Олимпиада 2013-2014
олимпиадные задания по алгебре по теме

Школьный тур олимпиады по математике2013-14

5 класс.

1. В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?  

2. Вася перемножил двенадцать четверок, а Петя – двадцать пять двоек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

3. Можно ли прямоугольник, изображенный ниже, разрезать на пять квадратов? (Квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно)

4. Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что нашел? Ответ объясните.

5. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

6 класс.

1. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов?

2. Вася перемножил одну четверку и 27 девяток, а Петя – 55 троек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

3. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

4. Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что нашел? Ответ объясните.

5. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

6. Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

7 класс.

1. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 50 обменов?

2. Однажды дядя Федор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на 6 кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько весил Матроскин?  

3. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

4. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр

в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на

1.)

5. Мама купила коробку кускового сахара (сахар в кубиках). Дети сначала съели верхний слой – 77 кубиков, затем боковой слой – 55 кубиков, наконец, передний слой. Сколько кубиков сахара осталось в коробке?  

6. Разрежьте квадрат со стороной 4 на прямоугольники, сумма периметров которых равна 25.

8 класс.

1. Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища,

туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг.

Сколько весит рыба?

2. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555. Может ли

уменьшаемое быть целым числом? Если да, то приведите пример, если нет,

то объясните, почему.

3. В психиатрической больнице есть главный врач и много сумасшедших. В

течение недели каждый сумасшедший один раз в день кусал кого-нибудь

(возможно и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из больных по

два укуса, а у главного врача – сто укусов. Сколько сумасшедших в больнице?

4. В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке,

АСЕ =АDB и DBЕ = BEC. Известно также, что BD = CE. Докажите, что ACD = ADC.

5. Дан числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым – одинаковые.) Найдите все его решения и докажите, что других нет.

6. Прямоугольную доску покрасили в три цвета (угловую клетку покрасили в первый цвет, две соседние с ней – во второй, три соседние с только что покрашенными – в третий, следующие соседние с уже покрашенными – снова в первый и т.д.). Может ли для каких-нибудь размеров доски случиться так, что клеток одного цвета будет на две больше, чем какого-то другого?

9 класс.

1. Вместо знаков многоточия вставьте такие числа, чтобы выражение (x2 + …×x + 2) ×(x + 3) = (x + …)×(x2 + …×x + 6) стало тождеством.

2. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который опять сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен вырезанному Васей? Если нет – приведите пример, если да – обоснуйте.

3. Аня и Даня вместе весят 82 кг, Даня и Таня – 74 кг, Таня и Ваня – 75 кг,

Ваня и Маня – 65 кг, Маня и Аня – 62 кг. Кто тяжелее всех и сколько он весит?

4. Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные

цифры.)

5. В треугольнике АВС точка М – середина АС, МD и МЕ – биссектрисы

треугольников АВМ и СВМ соответственно. Отрезки ВМ и DE пересекаются в точке F. Найдите MF, если DE = 7.

6. В клетчатом квадрате 6 × 6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.

10 класс.

1. Решите уравнение 1 – (2 – (3 – (...2010 – (2011 – (2012 – x))...))) = 1006.

2. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части.

Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину

средней части.

3. Один из углов трапеции равен 60o. Найдите отношение её оснований, если

известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

4. Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные цифры.)

5. Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо степенью двойки?

6. В пять 15-литровых ведер налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается утроить количество воды в любом сосуде, налив в него воду из какого-нибудь одного другого (если воды не хватает, чтобы утроить количество, то наливать из этого ведра нельзя). Какое наибольшее количество воды можно такими действиями собрать в одном ведре?

11 класс.

1. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части.

Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину

средней части.

2. На координатной плоскости (x, y) изобразите множество всех точек, для

которых y2 − y = x2 − x.

3. Один из углов трапеции равен 60o. Найдите отношение её оснований, если

известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность.

4. Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо

степенью двойки?

5. Решите систему уравнений:

х+у=1,

 х+у+соs2z=2.

6. Можно ли сложить сплошную стенку, имеющую форму параллелепипеда с размерами 27 × 16 × 15, а) из кирпичей размером 3 × 5 × 7; б) из кирпичей размером 2 × 5 × 6, если ломать кирпичи нельзя, но можно поворачивать?

