместе купили 86 тетрадей. Значит, Сережа купил 100–86 = 14 тетрадей. Саша и Сережа вместе купили 30 тетрадей, следовательно, Саша купил 30–14 = 16 тетрадей. Юра и Саша купили вместе 34 тетради, значит, Юра купил 34–16 = 18 тетрадей. Вася, Юра, Саша и Сережа вместе купили 73 тетради, поэтому Коля купил 100–73 = 27 тетрадей. Коля и Вася вместе купили 52 тетради. Значит, Вася купил 52–27 = 25 тетрадей.

Указания по оценке: Ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

3. Ответ: В первой коробке. Решение. Из предложений на третьей коробке одно обязательно верно, а другое — нет. Поэтому на одной из двух первых коробок обе фразы верны, а на другой обе неверны. Если верны обе надписи на первой коробке, то верны и обе надписи на второй коробке, что противоречит условию. Значит, обе надписи на первой коробке неверны, а на второй — верны. Такое возможно только в случае, когда таракан в первой коробке.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов. Если показано, что одна фраза на третьей коробке верна, а другая ложна, а дальнейшего содержательного продвижения нет — 2 балла.

4. Ответ: 861 = 2141. Решение. Рассмотрим равенство ДВА = ПАРА. Сомножители и произведение заканчиваются на одну и ту же  нечетную цифру. Ею могут быть только 1 или 5. Но вариант А = 5 невозможен, потому что даже наименьшее возможное значение произведения ПАРА в этом случае равно 2545 > 1000. При А = 1 произведение может оказаться  трехзначным числом только если ПАРА=2141 = 861. Итак, Д = 8, В = 6. Стало быть, Р равно 2 или 4. Так как ПАУК < ПАРК, то У < Р. Поскольку А = 1, У ≤ 3. С другой стороны, У < Р ≤ 4. Следовательно, У = 3, Р = 4, П = 2.

Указания по оценке: Только ответ — 2 балла. Не объяснено, почему невозможен ответ 4121 = 861 — не выше 4 баллов.

5. Ответ: Шахматист, занявший 3 место, выиграл. Решение. Шахматисты, занявшие последние четыре места, в партиях между собой разыграли 6 очков, то есть в сумме набрали вместе не менее 6 очков. Шахматист, занявший второе место, не мог набрать 6,5 очков, потому что в этом случае он выиграл бы у победителя или сыграл с ним вничью, и победитель тоже набрал бы не более 6,5 очков. Следовательно, тот, кто занял второе место, набрал 6 очков, и столько же вместе набрали шахматисты, занявшие последние четыре места. Следовательно, все очки набрали в партиях между собой, и шахматист, занявший третье место, выиграл у шахматиста, занявшего седьмое место.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 7 класса

Базовый вариант

1. Трем братьям вместе 58 лет. Сколько лет каждому из них, если  лет младшего брата, равны  лет среднего, и равны  лет старшего.

2. Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен 12 градусам.

3. Как разрезать квадрат на 5 равных частей?

4. Грузовику предстояло проехать 400 км. Три четверти пути он ехал со скоростью 75 км/ч. Может ли он так увеличить свою скорость на оставшемся участке пути, чтобы средняя скорость на всём пути стала равна 100 км/ч?

5. Настя, Полина и Лера как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Насти есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Полины – джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и наконец, у Леры есть широкие джинсы и темные узкие джинсы с карманами? Объясните, как вы нашли ответ.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 7 класса

Усложнённый вариант

1. Трем братьям вместе 58 лет. Сколько лет каждому из них, если  лет младшего брата, равны  лет среднего, и равны  лет старшего.

2. Как разрезать квадрат на 5 равных частей?

3. Грузовику предстояло проехать 400 км. Три четверти пути он ехал со скоростью 75 км/ч. Может ли он так увеличить свою скорость на оставшемся участке пути, чтобы средняя скорость на всём пути стала равна 100 км/ч?

4. Настя, Полина и Лера как-то обнаружили, что все они в одинаковых джинсах. Как выглядят эти джинсы, если известно, что у Насти есть джинсы с карманами, узкие джинсы и вылинявшие джинсы без карманов, у Полины — джинсы без карманов и вылинявшие узкие джинсы с карманами, и, наконец, у Леры есть широкие джинсы и темные узкие джинсы с карманами? Объясните, как вы нашли ответ.

