Многочлены
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Урок – исследование в 7 классе

Тема:  «Многочлены»

Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации  знаний. Урок исследование.

Дата: 22.12.2013г.

Цели урока:  Формировать познавательный интерес на основе изменения способов организации изучаемых знаний, способствовать развитию гибко алгоритмизированного мышления.

Задачи: 

• Систематизировать материал по теме «Многочлены».
• Провести диагностику усвоения системы знаний и умений её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень.
• Развивать познавательные процессы, память, мышление, внимание, наблюдательность, сообразительность.
• Выработать критерии оценки своей работы, умение анализировать проделанную работу и адекватно её оценивать.

                                Ход урока:

1. Организационная часть.

Представим себе, что сегодня наш класс – исследовательская лаборатория. А вы, ученики, - сотрудники этой лаборатории. А именно, сотрудники различных лабораторий по проблемам математики. В процессе работы вы должны: закрепить изученный материал, показать уровень усвоения темы, разобраться в непонятных ранее моментах, проконтролировать и оценить свои знания. У каждого из вас на столе оценочный лист, где вы будете фиксировать свои достижения, и в конце оцените свою работу как сотрудники наших лабораторий.

Девизом нашего заседания является лозунг: «Дорогу осилит идущий, а математику мыслящий».

II. Актуализация опорных знаний.

Но прежде, чем войти в лаборатории, вам необходимо пройти испытание, которое будет пропуском в эти лаборатории.

Входной контроль:

Работаем в  http://school-collection.edu.ru по вариантам.

Упростите:

1. c4·c²         (c³)4        c7·c3·c                 (c2)6·c
2.  4х²·(-2y)          -5a·(-4a²)            (5x4)2              (-2x²)³
3.  (х-3)²    (6+в)²    (5p+2q)²    (4-y)(4+y)    (в+7)(7-в)     (9k-4n)(9k+4n)
4.  8x5-10х5         -4а2-3а2         5у4+2у3

Обменяйся тетрадью с соседом по парте и оцени его работу. За полностью выполненную работу ставь оценку «5», за три задания – оценку «4», за два задания оценку «3», за одно верно выполненное задание оценку «2». Итак, мы получили пропуск в лаборатории. Перед нами лаборатория теоретиков.

                         Лаборатория теоретиков.

Давайте примем участие в работе этой лаборатории. В ней много правил, по которым мы работаем.

У каждого учащегося имеется карточка-домино. Карточка содержит вопрос и ответ. Первым начинает ученик, у которого карточка содержит слова «Старт» и «Финиш». Он задаёт стартовый ответ. Он же даёт финишный ответ. Каждый ученик должен внимательно следить за ходом игры, чтобы не пропустить свой ответ. Ответив, ученик задаёт свой вопрос и т.д. Учитель указывает на ошибку, если прозвучал неправильный ответ. Все учащиеся одновременно следят и за тем, чтобы был дан правильный ответ. За игру в домино в оценочный лист вы себе поставите один балл, если верно ответите на вопрос, и 0 баллов, если пропустите свой ответ.

Итак «Математическое домино».

Финиш: Ответ: Произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Старт: Вопрос: Что называют многочленом?

Ответ:    Сумму одночленов.

Вопрос: Что называют одночленом?

Ответ: Произведение чисел, переменных и их степеней.

Вопрос: Какие слагаемые называют подобными?

Ответ:  Слагаемые с одинаковой буквенной частью.

Вопрос: Как привести подобные слагаемые?

Ответ:  Сложить их числовые коэффициенты, а результат умножить на общую буквенную часть.

Вопрос: Как умножить одночлен на многочлен?

Ответ: Одночлен умножить на каждый член многочлена, а результаты сложить.

Вопрос: Как перемножить одночлены?

Ответ: Перемножить числовые коэффициенты, а затем перемножить степени с одинаковыми основаниями и результаты перемножить.

Вопрос: Как умножить две степени с одинаковыми основаниями?

Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Вопрос: Как возвести степень в степень?

Ответ: Основание оставить тем же, а показатели степеней перемножить.

Вопрос: Как умножить многочлен на многочлен?

Ответ: Каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и результаты сложить.

Вопрос: Чему равен квадрат суммы  двух выражений?

Ответ: Квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равен квадрат разности?

Ответ: Квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго выражения.

Вопрос: Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?

Ответ: Разности квадратов этих выражений.