Критерии оценивания

Форма отчета

Руководитель ШМО      _________________________

 5 класс. Решения.

1. В двух аквариумах вместе 100 рыбок. Когда из первого аквариума отселили 30 рыбок, а из второго 40, то в аквариумах осталось поровну рыбок. Сколько рыбок было в каждом аквариуме первоначально?

Ответ. 45 и 55 рыбок соответственно.

Решение. После отселения в аквариумах осталось 100-30-40=30 рыбок. Значит, в каждом по 15. Поэтому в первом вначале было 15+30=45 рыбок, а во втором 15+40=55 рыбок.

2. Вася перемножил двенадцать четверок, а Петя – двадцать пять двоек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

Ответ. У Пети.

Решение. Так как две двойки в произведении дают 4, то произведение 12 Васиных четверок то же самое, что произведение 24 двоек. А так как Петя перемножил 25 двоек (25>24), то и результат у него получился больше (в два раза).

3. Можно ли прямоугольник, изображенный ниже, разрезать на пять квадратов? (Квадраты не обязательно одинаковые, лишних частей остаться не должно)

Ответ. Например, так:

4. Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что нашел? Ответ объясните.

Ответ. Медный таз нашел Спали, алмаз – Пили, топаз – Ели.

Решение. Так как у гнома с самой длинной бородой капюшон синий, то у Ели не самая длинная борода. У Пили тоже не самая длинная (т.к. она короче, чем у Ели). Поэтому самая длинная борода у Спали, средняя –у Ели и самая короткая – у Пили. Значит, таз нашел Спали, а алмаз – Пили. И, значит, Ели нашел топаз.

5. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

Ответ. Подойдет любая из следующих двух последовательностей:

2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235

2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221

6 класс. Решения.

1. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 30 обменов?

Ответ. 121.

Решение. После каждого обмена количество Петиных наклеек увеличивается на 4 (одна наклейка исчезает и появляется 5 новых ). После 30 обменов количество наклеек увеличится, на 30*4=120. Вначале у Пети была одна наклейка, после 30 обменов будет 1+120=121.

2. Вася перемножил одну четверку и 27 девяток, а Петя – 55 троек. У кого число получилось больше? Ответ обоснуйте.

Ответ. У Васи число больше.

Решение. Так как две тройки в произведении дают 9, то произведение 55 Петиных троек то же самое, что произведение одной тройки и 27 девяток. Так как произведение тройки и 27 девяток меньше, чем произведение четверки и 27 девяток, то Петино число меньше.

3. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

Ответ.

4. Три гнома, Пили, Ели и Спали, нашли в пещере алмаз, топаз и медный таз. У Ели капюшон красный, а борода длиннее, чем у Пили. У того, кто нашел таз, самая длинная борода, а капюшон синий. Гном с самой короткой бородой нашел алмаз. Кто что нашел? Ответ объясните.

Ответ. Медный таз нашел Спали, алмаз – Пили, топаз – Ели.

Решение. Так как у гнома с самой длинной бородой капюшон синий, то у Ели не самая длинная борода. У Пили тоже не самая длинная (т.к. она короче, чем у Ели). Поэтому самая длинная борода у Спали, средняя –у Ели и самая короткая-у Пили.

Значит, таз нашел Спали, а алмаз – Пили. И, значит, Ели нашел топаз.

5. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

Ответ. Подойдет любая из следующих двух последовательностей:

2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235

2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221

6. Три прыжка двухголового дракона равны 5 прыжкам трёхголового. Но за то время, когда двухголовый дракон делает 4 прыжка, трёхголовый делает 7 прыжков. Кто из них бежит быстрее? Ответ обоснуйте.

Ответ. Трёхголовый.

Решение. Рассмотрим время, за которое двухголовый дракон делает 3*4=12 прыжков. За это время трёхголовый делает 3*7=21 прыжок. Так как 12=4*3, то 12 прыжков двухголового дракона равны 4*5=20 прыжкам трёхголового. Итак, за одно и то же время трёхголовый дракон перемещается на 21 прыжок, а двухголовый – на 20 прыжков трёхголового. Значит, трёхголовый бежит быстрее.