5. Мистер Твистер и его друг мистер Министр ходят по тропинке длиной 200 м. Выходят они с противоположных концов тропинки одновременно и идут до встречи. После встречи мистер Твистер сразу разворачивается и идёт назад, дойдя до места выхода, снова разворачивается и  идёт до встречи и так это повторяется 3 раза. В то же время мистер Министр продолжает идти в одном и том же направлении, пока не дойдёт до конца тропинки, а когда дойдёт, то разворачивается и идет назад. На каком расстоянии от того конца тропинки, с которого вначале стартовал мистер Твистер, они встретятся в третий раз, если Твистер ходит в 4 раза быстрее Министра?

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

Решения и указания к проверке задач для 7 класса

Базовый вариант

1. Ответ: 24; 18;16. Решение. Пусть младшему брату x лет. Тогда среднему брату (3х/4):(2/3) = 9x/8 лет, а старшему брату — (3х/4):(1/2) = 3x/2 лет. По условию x+9x/8+3x/2 = 29x/8 = 56, откуда x = 16, 9x/8 = 18, 3x/2 = 24.

Указания по оценке: За верно составленное, но неверно решённое уравнение (или систему уравнений) — 2 балла. За ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

2. Ответ: 33, 57. Решение. Биссектриса делит прямой угол на углы по 45, откуда и получаем ответ.

Указания по оценке: За ответ без обоснования — 3 балла.

3. Ответ — на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

4. Ответ: Нет. Решение. Чтобы средняя скорость стала равна 100 км/ч, на весь путь он должен затратить 4 часа. Но на первые 300 км он уже затратит 300/75 = 4 ч, значит на оставшиеся 100 км ему времени не останется.

Указания по оценке: За ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Ответ: Вылинявшие широкие джинсы без карманов. Решение. Лера не может быть в тёмных узких джинсах с карманами, потому что у Полины таких джинсов точно нет. Поэтому Лера (а с ней — и Полина с Настей) — в широких джинсах. Поскольку Полина — не в узких джинсах, она в джинсах без карманов. Стало быть, Настя не может быть как в узких джинсах, так и в джинсах с карманами, то есть она — в вылинявших джинсах. Соединяя всё сказанное, получаем ответ.

Указания по оценке: За верный ответ — 4 балла, остальное — за объяснение того, как он был найден. За ответ «широкие джинсы» без объяснения — 1 балл, с объяснением — 2 балла. За ответ «широкие джинсы с карманами» без объяснения — 2 балла, с объяснением — 4 балла.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

 Школьный тур, г. Котельнич

Решения и указания к проверке задач для 7 класса

Усложнённый вариант

1. Ответ: 24; 18;16. Решение. Пусть младшему брату x лет. Тогда среднему брату (3х/4):(2/3) = 9x/8 лет, а старшему брату — (3х/4):(1/2) = 3x/2 лет. По условию x+9x/8+3x/2 = 29x/8 = 56, откуда x = 16, 9x/8 = 18, 3x/2 = 24.

Указания по оценке: За верно составленное, но неверно решённое уравнение (или систему уравнений) — 2 балла. За ответ без обоснования или найденный подбором — 3 балла.

2. Ответ — на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

3. Ответ: Нет. Чтобы средняя скорость стала равна 100 км/ч, на весь путь он должен затратить 4 часа. На первые 300 км он затратит 300/75=4ч, значит на оставшиеся 100 км ему времени не останется.

Указания по оценке: За ответ «нет» без обоснования — 0 баллов.

4. Ответ: Вылинявшие широкие джинсы без карманов. Решение. Лера не может быть в тёмных узких джинсах с карманами, потому что у Полины таких джинсов точно нет. Поэтому Лера (а с ней — и Полина с Настей) — в широких джинсах. Поскольку Полина — не в узких джинсах, она в джинсах без карманов. Стало быть, Настя не может быть как в узких джинсах, так и в джинсах с карманами, то есть она — в вылинявших джинсах. Соединяя всё сказанное, получаем ответ.

Указания по оценке: За верный ответ — 4 балла, остальное — за объяснение того, как он был найден. За ответ «широкие джинсы» без объяснения — 1 балл, с объяснением — 2 балла. За ответ «широкие джинсы с карманами» без объяснения — 2 балла, с объяснением — 4 балла.

5. Ответ: 142,4 м. от точки выхода Министра. Решение. До первой встречи Министр пройдёт пятую часть пути, т.е. 40 м. Пока Твистер будет возвращаться к своему концу дорожки, Министр пройдёт ещё 40 м. До второй встречи Министр пройдёт пятую часть оставшихся 120 м, т.е. 24 м и ещё 24 м, пока Твистер будет возвращаться. Наконец, до третьей встречи он пройдёт 14,4 м. Итого он пройдёт 142,4 м. Отсюда — ответ.

