Рабочие программы по математике, алгебре, геометрии, физике
рабочая программа по алгебре (8 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красноалександровская основная  общеобразовательная школа Шебекинского района Белгородской области»

Рабочая программа

по предмету

«алгебра»

8 класс

Курлыкина Татьяна Ивановна

учитель математики

2013

Рабочая программа по предмету «Алгебра» для 8 класса составлена на основе авторской программы Макарычевы Ю.Н.и др., составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г.

Данная рабочая программа составлена для изучения алгебры по учебнику Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б., под редакцией Теляковского С.А. «Алгебра 8 класс»  (издательство «Просвещение» М. 2012 год).

Изучение алгебры в 8 классе направлено на достижение следующих целей: 

• продолжить овладевать системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
• продолжить интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе, свойственных математической деятельности: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, пространственных представлений, способности к преодолению трудностей;
• продолжить формировать представление об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
• продолжить воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Задачи:

В ходе преподавания алгебры в 8 классе, работы над формированием у учащихся перечисленных в программе знаний и умений, следует обращать внимание на то, чтобы они овладевали умениями общеучебного характера, разнообразными способами деятельности, приобретали опыт:

• планирования и осуществления алгоритмической деятельности, выполнения заданных и конструирования новых алгоритмов;
• решения разнообразных классов задач из различных разделов курса, в том числе задач, требующих поиска пути и способов решения;
• исследовательской деятельности, развития идей, проведения экспериментов, обобщения, постановки и формулирования новых задач;
• ясного, точного, грамотного изложения своих мыслей в устной и письменной речи, использования различных языков математики (словесного, символического, графического), свободного перехода с одного языка на другой для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
• проведения доказательных рассуждений, аргументации, выдвижения гипотез и их обоснования;
• поиска, систематизации, анализа и классификации информации, использования разнообразных информационных источников, включая учебную и справочную литературу, современные информационные технологии.

Согласно авторской программе Макарычева Ю.Н. Алгебра.7-9 классы, составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г., на изучение алгебры отводится -  3 ч в неделю в I-IV четвертях, всего 102 часа. Согласно приказу МБОУ «Красноалександровская ООШ»  от 15 августа 2013 года № 53 «Об утверждении календарного учебного графика на 2013-2014 учебный год» в 8 классе отводится 35 учебных недель, поэтому в разделе «Повторение» добавлено 3 часа в начале учебного года, с целью повторения материала за 7 класс. Всего -105 часов.

Учебно-методический комплект:

Учебник для общеобразовательных учреждений «Алгебра 8 класс»  (издательство «Просвещение» М. 2012 год), авторов Макарычева Ю.Н., Миндюка Н.Г., Нешкова К.И., Суворовой С.Б., под редакцией Теляковского С.А.

Авторская программа Макарычева Ю.Н., составитель Т.А. Бурмистрова. «Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра 7-9 классы». Издательство «Просвещение». Москва. 2010 г

Рабочая программа рассчитана на 105 часов.

 Из них текущих контрольных работ – 9:

 -контрольная работа № 1 по теме «Сложение и вычитание рациональных дробей»;

-контрольная работа № 2 по теме «Умножение и деление рациональных дробей»;

-контрольная работа № 3 по теме «Квадратный корень и его свойства»;

-контрольная работа № 4 по теме «Преобразование выражений, содержащих квадратные корни»;

-контрольная работа № 5 по теме « Квадратные уравнения»;

-контрольная работа № 6 по теме «Решение дробных иррациональных уравнений»;

-контрольная работа № 7 по теме «Свойства числовых неравенств»;

-контрольная работа № 8 по теме «Решение неравенств и систем неравенств с одной переменной»;

-контрольная работа № 9 по теме «Степень с целым показателем, действия над приближенными значениями»

итоговая контрольная работа – 1:

-итоговая контрольная работа № 10.

итоговое тестирование - 1

Формы контроля: контрольная работа, тестирование

Содержание  учебного материала.

Учебно-тематический план

        1.Рациональные дроби.

Рациональная дробь. Основное свойство дроби, сокращение дробей. Сложение, вычитание, умножение и деление дробей. Преобразования рациональных выражений.

        2.Квадратные корни.

Понятие об иррациональном числе. Общие сведения о действительных числах. Квадратный корень, приближенное значение квадратного корня. Свойства квадратных корней. Преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Функция у =  х, ее свойства и график.

3.Квадратные уравнения.

Квадратное уравнение. Формулы корней квадратного уравнения. Теорема Виета. Решение рациональных уравнений. Решение задач, приводящих к квадратным и рациональным уравнениям.