7 класс. Решения.

1. Петя обменивался наклейками. Одну наклейку он меняет на 5 других. Вначале у него была 1 наклейка. Сколько наклеек у него будет после 50 обменов?

Ответ. 201.

Решение. После каждого обмена количество Петиных наклеек увеличивается на 4 (одна наклейка исчезает и появляется 5 новых). После 50 обменов количество наклеек увеличится на 50*4=200. Вначале у Пети была одна наклейка, после 50 обменов будет 1+200=201.

2. Однажды дядя Федор взвесил Шарика и Матроскина. Оказалось, что Шарик на 6 кг тяжелее Матроскина, а Матроскин втрое легче Шарика. Сколько весил Матроскин?

Ответ. 3 кг.

Решение. Так как Матроскин втрое легче Шарика, то Матроскин легче Шарика на два своих веса. По условию это равно 6 кг, т.е. Матроскин весит 6:2=3 кг.

3. Разрежьте фигуру (по границам клеток) на три равные (одинаковые по форме и величине) части.

Ответ.

4. Напишите такие 7 последовательных натуральных чисел, чтобы среди цифр

в их записи было ровно 16 двоек. (Последовательные числа отличаются на 1.)

Ответ. Подойдет любая из следующих двух последовательностей:

2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2221

2229, 2230, 2231, 2232, 2233, 2234, 2235

5. Мама купила коробку кускового сахара (сахар в кубиках). Дети сначала съели верхний слой – 77 кубиков, затем боковой слой – 55 кубиков, наконец, передний слой. Сколько кубиков сахара осталось в коробке?

Ответ. 300 или 0.

Решение. У коробки есть три измерения: высота, ширина и глубина. Чтобы узнать, сколько кубиков в верхнем слое, нужно ширину умножить на глубину, в боковом – высоту на глубину. После того, как был съеден верхний слой, высота уменьшилась на 1, а глубина осталась прежней. Т.е. 77 и 55 должны делиться на глубину исходной коробки. Т.к. у 77 и 55 общие множители только 1 и 11. Если глубина равна 1, то после съедания переднего слоя ничего не осталось. Если считать, что сахар все же остался, то глубина коробки 11. Тогда ширина 77:11=7 кубиков, а высота после того, как верхний слой съеден, 55:11=5 кубиков. После того, как будет съеден боковой слой, ширина уменьшится на 1 (и станет равна 7-1=6 кубиков), а после того, как съедят передний слой, глубина уменьшится на 1 и станет равна 11-1=10. Итого высота оставшегося в коробке сахара 5, ширина – 6, глубина – 10 кубиков. Т.е. в коробке осталось 5*6*10=300 кубиков сахара.

6. Разрежьте квадрат со стороной 4 на прямоугольники, сумма периметров которых равна 25.

Ответ: Например, два прямоугольника 2×0,5 и один прямоугольник 3,5×4.. Суммарный периметр 2*2*(2+0,5)+2*(3,5+4)=25.

8 класс. Решения.

1. Голова рыбы весит столько, сколько хвост и половина туловища,

туловище — столько, сколько голова и хвост вместе. Хвост весит 1 кг.

Сколько весит рыба?

Ответ. 8 кг.

Решение 1. Туловище весит столько, сколько голова и хвост, т.е. два хвоста

и половина туловища. Значит, половина туловища весит как два хвоста,

т.е. туловище весит 4 кг. Тогда голова весит 1+2=3 кг, а вся рыба

4+3+1=8 кг.

Решение 2. Обозначим Г, Т, Х – вес головы, туловища и хвоста

соответственно. Тогда по условию Г=Т/2+X, Т=Г+Х. Откуда Г=(Г+Х)/2+Х,

т.е. Г=3Х. Значит, рыба весит Г+Т+Х=3X+(3Х+Х)+Х=8Х=8 кг.

2. Сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна 555. Может ли

уменьшаемое быть целым числом? Если да, то приведите пример, если нет,

то объясните, почему.

Ответ. Нет.

Решение. Так как сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому, то

сумма уменьшаемого, вычитаемого и разности равна удвоенному

уменьшаемому, т.е. уменьшаемое равно 555/2 – нецелое число.