Указания по оценке: За ответ без обоснования — 0 баллов.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 8 класса

Базовый вариант

1. В связи с кризисом зарплата сотрудников фирмы понизилась на 20%. На сколько процентов следует ее повысить, чтобы она достигла прежнего значения?

2. В коробке лежат восемь различных костяшек домино (см. рисунок), но границы между ними не видны. Нарисуйте границы.

3. Даны две правильные обыкновенные дроби. У первой числитель на 5 меньше знаменателя, у второй числитель на 2009 меньше знаменателя. Может ли у их суммы числитель быть больше знаменателя?

4. В четырехугольнике AВCD продолжения противоположных сторон АВ и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон ВС и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырехугольнике равны, а два других отличаются на 40°.

5. В данной в конце условия задачи фразе надо на месте многоточия поставить число (числительное), записанное в словесной форме и в нужном падеже, чтобы сформулированное в ней утверждение оказалось истинным. Вот эта фраза: «Число букв в этой фразе равно...»

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 8 класса

Усложнённый вариант

1. В коробке лежат восемь различных костяшек домино (см. рисунок), но границы между ними не видны. Нарисуйте границы.

2. Иван Иванович пришел в магазин, имея 2000 рублей. В магазине продавали веники по 117 руб. и тазики по 166 руб. (других товаров в магазине уже не осталось). Сколько веников и сколько тазиков ему нужно купить, чтобы потратить как можно больше денег?

3. В четырехугольнике AВCD продолжения противоположных сторон АВ и CD пересекаются под углом 20°; продолжения противоположных сторон ВС и AD также пересекаются под углом 20°. Докажите, что два угла в этом четырехугольнике равны, а два других отличаются на 40°.

4. В данной в конце условия задачи фразе надо на месте многоточия поставить число (числительное), записанное в словесной форме и в нужном падеже, чтобы сформулированное в ней утверждение было истинным. Вот эта фраза: "Число букв в этой фразе равно..."

5. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

8 класс, базовый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: на 25%. Решение. Пусть до кризиса зарплата была равна х рублей. Тогда после кризиса зарплата стала 0,8х  рублей. Чтобы зарплата достигла прежнего значения, ее надо увеличить в 1/0,8 = 1,25 раз, то есть на 25%.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

2. Ответ: на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

3. Ответ: может. Идея решения. Если знаменатели дробей достаточно велики, то каждая из дробей больше 1/2 и, значит, их сумма больше единицы. Если дробь больше единицы, то ее числитель больше знаменателя. Возьмем, например,4995/5000 и 2991/5000.

Указания по оценке: Ответ «может», не обоснованный примером — 0 баллов. Любой верный пример — 7 баллов.

4. Решение: Пусть О1 — точка пересечения АВ и CD, а О2  —  точка пересечения ВС и AD. Можно считать, что пересекаются лучи ВА и CD и лучи ВС и AD.  Применяя к ΔO1AD  и Δ О2CD теорему о том, что внешний угол равен сумме двух внутренних, получим
BAD = AO1D + ADO1 = 20° + ADO1 = 20° + CDО2 = BCD. Аналогично, применяя теорему о внешнем угле к ΔCDО2 и ΔO1ВС, получим: ADC = DCО2 + 20° = ABC + BO1C + 20° = ABC + 40°.

Указания по оценке: Доказательство только равенства углов BAD и BCD — 4 балла.

5. Ответ: Число букв в этой фразе равно тридцати восьми. Решение: В начале фразы использованы 24 буквы. Легко проверить, что в "словесной записи" двузначного числительного (в дательном падеже) участвуют не более 19 и не менее шести букв. Поэтому в законченной фразе букв не более 43 и не менее 30. Далее без труда находим ответ перебором числительных от «тридцати» до «сорока трём».

Указания по оценке: За верный ответ — 7 баллов.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.

 Школьный тур, г. Котельнич

8 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: на рисунке справа.

Указания по оценке: За верный рисунок — 7 баллов.

2. Ответ: Иван Иванович потратит все деньги, если купит 10 веников и 5 тазиков.

Указания по оценке:: За верный ответ— 7 баллов.

3. Решение: Пусть О1 — точка пересечения АВ и CD, а О2  — точка пересечения ВС и AD. Можно считать, что пересекаются лучи ВА и CD и лучи ВС и AD.  Применяя к ΔO1AD  и ΔО2CD теорему о том, что внешний угол равен сумме двух  внутренних, получим BAD = AO1D + ADO1 = 20° + ADO1 = 20° + CDО2 = BCD. Аналогично, применяя теорему о внешнем угле к ΔCDО2 и ΔO1ВС, получим ADC = DCО2 + 20° = ABC + BO1C + 20° = ABC + 40°.