4.Неравенства.

Числовые неравенства и их свойства. Почленное сложение и умножение числовых неравенств. Применение свойств неравенств к оценке значения выражения. Линейное неравенство с одной переменной. Система линейных неравенств с одной переменной.

5. Степень с целым показателем .Элементы статистики.

Степень с целым показателем и ее свойства. Стандартный втд числа. Запись приближенных  значений. (Действия над приближенными значениями).

Сбор и группировка статистических данных. Наглядное представление статистической информации.

6. Повторение. 

Повторение основных вопросов курса. Решение  примеров и задач по основным темам.

Календарно тематическое планирование

Окончание табл.

Средства контроля:

СРОКИ  ПРОВЕДЕНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Контрольная работа № 1

В а р и а н т  1

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при а = 0,2; b = –5.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях а является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  2

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                    в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при х = –8, у = 0,1.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях b является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  3

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при b = 0,5; c = –14.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях р является целым числом значение выражения ?

В а р и а н т  4

1. Сократить дробь:

а) ;                б) ;                        в) .

2. Представить в виде дроби:

а) ;        б) ;        в) .

3. Найти значение выражения:

  при р = –0,35, q = 28.

4. Упростить выражение:

.

5. При каких целых значениях х является целым числом значение выражения ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а) ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при а = 0,2, b = –5:  = 25.

4.

.

5. .

Чтобы исходное выражение принимало целые значения, нужно, чтобы  было целым числом.

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  2

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

     в) .

3. ,

при х = –8, у = 0,1:  = –40.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±5.

В а р и а н т  3

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при b = 0,5; c = –14:  = 4.

4.

.

5.

.

О т в е т: ±1; ±3.

В а р и а н т  4

1. а) ;          б) ;

    в) .

2. а)

        ;

    б) ;

    в) .

3. ,

при р = –0,35, q = 28:  = 20.

4.

.

5. .

О т в е т: ±1; ±7.

Контрольная работа № 2

В а р и а н т  1

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях b ≠ ±1 значение выражения не зависит от b.

4. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  2

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях х ≠ ±2 значение выражения  не зависит от х.

4. При каких значениях b имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  3

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает положительные значения?

3. Докажите, что при всех значениях y ≠ ±3 значение выражения  не зависит от у.

4. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

В а р и а н т  4

1. Представьте в виде дроби:

а) ;                        б) ;

в) ;                        г) .

2. Постройте график функции y = . Какова область определения функции? При каких значениях х функция принимает отрицательные значения?

3. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±5 значение выражения  не зависит от а.

4. При каких значениях у имеет смысл выражение ?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) ;   б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение: .

1)

    ;

2) ;

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении b данное выражение равно 2, то есть не зависти от b.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: а ≠ 1,5; а ≠ .

В а р и а н т  2

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (–∞; 0).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 0.

Таким образом, при любом значении х данное выражение равно нулю, то есть не зависит от х.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: b ≠ 0,5; b ≠ 1,5.

В а р и а н т  3

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает положительные значения при х (0; +∞).

3. Упростим выражение:

.

1)

    ;

2) ;

3)  = 3.

Таким образом, при любом значении у данное выражение равно 3, то есть не зависит от у.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: х ≠ 2; х ≠ .

В а р и а н т  4

1. а) ;

    б) ;

    в) ;

    г)

    .

2. y = .

Область определения функции: (–∞; 0) (0; +∞).

Функция принимает отрицательные значения при х (0; +∞).

3. Упростим данное выражение:

.

1)

.

2) .

3)  = 2.

Таким образом, при любом значении а данное выражение равно 2, то есть не зависит от a.

4. Чтобы выражение  имело смысл, должны выполняться два условия:

О т в е т: у ≠ –3; у ≠ .

Контрольная работа № 4

В а р и а н т  1

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                        б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях а дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  2

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                        б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  3

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях х дробь  принимает наибольшее значение?

В а р и а н т  4

1. Упростите выражение:

а) ;         б) ;         в) .

2. Сравните:  и .

3. Сократите дробь:

а) ;                б) .

4. Освободите дробь от знака корня в знаменателе:

а) ;                б) .

5. Докажите, что значение выражения  есть число рациональное.

6. При каких значениях р дробь  принимает наибольшее значение?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а)

          ;

    б)

           = 10 – 6 = 4;

    в) .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

           .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях а.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при а = 0.

О т в е т: при а = 0.

В а р и а н т  2

1. а)

        = 0;

    б)

        = 15 – 10 = 5;

    в)

        .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) + 2.

4. а) ;

    б)

           – 6.