3. В психиатрической больнице есть главный врач и много сумасшедших. В

течение недели каждый сумасшедший один раз в день кусал кого-нибудь

(возможно и себя). В конце недели оказалось, что у каждого из больных по

два укуса, а у главного врача – сто укусов. Сколько сумасшедших в больнице?

Ответ. 20 сумасшедших.

Решение. Пусть в больнице n сумасшедших. Тогда в конце недели, с одной

стороны, было сделано 7n укусов, а с другой, 2n+100.Т.е.

7n=2n+100, откуда n=20.

4. В пятиугольной звезде, изображенной на рисунке, АСЕ =

АDB и DBЕ = BEC. Известно также, что BD = CE.

Докажите, что ACD = ADC.

Доказательство.

 Пусть АС и AD пересекают отрезок ВЕ в точках K и M соответственно (см. рис.). Из условия задачи следует, что треугольники CEK и DBM равны по стороне и двум прилежащим углам. Следовательно, CK = DM и СKЕ = DMB. Тогда AKЕ = ∆AMB (углы, смежные с равными). Получим, что в треугольнике AMK равны углы, прилежащие к стороне MK, поэтому этот треугольник – равнобедренный (AK = AM). Следовательно, АС = AK + CK = AM + DM = AD, то есть треугольник АСD – также равнобедренный (с основанием CD). Поэтому ∆ACD = ∆ADC, что и требовалось доказать.

5. Дан числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разным буквам соответствуют разные цифры, одинаковым – одинаковые.) Найдите все его решения и докажите, что других нет.

Ответ. 4940+5940=10880

Решение. Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит, переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит, М четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет, то 2Т<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7 – но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880

6. Прямоугольную доску покрасили в три цвета, как показано на рисунке (угловую клетку покрасили в первый цвет, две соседние с ней – во второй, три соседние с только что покрашенными – в третий, следующие соседние с уже покрашенными – снова в первый и т.д.). Может ли для каких-нибудь размеров доски случиться так, что клеток одного цвета будет на

две больше, чем какого-то другого?

Ответ. Нет.

Решение. Пусть размеры доски n×m. Будем отрезать от прямоугольника части, в которых всех цветов поровну. При такой раскраске в любом прямоугольнике 3×1 есть клетки всех цветов, значит в любой полоске 3k×1 всех цветов поровну. Пусть n при делении на 3 дает остаток r: n=3t+r. Отрежем от исходного прямоугольника кусок 3t×m – в этом куске всех цветов поровну. Остался прямоугольник r×m. Пусть n при делении на 3 дает остаток q: m=3s+q. Отрежем от оставшегося прямоугольника r×m кусок r×3s – в нем

всех цветов поровну. Остался прямоугольник r×q. Т.к. r и q – остатки при делении на 3 (т.е. числа 0, 1,2), то всевозможные варианты для оставшегося прямоугольника – это

1) ничего не осталось, т.е. в исходном прямоугольнике клеток всех цветов поровну.

2) остался прямоугольник 1×2. Т.к. в нем присутствуют два цвета, то в исходном прямоугольнике клеток какого-то одного цвета на одну меньше, чем клеток каждого из двух других цветов.

3) остался прямоугольник 2×2. При нашей раскраске в нем будет одна клетка какого-то одного цвета, две – другого и одна – третьего. Т.е. в исходном прямоугольнике клеток какого-то одного цвета на одну больше, чем клеток каждого из двух других цветов.

Итак, во всех возможных вариантах получается, что максимальный разрыв между количеством клеток разных цветов равен 1.

9 класс. Решения.

1. Вместо знаков многоточия вставьте такие числа, чтобы выражение (x2 + …×x + 2) ×(x + 3) = (x + …)×(x2 + …×x + 6) стало тождеством.

Ответ. (x2+3x+2)(x+3)=(x+1)(x2+5x+6)

Решение. Обозначим неизвестные коэффициенты a, b, c соответственно:

(x2+ax+2)(x+3)=(x+b)(x2+cx+6) и приведем к стандартному виду многочлены в левой и правой части:

x3 +(a+3)x2 + (3a+2)x+6 = x3 +(b+c)x2 + (bc+6)x+6b

Данное равенство будет являться тождеством тогда и только тогда, когда одновременно выполняются равенства 6b=6; bc+6=3a+2; b+c=a+3. Решая соответствующую систему уравнений, получим, что b=1; a=3; c=5.