Указания по оценке: Доказательство только равенства углов BAD и BCD — 4 балла.

4. Ответ: Число букв в этой фразе равно тридцати восьми. Решение: В начале фразы использованы 24 буквы. Легко проверить, что в "словесной записи" двузначного числительного (в дательном падеже) участвуют не более 19 и не менее шести букв. Поэтому в законченной фразе букв не более 43 и не менее 30. Далее без труда находим ответ перебором числительных от «тридцати» до «сорока трём».

Указания по оценке: За верный ответ — 7 баллов.

5. Ответ:  Решение: Обозначим горизонтальные стороны прямоугольников
а1, а2,..., а5, а вертикальные — b1, b2, ..., b5. Произведение площадей прямоугольников 1, 2, 3, 4, 5 равно а1b1а2b2а3b3а4b4а5b5, а прямоугольников 6, 7, 8, 9 — а2b1а3b2а4b3а5b4. Разделив одно равенство на другое, получим а1b5. Но это и есть искомая площадь! Осталось сократить дробь. Замечание. Можно рассуждать иначе: пусть а1 = х. Тогда, так как a1b1 = 1, b1 = 1/x. Так как а2 b1 = 6, а2 =  6х и т.д. Продолжая этот процесс, получим b5 = 

Указания по оценке: Если при верном ходе рассуждений ответ получился неверным из-за арифметической ошибки — 4 балла.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 9 класса

Базовый вариант

1. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой — целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось . Какая дробь была написана на доске?

2. Петя, Вася, Коля и Миша играли в футбол. Один из них разбил мячом стекло. На вопрос: “Кто это сделал?” Петя, Вася и Коля ответили: “Не я”, а Миша — “Не знаю”. Потом оказалось, что двое из них сказали правду, а двое — неправду. Знал ли Миша, кто разбил стекло?

3. На дороге из города А в город В стоят километровые столбы. На каждом столбе с одной стороны написано расстояние до города А, а с другой — до В. Утром турист проходил мимо столба, на котором одно число было вдвое больше другого. Пройдя еще 10 км, турист увидел столб, на котором числа отличались ровно в три раза. Каково расстояние от А до В? Укажите все возможные варианты.

4. Чему равен угол В треугольника ABC, если известно, что высоты, выходящие из А и С, пересекаются внутри треугольника и одна из них делится точкой пересечения на равные части, а другая — в отношении 2:1, считая от вершины?

5. Квадрат разбит прямыми на 25 прямоугольников. Площади некоторых из них указаны на рисунке (выполненном не в масштабе). Найдите площадь прямоугольника, отмеченного вопросительным знаком.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 9 класса.

Усложнённый вариант

1. На доске была написана обыкновенная несократимая дробь, числитель и знаменатель которой – целые положительные числа. К ее знаменателю прибавили числитель, получилась новая дробь. К числителю новой дроби прибавили ее знаменатель, получилась третья дробь. Когда к знаменателю третьей дроби прибавили числитель, получилось . Какая дробь была написана на доске?

2. Сколько существует девятизначных чисел, у которых все цифры различны и идут (слева направо) в порядке убывания?

3. Решите уравнение: х4 + 4х3 – 8х + 4 = 0.

4. В корзине лежат яблоки и груши. Если добавить туда столько же яблок, сколько сейчас там груш (в штуках), то процент яблок будет вдвое больше, чем получится, если добавить в корзину столько груш, сколько сейчас там яблок. Какой процент яблок сейчас в корзине?

5. Радиоуправляемая игрушка выезжает из некоторой точки. Она движется по прямой, а по команде может поворачивать налево ровно на 17° (относительно прежнего направления движения). Какое наименьшее число команд требуется, чтобы игрушка вновь прошла через точку старта?

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.

 Школьный тур, г. Котельнич

9 класс, базовый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: 3/7. Решение. Когда к числителю дроби прибавляют ее знаменатель, значение дроби увеличивается на 1. Когда к знаменателю дроби прибавляют ее числитель, значение обратной (перевернутой) дроби увеличивается на 1. Теперь легко провести вычисления, указанные в условии, в обратном порядке: дробь 13/23 получилась из 13/10 (обратную дробь 23/13 уменьшаем на 1 и переворачиваем). В свою очередь, 13/10 («третья дробь» в условии задачи) получилась из 3/10, а эта дробь («вторая») получилась из 3/7.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 3 балла.