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  3

1. а)

        ;

    б)

            = 10 – 4 = 6;

    в) .

2. ,

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

           .

5.

    .

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях х.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при х = 0.

О т в е т: при х = 0.

В а р и а н т  4

1. а)

           ;

    б)

           = 12 + 9 = 21;

    в)

           .

2. ;

.

Так как , то .

3. а) ;

    б) .

4. а) ;

    б)

          .

5.

         = –1.

Значит, значение исходного выражения есть число рациональное.

6. .

Выражение  принимает положительные значения при всех допустимых значениях р.

Дробь  будет наибольшей, если её знаменатель – наименьший, а выражение  принимает наименьшее значение при р = 0.

О т в е т: при р = 0.

Контрольная работа № 5

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) 2х2 + 7х – 9 = 0;                        в) 100х2 – 16 = 0;

б) 3х2 = 18х;                                г) х2 – 16х + 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.

3. В уравнении х2 + рх – 18 = 0 один из его корней равен –9. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) 3х2 + 13х – 10 = 0;                        в) 16х2 = 49;

б) 2х2 – 3х = 0;                                г) х2 – 2х – 35 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.

3. Один из корней уравнения х2 + 11х + q = 0 равен –7. Найдите другой корень и свободный член q.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) 7х2 – 9х + 2 = 0;                        в) 7х2 – 28 = 0;

б) 5х2 = 12х;                                г) х2 + 20х + 91 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.

3. В уравнении х2 + рх + 56 = 0 один из его корней равен –4. Найдите другой корень и коэффициент р.

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) 9х2 – 7х – 2 = 0;                        в) 5х2 = 45;

б) 4х2 – х = 0;                                г) х2 + 18х – 63 = 0.

2. Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь 24 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.

3. Один из корней уравнения х2 – 7х + q = 0 равен 13. Найдите другой корень и свободный член q.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) 2х2 + 7х – 9 = 0.

1-й  с п о с о б. D = 72 – 4 · 2 · (–9) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 1;

x2 =  = –4,5.

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит, х1 = 1, х2 = ,  то есть  х1 = 1,

 х2 =  = –4,5.

б) 3х2 = 18х;

    3х2 – 18х = 0;

    3х (х – 6) = 0;

    х = 0      или      х = 6.

в) 100х2 – 16 = 0;

    100х2 = 16;

    х2 = ;

    х2 = ;

    х = ;

    х = ;

    х = ±0,4.

г) х2 – 16х + 63 = 0.

1-й  с п о с о б. D1 = (–8)2 – 63 = 64 – 63 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 8 +  = 9;   x2 = 8 –  = 7.

2-й  с п о с о б. По теореме, обратной теореме Виета, имеем:

х1 + х2 = 16,   х1 · х2 = 63. Подбором получаем: х1 = 9, х2 = 7.

О т в е т: а) –4,5; 1; б) 0; 6; в) ±0,4; г) 7; 9.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (10 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:

х (10 – х) = 24;

10х – х2 – 24 = 0;

х2 – 10х + 24 = 0;

D1 = (–5)2 – 1 · 24 = 25 – 24 = 1, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 5 +  = 6;   x2 = 5 –  = 4.  Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 6 см.

3. Пусть х1 = –9 и х2 – корни уравнения х2 + рх – 18 = 0, тогда по теореме Виета: –9 + х2 = –р и –9 · х2 = –18.

Имеем: х2 = ; х2 = 2 и –9 + х2 = –р, отсюда р = 7.

О т в е т: х2 = 2; р = 7.

В а р и а н т  2

1. а) 3х2 + 13х – 10 = 0.

D = 132 – 4 · 3 · (–10) = 169 + 120 = 289, D > 0, 2 корня.

х1 = ;

х2 =  = –5.

б) 2х2 – 3х = 0;

     х (2х – 3) = 0;

     х = 0         или        2х – 3 = 0;

                                х = ;

                                х = 1,5.

в) 16х2 = 49.

    х2 = ;

    х = ±;

    х = ±;

    х = ±1,75.

г) х2 – 2х – 35 = 0.

D1 = (–1)2 – 1 · (–35) = 1 + 35 = 36, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 1 +  = 1 + 6 = 7;

x2 = 1 –  = 1 – 6 = –5.

О т в е т: а) –5; ; б) 0; 1,5; в) ±1,75; г) –5; 7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (15 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 56 см2, составим уравнение:

х (15 – х) = 56;

15х – х2 – 56 = 0;

х2 – 15х + 56 = 0;

D = (–15)2 – 4 · 1 · 56 = 225 – 224 = 1, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 8;     x2 =  = 7.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 7 см; 8 см.