2. Вася вырезал из картона треугольник, разрезал его на два треугольника и послал обе части Пете, который опять сложил из них треугольник. Верно ли, что Петин треугольник обязательно равен вырезанному Васей? Если нет – приведите пример, если да – обоснуйте.

Ответ. Нет.

Например, если Вася разрезал остроугольный треугольник АВС по медиане BD (см. рис. слева), а Петя сложил треугольник так, как это показано на рис.

Получившийся треугольник не равен исходному, т.к. исходный – остроугольный, а получившийся – тупоугольный (А получившегося треугольника равен сумме А иС исходного).

3. Аня и Даня вместе весят 82 кг, Даня и Таня – 74 кг, Таня и Ваня – 75 кг,

Ваня и Маня – 65 кг, Маня и Аня – 62 кг. Кто тяжелее всех и сколько он

весит?

Ответ. Ваня, он весит 43 кг.

Решение. Сложив данные в условии веса: 82+74+75+65+62=358, получим

удвоенный вес всех детей. Т.е. все дети весят 358/2=179.

Аня, Даня, Таня, Ваня в сумме весят 82+75=157, т.е. Маня весит 179-

157=22.

Аналогично находим, что Аня весит 179-(74+65)=40, Даня весит 179-

(75+62)=42, Таня 179-(82+65)=32, Ваня 179-(74+62)=43. Т.о. самый

тяжелый Ваня и он весит 43 кг.

4. Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные

цифры.)

Ответ. 4940+5940=10880

Решение. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит, переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит М – четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет,то 2ТБ<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7,но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880

5. В треугольнике АВС точка М – середина АС, МD и МЕ – биссектрисы

треугольников АВМ и СВМ соответственно. Отрезки ВМ и DE

пересекаются в точке F. Найдите MF, если DE = 7.

Ответ. 3,5

Решение. По свойству биссектрисы из треугольников AMB и CMB получим,

Что   AD/BD=AM/BM и  CE/BE=CM/BM. По условию, АМ = СМ, значит, AD/BD=CE/BE,

следовательно, DE || АС (по теореме, обратной теореме Фалеса, для угла

АВС или же из подобия треугольников DВE и АВС). Тогда F – середина

отрезка DE.

Так как МD и МЕ – биссектрисы смежных углов, то треугольник DME –

прямоугольный. Его медиана МF, проведенная из вершины прямого угла,

равна половине гипотенузы DE.

6. В клетчатом квадрате 6 × 6, вначале пустом, Саша закрашивает по одной клетке, вписывая в каждую только что закрашенную клетку количество граничащих с нею (по стороне) ранее закрашенных клеток. Докажите, что когда будут закрашены все клетки, сумма чисел в них будет равна 60.

Доказательство. Выложим наш квадрат из спичек, в том числе все перегородки между клеточками (длина спички равна стороне клеточки). Вместо того, чтобы закрашивать клетку, будем закрашивать ограничивающие ее спички. Тогда число, записываемое в каждую клетку равно количеству ранее закрашенных спичек, ограничивающих эту клетку. Выкинем все спички, составляющие периметр исходного квадрата. Тогда каждая оставшаяся спичка добавляет 1 в общую сумму (учитывается 1 раз в числе той из двух клеток, разделяемых этой спичкой, которая была закрашена позднее. Таким образом, сумма всех чисел есть количество внутренних перегородок между клетками. А их будет 6*5 вертикальных и 6*5 горизонтальных, т.е. всего 60.

10 класс. Решения.

1. Решите уравнение 1 – (2 – (3 – (...2010 – (2011 – (2012 – x))...))) = 1006.

Ответ. x=2012

Решение. Открыв скобки, получим 1 – 2 + 3 – 4 + … +2011 – 2012 + x =

1006; -1006 + x = 1006; x=2012.

2. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части.

Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину

средней части.

Ответ. 4 км.

Решение. Расстояние между серединами крайних частей складывается из

половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это

число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Т.о. длина среднего

участка равна16*2-28=4.