2. Ответ: Знал. Решение. Поскольку стекло разбил кто-то один, среди ответов Пети, Васи и Коли самое большее один ложный. Но по условию ложных ответов два. Вторым ложным может быть только ответ Миши..

Указания по оценке: Ответ «знал» без обоснования — 0 баллов.

3. Ответ: 120 км или 24 км. Решение. Когда турист проходил мимо столба, на котором одно число вдвое больше другого, расстояние до одного из городов было х, а до другого 2х. Когда турист проходил мимо второго столба, расстояние до первого города было х – 10, а до второго 2х + 10 или до первого х + 10, а до второго
2х – 10. Так как числа на столбе отличались втрое, то выполнено одно из четырех уравнений: х – 10 = 3(2х + 10), 2х + 10 = 3(х – 10), 2х – 10 = 3(х + 10),
х + 10 = 3(2х – 10). У первого и третьего уравнений отрицательные решения. Остальные два имеют положительные решения х = 40, х = 8. Так как расстояние между городами равно 3х, это расстояние равно 120 км в первом случае и 24 км во втором случае. Простой проверкой убеждаемся, что оба случая возможны.

Указания по оценке: Один ответ без обоснования — 1 балл. Оба ответа без обоснования — 2 балла. В процессе решения рассмотрены не все возможные уравнения — не выше 4 баллов.

4. Ответ: ABC = 45°. Решение. Обозначим через К точку пересечения высот АА1 и СС1. Пусть АК = КА1, СК= 2КС1. Если М – середина СК, то ввиду равенства треугольников КМА1 и КАС1 АС1 = МА1. Но по свойству медианы к гипотенузе прямоугольного треугольника МА1 = КС/2. Таким образом, АС1 = МК = КС1. Треугольник КАС1 прямоугольный и равнобедренный, KA С1 = 45°.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Ответ: 5/126. Решение. Обозначим горизонтальные стороны прямоугольников а1, а2,..., а5, а вертикальные — b1, b2, ..., b5. Произведение площадей прямоугольников 1, 2, 3, 4, 5 равно а1b1а2b2а3b3а4b4а5b5, а прямоугольников 6, 7, 8, 9 — а2b1а3b2а4b3а5b4. Разделив одно равенство на другое, получим а1b5. Но это и есть искомая площадь! Осталось сократить дробь. Замечание. Можно рассуждать иначе: пусть а1 = х. Тогда, так как a1b1 = 1, b1 = 1/x. Так как а2 b1 = 6, а2 = 6х и т.д. Продолжая этот процесс, получим b5 = 5/126x.

Указания по оценке: Если при верном ходе рассуждений ответ получился неверным из-за арифметической ошибки — 4 балла.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

9 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по оценке

1. Ответ: 3/7. Решение. Когда к числителю дроби прибавляют ее знаменатель, значение дроби увеличивается на 1. Когда к знаменателю дроби прибавляют ее числитель, значение обратной (перевернутой) дроби увеличивается на 1. Теперь легко провести вычисления, указанные в условии, в обратном порядке: дробь 13/23 получилась из 13/10 (обратную дробь 23/13 уменьшаем на 1 и переворачиваем). В свою очередь, 13/10 («третья дробь» в условии задачи) получилась из 3/10, а эта дробь ("вторая") получилась из 3/7.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 3 балла.

2. Ответ: 10. Решение. Запишем все цифры в ряд в порядке убывания: 9876543210. Очевидно, каждое из искомых чисел получается вычеркиванием одной цифры из полученного ряда. Это можно сделать десятью разными способами.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

3. Ответ: х = . Решение: Преобразуем левую часть уравнения: х4 + 4х3 – 8х + 4 = х4 + 4х3 + 4х2 – 4х2 – 8х + 4 = (х2 + 2х)2 – 4(х2 + 2х) + 4 = (х2 + 2х – 2)2. Получаем равносильное квадратное уравнение х2 + 2х – 2 = 0, у которого и находим корни.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