3. Пусть х1 = –7 и х2 – корни уравнения х2 + 11х + q = 0, тогда по теореме Виета: –7 + х2 = –11 и –7 · х2 = q.

Имеем: х2 = –11 + 7, х2 = –4   и   –7 · (–4) = q, отсюда q = 28.

О т в е т: х2 = –4; q = 28.

В а р и а н т  3

1. а) 7х2 – 9х + 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–9)2 – 4 · 7 · 2 = 81 – 56 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 1;

х2 = .

2-й  с п о с о б. a + b + c = 0, значит, х1 = 1, х2 = , то есть х1 = 1,

х2 = .

б) 5х2 = 12х.

    5х2 – 12х = 0;

    х (5х – 12) = 0;

    х = 0        или        5х – 12 = 0;

                                5х = 12;

                                х = ;

                                х = 2,4.

в) 7х2 – 28 = 0.

    7х2 = 28;

    х2 = 4;

    х = ±;

    х = ±2.

г) х2 + 20х + 91 = 0.

D1 = 102 – 1 · 91 = 100 – 91 = 9, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –10 +  = –10 + 3 = –7;

x2 = –10 –  = –10 – 3 = –13.

О т в е т: а) 1; ; б) 0; 2,4; в) ±2; г) –13; –7.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (13 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 36 см2, составим уравнение:

х (13 – х) = 36;

13х – х2 – 36 = 0;

х2 – 13х + 36 = 0;

D = (–13)2 – 4 · 1 · 36 = 169 – 144 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 9;     х2 =  = 4.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 4 см; 9 см.

3. Пусть х1 = –4 и х2 – корни уравнения х2 + рх + 56 = 0, тогда по теореме Виета: –4 + х2 = –р и –4 · х2 = 56.

Имеем: х2 = ;   х2 = –14  и  –4 + (–14) = –р,  отсюда р = 18.

О т в е т: х2 = –14; р = 18.

В а р и а н т  4

1. а) 9х2 – 7х – 2 = 0.

1-й  с п о с о б. D = (–7)2 – 4 · 9 · (–2) = 49 + 72 = 121, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 1;

х2 = .

2-й  с п о с о б.  a + b + c = 0,  значит,  х1 = 1,  х2 = ,  то есть  х1 = 1,
х2 = .

б) 4х2 – х = 0.

    х (4х – 1) = 0;

    х = 0         или        5х – 12 = 0;

                                4х – 1 = 0;

                                4х = 1;

                                х = ;

                                х = 0,25.

в) 5х2 = 45.

    х2 = ;

    х2 = 9;

    х = ± ;

    х = ±3.

г) х2 + 18х – 63 = 0.

D1 = 92 – 1 · (–63) = 81 + 63 = 144, D1 > 0, 2 корня.

x1 = –9 +  = –9 + 12 = 3;

x2 = –9 –  = –9 – 12 = –21.

О т в е т: а) ; 1; б) 0; 0,25; в) ±3; г) –21; 3.

2. Пусть х см – одна сторона прямоугольника, тогда вторая сторона  см, что составляет (11 – х) см. Зная, что площадь прямоугольника равна 24 см2, составим уравнение:

х (11 – х) = 24;

11х – х2 – 24 = 0;

х2 – 11х + 24 = 0;

D = (–11)2 – 4 · 1 · 24 = 121 – 96 = 25, D > 0, 2 корня.

х1 =  = 8;     х2 =  = 3.

Оба корня удовлетворяют условию задачи.

О т в е т: 3 см; 8 см.

3. Пусть х1 = 13 и х2 – корни уравнения х2 – 7х + q = 0, тогда по теореме Виета: 13 + х2 = 7 и 13 · х2 = q.

Имеем: х2 = 7 – 13, х2 = –6 и 13 · (–6) = q, отсюда q = –78.

О т в е т: х2 = –6; q = –78.

Контрольная работа № 6

В а р и а н т  1

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по одной дороге длиной 27 км, а обратно возвращался по другой дороге, которая была короче первой на 7 км. Хотя на обратном пути велосипедист уменьшил скорость на 3 км/ч, он все же на обратный путь затратил времени на 10 минут меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из А в В?

В а р и а н т  2

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 2.

2. Катер прошёл 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

В а р и а н т  3

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 3.

2. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив на обратном пути скорость на 4 км/ч, велосипедист затратил на 1 час меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?

В а р и а н т  4

1. Решите уравнение:

а) ;                б)  = 2.

2. Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч?

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) . Общий знаменатель х2 – 9.

          х2 = 12 – х;

          х2 + х – 12 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 3; х2 = –4.