3. Один из углов трапеции равен 600. Найдите отношение её оснований, если

известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой

трапеции можно описать окружность.

Ответ. 1:3

Решение.

Так как АВСD вписанная, то она равнобедренная, т.е. АВ=СD. Так как

ВАD=600, то АВС=1200. Центр вписанной окружности лежит в точке O пересечения биссектрис BK и AO углов BAD и AВC. Т.к.ABK=600=BAK, то треугольник АВK – равносторонний, значит,биссектриса АO является медианой в этом треугольнике. Биссектриса ОL угла ВСD также проходит через точку О. А так как О – середина ВК, то OL – средняя линия треугольника ABK (проходит через середину ВK и параллельно АВ), следовательно АL=LK. Аналогично LK=KD. Треугольники BCO и LKO – правильные (углы по 600) и их стороны равны (BO=OK), следовательно ВС=LK=AL=KD, т.е. 3ВС=AD.

4. Решите числовой ребус: ТЭТА+БЭТА=ГАММА. (Разные буквы – разные цифры.)

Ответ. 4940+5940=10880

Решение. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Т.к. Г – результат переноса в следующий разряд, то Г =1. Так как A+A заканчивается на А, то А=0. Значит переноса в разряд десятков нет, т.е. Т+Т заканчивается на М, и значит М – четно. Переноса в разряд сотен тоже нет, т.к. иначе нечетное число Э+Э+1 заканчивалось бы на четное М. Т.к. переноса нет, то 2ТБ<10. Возможные варианты 2, 3, 4. Если Т=2, то Э=7, откуда Б=7 – но 7 уже занята. Если Т=3, то М=6, Э=8, откуда Б=6, но 6=М. И последний вариант Т=4. Тогда М=8, Э=9. Откуда Б=5 – противоречия нет. Таким образом, возможен только один вариант: 4940+5940=10880

5. Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо степенью двойки?

Ответ. Нет, не существует.

Решение. Преобразуем: n2012 – 1 = (n1006)2 – 1 = (n1006– 1)(n1006 +1). Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причем эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n1006 – 1 = 2, а

 n1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.

6. В пять 15-литровых ведер налито соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 литров воды. Разрешается утроить количество воды в любом сосуде, налив в него воду из какого-нибудь одного другого (если воды не хватает, чтобы утроить количество, то наливать из этого ведра нельзя). Какое наибольшее количество воды можно такими действиями собрать в одном ведре?

Ответ:  Ответ зависит от понимания условия --- можно ли отливать НЕ всё содержимое ведра (по сути --- можно ли отмерить ОДИН ЛИТР воды)

 А) Если нельзя, то ответ 9 литров

Б) Если можно, то ответ 12 литров

 Решение:

Вариант А) Покажем, как собрать в одном из ведер 9 литров: 1, 2, 3, 4, 5 => 1, 6, 3, 0, 5 => 1, 0, 9, 0, 5.

 Вариант Б) Покажем, как собрать в одном из ведер 12 литров: 1, 2, 3, 4, 5 => 1, 6, 3, 4, 1 => 1, 0, 9, 4, 1 => 1, 0, 1, 12, 1 В любом случае, требуется доказать, что это максимальное число (что нельзя получить БОЛЬШЕЕ)

Пусть максимальное число литров равно n>=9.

Рассмотрим последнюю операцию с этим ведром (хотя бы одна операция была --- иначе n<=5). Т.к. n – максимальное число литров, то последней операцией не могли отливать из этого ведра (т.к. иначе до этого там было еще больше), т.е. в него наливали, поэтому n кратно 3. Во всех ведрах в сумме 15 литров. Заметим, что после каждого шага есть непустое ведро, количество литров в котором кратно трём. (*)

Предположим, что n=15. Тогда на предыдущем шаге было ровно два непустых ведра, в одном из которых 5, а в другом 10 литров. Но ни одно из этих чисел не кратно 3. Противоречие с (*)

Вариант А) Предположим, что n=12. Тогда на предыдущем шаге должно было быть два непустых ведра: 4 и 8 литров.