4. Ответ: 50%. Решение. Пусть х – количество яблок, а у – количество груш в корзине. Если добавить столько же яблок, сколько сейчас там груш, то всего будет х + у яблок среди х + 2у фруктов и доля яблок будет (х + у)/(х + 2у). Если добавить столько груш, сколько сейчас яблок, то будет х яблок среди 2х + у фруктов, и доля яблок будет х/(2х + у). В первом случае по условию процент яблок вдвое больше и мы получаем пропорцию . Из этой пропорции получаем (х + у)(2х + у) = 2х(х + 2у), или 2х2 + 3ху + у2 = 2х2 + 4ху, откуда у2 = ху. Поскольку по условию число груш в корзине больше нуля, на него можно разделить обе части равенства и получить, что яблок и груш в корзине поровну.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Ответ: 11 Решение. После первой команды игрушка движется под углом 17° к первоначальному направлению движения, после второй — под углом 217° = 34°, после третьей — под углом 317°, ... , после 10-й — под углом 1017° = 170°. При этом она продолжает отдаляться влево от прямой, по которой начала двигаться, и потому пройти через точку старта не может. Возвращение становится возможным только после 11-й команды поворота: в этот момент игрушка движется под углом 1117° = 187° = 180°+7° к первоначальному направлению движения. Траектория движения представляет собой выпуклый 12-угольник, один из углов которого равен 7°, а каждый из остальных равен 180° – 17° = 163°.

Указания по оценке: Ответ без обоснования — 2 балла.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 10 класса

Базовый вариант

1. Из утверждений «число a делится на 2», «число a делится на 4», «число a делится на 12» и «число a делится на 24» три верных, а одно неверное. Какое?

2. Чиновник сказал, что сейчас граждане оплачивают только 35% стоимости содержания жилья, а через год должны будут оплачивать 49%, и на этом основании сделал вывод, что квартплата увеличится за год всего на 14%. А на сколько процентов увеличится квартплата на самом деле?

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты (x,y) которых удовлетворяют неравенству x2y+y2x ≤ 2xy.

4. В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями. Докажите, что диагонали равны.

5. Ученик не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и написал одно шестизначное число, которое оказалось в 7 раз больше их произведения. Найдите эти числа и докажите, что ответ единственный.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 10 класса

Усложнённый вариант

1. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите все такие числа.

2. . Расположите числа в порядке возрастания, если известно, что a < 0, а b > 1.

3. По окружности стоят 10 чисел. Известно что сумма любых трех, стоящих подряд, одинакова. Одно из чисел равно 9. Найдите остальные и докажите, что ответ единственный.

4. Вне квадрата на его стороне построен прямоугольный треугольник, у которого сторона квадрата является гипотенузой. В каком отношении биссектриса прямого угла этого треугольника делит площадь квадрата?

5. Параболы у = x2+ax+b и у = –x2+сx+d не имеют общих точек. Докажите, что есть прямая, от которой они лежат по разные стороны.

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.  Школьный тур, г. Котельнич

10 класс, базовый вариант

Решения и указания по проверке

1. Ответ: Неверно последнее утверждение. Решение. Если последнее утверждение верно, то верны, очевидно, и первые три, поскольку 24 делится на 2, 4 и 12. Противоречие. Замечание. Ситуация, когда первые три утверждения верны, а последнее — нет, возможна: например, при a = 12.

Указания по оценке. Указание на то, что неверно последнее утверждение, без обоснования — 3 балла. Приводить в решении пример, когда первые три утверждения верны, а последнее — нет, не обязательно.

2. Ответ: 40%. Решение. Пусть квартплата составляет a рублей. Сейчас граждане оплачивают 35% этой стоимости, т.е. 0,35a рублей, а будут оплачивать 49%, т.е. 0,49a рублей. Это означает, что квартплата увеличиться за год на (0,49a–0,35a)/0,35a100% = 1400/35% = 40%.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 0 баллов.

3. Ответ: множество точек, удовлетворяющих неравенству, помечено на рисунке справа знаками минус. Решение. Заметим, что неравенство из условия задачи равносильно неравенству xy(x+y–2) ≤ 0. Теперь осталось начертить на координатной плоскости линии смены знаков: x = 0, y = 0, x+y–2 = 0 и указать знаки выражения xy(x+y–2) ≤ 0 в каждой из областей, на которые они делят координатную плоскость.

Указания по оценке. Линии смены знаков нарисованы верно, но ответ неверен — 3 балла.

4. Решение. Проведем EF || AC. Тогда BF = FC и EF = AC/2. Поэтому FK || BD и FK = BD/2. Из условия следует, что треугольник EFK — равнобедренный (см. рис.), откуда EF = FK, и, следовательно, AC = BD.

5. Ответ: 143 и 143. Решение. Пусть x, y — искомые трехзначные числа, тогда 7xy = 1000x+y. 1000x = y(7x–1). Поскольку x и 7x–1 не имеют общих делителей, больших 1, то 7x–1 – делитель 1000. Но 7x–1 > 500, поэтому
7x–1 = 1000, откуда и получаем ответ.

Указания по оценке. Ответ при отсутствии объяснения, почему других ответов нет — 2 балла.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года. Школьный тур, г. Котельнич

10 класс, усложнённый вариант.