Вопрос: Чему равно произведение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы?

Ответ: Разности кубов этих выражений.

Вопрос: Чему равна сумма кубов двух выражений?

Лаборатория формул.

В стране многочленов много формул сокращённого умножения. Объясните, для чего они нужны и в каких случаях вы их применяете?

1 задание: Из разложенных на доске карточек выбрать пары равных выражений и с помощью магнитов составить верные формулы.

                (а-в)2          (а-в)(а+в)       (а+в)2     (а-в)(а2+ав+в2)

        (а+в)(а2-ав+в2)    а2-2ав+в2      а2+2ав+в2        а2-в2      а2+в2

                                а3-в3        а3+в3

Осталась лишняя карточка. Почему? Останутся ли верными формулы сокращённого умножения, если в них вместо букв а и в поставить любые целые выражения?

2 задание: Выполнить тест с последующей проверкой.

Работаем в http://school-collection.edu.ru по вариантам.

                1 вариант.                                            2 вариант.

Раскройте скобки:                                   Раскройте скобки:

1. (х+2у)2                                                     1. (х+3у)2

     а) х2+4ху+4у2   б) х2+4ху+2у2                 а) х2+6ху+3у2       б) х2+6ху+9у2

     в) х2+4у2                  г) х2+2ху+4у2                          в) х2+9у2                    г) х2+3ху+9у2

2. (2а-3)2                                                                                 2. (4а-1)2

      а)   4а2-6а+9     б)  4а2-12а+9                         а) 16а2-8а+1            б) 4а2-4а+1

      в) 2а2-12а+9       г)   4а2-9                              в) 16а2-4а+1             г) 16а2-1

3. (3х-5у2)(3х+5у2)                                        3. (4х-3у2)(4х+3у2)

      а)  9х2-25у2         б) 9х2+у4                         а) 4х2-3у4         б) 16х2_9у4

      в)  9х2+25у2         г) 9х2-25у4                  в) 16х2+9у4         г) 4х2-9у2

4. (а+2)(а2-2а+4)                                     4. (а+3)(а2-3а+9)

    а) а3+16                  б) а3-8                             а) а3+3                  б) а3-27

    в) а3+2а2+8             г) а3+8                    в) а3+27                г) а3-3а2+27

5. (х-1)(х2+х+1)                                          5. (х-2)(х2+2х+4)

   а) х3+х2-1                 б) х3-1                           а) х3-8          б) х3+8

   в) х3-х2-1                  г) х3+1                          в) х3-2х2+8   г) х3-16

 В оценочный лист поставить: если все верные –3 балла, 4 верных – 2 балла,  3 верных – 1 балл.

Владение математикой – это умение решать задачи, причём не только стандартные, но и требующие оригинальности, изобретательности, смекалки, находчивости.

                        Лаборатория исследований.

У каждого из вас написаны 6 равенств, среди которых есть верные, а есть и неверные. Вам необходимо найти ошибки. Напротив каждого равенства нужно написать верное или неверное. Назвать ошибки. Верно - неверно.

В оценочный лист 3 балла - за все правильные ответы, 2 балла - за 4 или 5 правильных ответа, 1 балл – за 3 правильных ответа.

                           Лаборатория раскрытия тайн.

Межпланетная станция, запущенная для изучения планеты Юпитер, произвела фотосъёмку её поверхности. Побывала на ней, взяла пробу грунта и вернулась на Землю. Вместе с пробами учёные обнаружили кусок твёрдого сплава с таинственными обозначениями. Так вот эти учёные обратились к вам за помощью, чтобы вы объяснили, что обозначают эти таинственные знаки.

        Найди неизвестный математический объект.

1)         (3х + *   )2 =   *   +    *    +49 у2 

2)         (10m2  -   *   ) (  *     +  10m2)=   *   - 4t6

3)         *      ·  ( x²  -xy)  =  x²y²-xy³

4)        (   *  -  2m)²=   *  -  40m  +4m²

5)        (  *  -3b³)( * +3b³)=  a2  -   *

6)         *  · (a² - 2b)=3a³b - 6ab²

        Задание выполняем по вариантам. Первые три задания –1 вариант, вторые три задания –2вариант. Второй вариант немного сложнее. Вариант – на ваш выбор.

        В оценочный лист 3 балла, 2 балла, 1 балл.

        А теперь пришло время и отдохнуть.

Лаборатория уравнений.