Тогда, в силу условия (*), оставшиеся 3 литра должны были быть в одном ведре. Но тогда еще на шаг раньше количество воды в ведрах должно было быть 1, 2, 4, 8, что противоречит условию (*).

Тем самым n=9, пример как получить 9 литров приведен выше.

Вариант Б) Тем самым n=12, пример как получить 12 литров приведен выше.

11 класс. Решения.

1. Дорогу длиной 28 километров разделили на три неравные части.

Расстояние между серединами крайних частей равно 16 км. Найдите длину

средней части.

Ответ. 4 км.

Решение. Расстояние между серединами крайних частей складывается из

половин крайних участков и целого среднего участка, т.е. удвоенное это

число равно длине дороги плюс длина среднего участка. Т.о. длина среднего

участка равна 16*2-28=4.

2. На координатной плоскости (x, y) изобразите множество всех точек, для

которых y2 − y = x2 − x.

Ответ. Прямые у=х и у=1-х

Решение. y2 − y = x2 − x y2 − x2=y − x (y − x)( y +x)= y − x y=x или y +

x=1

3. Один из углов трапеции равен 60o. Найдите отношение её оснований, если

известно, что в эту трапецию можно вписать окружность и около этой

трапеции можно описать окружность.

Ответ. 1:3

Решение.

Так как АВСD вписанная, то она равнобедренная, т.е. АВ=СD. Так как

ВАD=600, то АВС=1200. Центр вписанной окружности лежит в точке O пересечения биссектрис BK и AO углов BAD и AВC. Т.к. ABK=600=BAK, то треугольник АВK – равносторонний, значит, биссектриса АO является медианой в этом треугольнике. Биссектриса ОL угла ВСD также проходит через точку О. А так как О – середина ВК, то OL – средняя линия треугольника ABK (проходит через середину ВK и параллельно АВ), следовательно АL=LK. Аналогично LK=KD. Треугольники BCO и LKO – правильные (углы по 600) и их стороны равны (BO=OK), следовательно ВС=LK=AL=KD, т.е. 3ВС=AD.

4. Существует ли натуральное n такое, что число n2012 – 1 является какой-либо степенью двойки?

Ответ. Нет, не существует.

Решение. Преобразуем: n2012 – 1 = (n1006)2 – 1 = (n1006– 1)(n1006 +1). Предположим, что данное число является степенью двойки, тогда каждый из двух полученных множителей также является степенью двойки, причем эти множители отличаются на 2. Это возможно только в одном случае, если n1006 – 1 = 2, а

 n1006 + 1 = 4, но таких натуральных n не существует.

5. Решите систему уравнений:

х+у=1,

 х+у+соs2z=2.

Ответ: x = y = 1; z =/2+п, где n Z

Решение. Из первого уравнения x,y оба положительны или оба отрицательны. Но из второго уравнения x+y>=1, поэтому они оба положительны. Тогда, применив неравенство о средних и использовав первое уравнение системы, получим:

 y ≥2√ xy =2x .

Так как zR cos2z≥0, то из второго уравнения следует, что x + y = 2 и cos z = 0.

Откуда x = y =1; z =/2+п, где n Z .

Замечание. Можно было не использовать неравенство о средних, а заменить во втором уравнении 2 на 2xy (это можно сделать, т.к. xy=1), перенести в другую часть и выделить полный квадрат.

6. Можно ли сложить сплошную стенку, имеющую форму параллелепипеда с размерами 27 × 16 × 15, а) из кирпичей размером 3 × 5 × 7; б) из кирпичей размером 2 × 5 × 6, если ломать кирпичи нельзя, но можно поворачивать?

Ответ. а) нет; б) нет.

Решение. а) Заметим, что объем одного кирпича 3*5*7 кратен 7. Из таких кирпичей можно сложить только стенку, объем которой кратен 7. А у нас объем стенки не кратен 7.

б) Предположим, что выложить можно. Посмотрим на грань стенки размера 27×15. На ней видны следы кирпичей 2 × 5 × 6, т.е. прямоугольники 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6 в зависимости от того, какой стороной кирпич примыкает к грани. Таким образом, прямоугольник 27×15 нечетной площади должен быть замощен прямоугольниками 2 × 5, 5 × 6, 2 × 6, площадь каждого из которых четна, – противоречие.