Решения и указания по проверке

1. Ответ: 251. Решение. Искомое число является делителем числа 2008. Разложим число 2008 на простые множители: 2008 = 222251. Выпишем все делители числа 2008: 1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008. Проверив каждый из них, найдём, что условие задачи выполняется только для числа 251.

Указания по оценке. Ответ при отсутствии объяснения, почему других ответов нет — 4 балла.

2. Ответ: . Решение. Рассмотрим разности:  > 0,  > 0,  < 0.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 0 баллов.

3. Ответ: Все числа равны 9. Решение. Рассмотрим соседние тройки чисел, у которых два числа общие. Получим, что числа, разделенные двумя другими, равны. Двигаясь по кругу через два числа, получим, что все числа равны.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 0 баллов.

4. Ответ: 1:1. Решение. Опишем окружность вокруг треугольника DCK, она пройдет через центр О квадрата АВСD, т.к. COD = 90. Докажем, что биссектриса KF проходит через центр квадрата. Пусть KF пересекает окружность в точке M. Но тогда CKM =CDO =  45, то есть обе дуги CM и CO равны 900. Поэтому точка M совпадает с O. Осталось заметить, что любая прямая, проходящая через центр квадрата делит его площадь пополам.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Решение. Годится, например, прямая у = (x2+ax+b–x2+сx+d)/2 =
(а+с)х/2 + (b+d)2. Заметим, что она делит пополам все отрезки, соединяющие точки наших парабол с одинаковыми абсциссами. Поэтому если какая-то из двух парабол пересекается с этой прямой, то в этой же точке с прямой пересекается и вторая парабола, что противоречит условию задачи. Таким образом, каждая из парабол целиком лежит с одной стороны от рассматриваемой прямой. При этом обе параболы по одну сторону от прямой лежать не могут, ибо никакой отрезок с концами на этих параболах не пересекался бы с прямой.

Указания по оценке. Прямая указана верно, обоснования нет — 1 балл. Ссылка на чертёж обоснованием быть не может!

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 11 класса

Базовый вариант

1. Число умножили на сумму его цифр и получили 2008. Найдите это число.

2. Сколько положительных чисел есть среди первых ста членов последовательности sin 1°, sin 10°, sin100°,...?

3. В выпуклом четырехугольнике прямая, проходящая через середины противоположных сторон, образует равные углы с диагоналями. Докажите, что диагонали равны.

4. По окружности стоят 10 чисел. Известно что сумма любых трех, стоящих подряд, одинакова. Одно из чисел равно 9. Найдите остальные и докажите, что ответ единственный.

5. Можно ли на поверхности правильного тетраэдра с ребром 1 расположить 4 точки так, чтобы из любой точки поверхности тетраэдра можно было добраться до одной из выбранных точек, пройдя по поверхности путь не более ½?

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года

Школьный тур, г. Котельнич

Задания для 11 класса

Усложнённый вариант

1. Сколько положительных чисел есть среди первых ста членов последовательности sin 1°, sin 10°, sin100°, ...?

2. Корнями квадратного трехчлена f(x) = ax2+bx+c являются числа  и . Докажите, что модуль одного из этих корней равен 1.

3. Легко проверить, что из записи А + АА + ААА = ББББ нельзя получить верное числовое равенство, заменив в ней все цифры буквами по правилу: «одинаковые буквы заменяются одинаковыми цифрами». А какое наименьшее число раз надо нарушить это правило, чтобы верное числовое равенство все-таки получилось?

4. Параболы у = x2+ax+b и у = –x2+сx+d не имеют общих точек. Докажите, что есть прямая, от которой они лежат по разные стороны.

5. Все боковые грани пирамиды — прямоугольные треугольники с прямыми углами, примыкающими к основанию пирамиды. Может ли основание высоты этой пирамиды находиться внутри многоугольника, лежащего в основании пирамиды?

Математическая олимпиада школьников

2013/2014 учебного года.

Школьный тур, г. Котельнич

11 класс, базовый вариант

Решения и указания по проверке

1. Ответ: 251. Решение: Искомое число является делителем числа 2008. Разложим число 2008 на простые множители: 2008 = 222251. Выпишем все делители числа 2008: 1, 2, 4, 8, 251, 502, 1004, 2008. Проверив каждый из них, найдём, что условие задачи выполняется только для числа 251.

Указания по оценке. Ответ при отсутствии объяснения, почему других ответов нет — 4 балла.