Перед нами лаборатория уравнений. Давайте примем участие в исследованиях этой лаборатории.

Выдающийся физик Альберт Эйнштейн – основоположник теории относительности - говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

Вот и займёмся уравнениями. Попробуем применить вызубренные формулы к решению уравнений. На доске записаны 8 уравнений. Каждый из вас будет решать 2 уравнения. Затем нужно будет подойти к доске, отыскать полученный результат и прикрепить его обратной стороной (буквой) к своему уравнению. Если вашего результата нет, значит, уравнение решено неверно.

Реши уравнения

            Работаем в http://school-collection.edu.ru по вариантам

1.  (6y+2)(5-y)=47-(2y-3)(3y-1)                                2     -     А

2. (x+6)²-(x-5)(x+5)=79                                                1,5  -     Л

3.  9x·(x+6)-(3x+1)²=1                                                  -    Д

4. a·(8-9a)+40=(6-3a)(6+3a)                                        -0,5   -   Ж

5. 16y·(2-y)+(4y-5)²=0                                                   -    А

6. (х-7)²+3=(х-2)(х+2)                                                  4     -     Б

7. (2-х)²-х·(х+1,5)=4                                                   0    -     Р

8. (2х-3)(2х+3)-8х=7+4х²                                          -2    -    А

Какими приёмами мы пользовались при решении уравнений?

Мы получили загадочное слово  АЛ-ДЖАБРА. Что же это за слово?

Занимаясь математикой, вы не могли не заметить, что она состоит из нескольких частей. Вы научились оперировать с натуральными и дробными числами, знаете положительные и отрицательные числа. «Число» - по-гречески звучит арифмос. Поэтому наука о числе получила греческое название арифметика.

 Другой раздел математики посвящён различным фигурам и их свойствам и называется «Геометрия». Гео – по-гречески земля, метрио – меряю. Но вот слово алгебра – раздел математики, где решаются уравнения, рассматриваются преобразования выражений, составленные из чисел и букв – не греческое. В чём тут дело? Разве у греков не было алгебры. Была. Но решали древние греки алгебраические задачи геометрически.

А вот слово алгебра произошло от слова ал-джабра, взятого из названия книги узбекского математика, астронома и географа Мухамеда Ал-Хорезми  «Краткая книга об исчислениях ал-джабры и ва-л-мукабалы». Арабское слово аль-джебр переводчик не стал переводить, а записал его латинскими буквами algebr. Так возникло название науки, которую мы изучаем. «Ал-джабра» - операция переноса членов из одной части уравнения в другую, но уже с противоположным знаком. По-русски это слово означает «восполнение».

Интересно, что «алгебраистами» в средние века называли вовсе не математиков, а арабских хирургов-костоправов.

                        Лаборатория Эрудитов.

На формулах сокращённого умножения основаны некоторые математические фокусы, позволяющие производить вычисления в уме. Например:

312= (30+1)2=900+60+1=961

292=(30-1)2=900-60+1=841

31·29=(30+1)(30-1)=900-1=899

Но самый элегантный фокус связан с возведением в квадрат чисел, оканчивающихся цифрой 5.

Сообщение учащихся.

Проведём соответствующие рассуждения для 852. Имеем:

852=(80+5)2=802+2·80·5+5²=80(80+10)+25=80·90+25=7200+25=7225

Замечаем, что для вычисления 852 достаточно было умножить 8 на 9 и к полученному результату приписать справа 25. Аналогично можно поступать и в других случаях. Например, 352=1225 (3·4=12 и к полученному числу приписали справа 25).

Чтобы целое число с половиной возвести в квадрат, нужно умножить целое число на соседнее большее число и к результату приписать ¼. Например, (6½)²=42¼     (7½)²=56¼

Быстро и просто. Доказать мы это сумеем, когда научимся выносить общий множитель за скобку. А это будет на следующих уроках.

Вопрос - изюминка:

1.  Возведите в квадрат: 452, 952, 1252, (9½)², (20½)².

2. Изменив положение одной цифры, добейтесь, чтобы равенство было верным:   102=100

3.  Сравните, что больше: 372 или 36·38?

III Итог урока.        

Давайте, оценим свою активность на уроке (1-3 балла) и поставим себе оценку за урок:  14-15 баллов –«5»,  10-13 баллов  -«4», 7-9 баллов -«3» .

            Домашнее задание: № 511,512,513(1,2)