2. Ответ: 3. Решение: При n > 3 10n–1000 = 99…9000 (n–3 единицы). 99…9000 делится на 9000 = 25360. Поэтому все члены последовательности, начиная с четвертого, равны sin1000° = sin280° < 0, а синусы 1°, 10° и 100° больше 0.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 1 балл.

3. Доказательство: Проведем EF || AC. Тогда BF = FC и EF = AC/2. Поэтому FK || BD и FK = BD/2. Из условия следует, что треугольник EFK — равнобедренный (см. рис.), откуда EF = FK, и, следовательно, AC = BD.

4. Ответ: Все числа равны 9. Решение. Рассмотрим соседние тройки чисел, у которых два числа общие. Получим, что числа, разделенные двумя другими, равны. Двигаясь по кругу через два числа, получим, что все числа равны.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 0 баллов.

5. Ответ: Можно. Решение: Отметим в правильном тетраэдре ABCD середины рёбер AC, AD, BC и BD. Тогда у каждой грани тетраэдра будут отмечены середины двух её сторон. Заметим, что если взять две окружности радиуса 1/2 с центрами в серединах двух сторон правильного треугольника со стороной 1, то они целиком покроют этот треугольник. Поэтому от любой точки данной грани можно добраться до одной из двух отмеченных на ней точек, пройдя путь не более 1/2.

Указания по оценке. Ответ «можно» без обоснования — 0 баллов. За правильное указание точек — 4 балла, оставшиеся 3 балла — за обоснование.

Математическая олимпиада школьников
2013/2014 учебного года.  Школьный тур, г. Котельнич

11 класс, усложнённый вариант

Решения и указания по проверке

1. Ответ: 3. Решение: При n > 3 10n–1000 = 99…9000 (n–3 единицы). 99…9000 делится на 9000 = 25360. Поэтому все члены последовательности, начиная с четвертого, равны sin1000° = sin280° < 0, а синусы 1°, 10° и 100° больше 0.

Указания по оценке. Ответ без обоснования — 1 балл.

2. Доказательство: Перемножив данные корни и использовав теорему Виета, получаем равенство . Преобразовав, получаем
b2–(a+c)2 = 0  (b–a–c)(b+a+c) = 0  b = a+c или b = a–c. В первом случае , во втором —

Указания по оценке. Рассмотрен только один из случаев b = a+c или b = a–c — не более 3 баллов.

3. Ответ: 2 раза. Решение. Заметим, что А + АА + ААА ≤ 9 + 99 + 999 = 1107 < 1111. Уже отсюда ясно, что все замены правильными быть не могут, причем одна неправильная замена обязательно должна быть в записи ББББ. Но если она ровно одна, то А = 9, ибо иначе А + АА + ААА ≤ 8 + 88 + 888 < 1000. Однако, в этом случае А + АА + ААА = 1107, и нарушений – два. Противоречие.

Указания по оценке. Ответ «2 раза» без всякого обоснования — 1 балл. Ответ «2 раза» с примером двух замен, но без обоснования невозможности меньшего числа замен — 3 балла. Ответ «2 раза» с обоснованием невозможности меньшего числа замен, но без примера двух замен — 4 балла.

4. Решение. Годится, например, прямая у = (x2+ax+b–x2+сx+d)/2 = (а+с)х/2 + (b+d)2. Заметим, что она делит пополам все отрезки, соединяющие точки наших парабол с одинаковыми абсциссами. Поэтому если какая-то из двух парабол пересекается с этой прямой, то в этой же точке с прямой пересекается и вторая парабола, что противоречит условию задачи. Таким образом, каждая из парабол целиком лежит с одной стороны от рассматриваемой прямой. При этом обе параболы по одну сторону от прямой лежать не могут, ибо никакой отрезок с концами на этих параболах не пересекался бы с прямой.

Указания по оценке. Прямая указана верно, обоснования нет — 1 балл. Ссылка на чертёж обоснованием быть не может!

5. Ответ: Нет. Решение. Будем обходить боковые грани по сторонам основания, начиная с вершины острого угла одной из них. Назовем грань левой, если прямой угол при ее проходе нам повстречался при входе, и правой — если при выходе. Первая грань — правая. Если все остальные — тоже правые, то при обходе каждое следующее боковое ребро пирамиды будет длиннее предыдущего, что после полного обхода приводит к противоречию. Значит, где-то после правой грани идет левая. Но тогда их общее ребро образует прямые углы с двумя пересекающимися прямыми плоскости основания, то есть является высотой пирамиды. Поэтому основание высоты пирамиды есть одна из вершин многоугольника, лежащего в ее основании, и внутренней его точкой оно быть не может.

Указания по оценке. «Решение примером» — 0 баллов.