Если х = 3, то х2 – 9 = 0.

Если х = –4, то х2 – 9 ≠ 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 2).

    6х + 5(х – 2) = 3х(х – 2);

    6х + 5х – 10 – 3х2 + 6х = 0;

    –3х2 + 17х – 10 = 0;

    3х2 – 17х + 10 = 0.

D = (–17)2 – 4 · 3 · 10 = 289 – 120 = 169, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 5;

x2 = .

Если х = 5, то х (х – 2) ≠ 0.

Если х = , то х (х – 2) ≠ 0.

О т в е т: а) –4; б) ; 5.

2. Пусть х км/ч – скорость велосипедиста, с которой он ехал из А в В, тогда (х – 3) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 10 мин ( часа) меньше, составим уравнение:

 –  = . Общий знаменатель 6х (х – 3).

162(х – 3) – 120х – х(х – 3) = 0;

162х – 486 – 120х – х2 + 3х = 0;

х2 – 45х + 486 = 0.

D = (–45)2 – 4 · 486 = 81, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 27;

x2 =  = 18.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = 27 не удовлетворяет условию задачи (слишком большая скорость для велосипедиста).

О т в е т: 18 км/ч.

В а р и а н т  2

1. а) . Общий знаменатель х2 – 16.

          3х + 4 = х2;

          х2 – 3х – 4 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета х1 = 4; х2 = –1.

Если х = 4, то х2 – 16 = 0.

Если х = – 1, то х2 – 16 ≠ 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 5).

    3х + 8(х – 5) = 2х(х – 5);

    3х + 8х – 40 – 2х2 + 10х = 0;

    –2х2 + 21х – 40 = 0;

    2х2 – 21х + 40 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 2 · 40 = 441 – 320 = 121, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 8;

x2 =  = 2,5.

Если х = 8, то х (х – 5) ≠ 0.

Если х = 2,5, то х (х – 5) ≠ 0.

О т в е т: а) –1; б) 2,5; 8.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью  (х – 3) км/ч,  по  течению – (х + 3) км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 3)(х + 3).

12х(х + 3) + 5х(х – 3) = 18(х – 3)(х + 3);

12х2 + 36х + 5х2 – 15х – 18х2 + 162 = 0;

х2 – 21х – 162 = 0.

D = (–21)2 – 4 · 162 = 441 + 648 = 1089, D > 0, 2 корня.

x1 =  = 27;

x2 =  = –6.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но х = –6 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 27 км/ч.

В а р и а н т  3

1. а) . Общий знаменатель х2 – 1.

          х2 = 4х + 5;

          х2 – 4х – 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –1.

Если х = 5, то х2 – 1 ≠ 0.

Если х = –1, то х2 – 1 = 0.

б)  = 3. Общий знаменатель х (х – 3).

    5х – 8(х – 3) = 3х(х – 3);

    5х – 8х + 24 – 3х2 + 9х = 0;

    3х2 – 6х – 24 = 0;

    х2 – 2х – 8 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 4; х2 = –2.

Если х = 4, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –2, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 5; б) –2; 4.

2. Пусть х км/ч – скорость, с которой велосипедист ехал из А в В, тогда (х + 4) км/ч – скорость, с которой он ехал обратно. На путь из А в В он затратил  ч, а обратно  ч. Зная, что на обратный путь он затратил на 1 ч меньше, составим уравнение:

 –  = 1. Общий знаменатель х (х + 4).

48(х + 4) – 40х – х(х + 4) = 0;

48х + 192 – 40х – х2 – 4х = 0;

х2 – 4х – 192 = 0.

D1 = (–2)2 + 192 = 196, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 2 +  = 2 + 14 = 16;

x2 = 2 –  = 2 – 14 = –12.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –12 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 16 км/ч.

В а р и а н т  4

1. а) . Общий знаменатель х2 – 4.

        5х + 14 = х2;

        х2 – 5х – 14 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 7; х2 = –2.

Если х = 7, то х2 – 4 ≠ 0.

Если х = –2, то х2 – 4 = 0.

б)  = 2. Общий знаменатель х (х – 3).

     8х – 10(х – 3) – 2х(х – 3) = 0;

     8х – 10х + 30 – 2х2 + 6х = 0;

     2х2 – 4х – 30 = 0;

     х2 – 2х – 15 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета, х1 = 5; х2 = –3.

Если х = 5, то х (х – 3) ≠ 0.

Если х = –3, то х (х – 3) ≠ 0.

О т в е т: а) 7; б) –3; 5.

2. Пусть х км/ч – собственная скорость катера, тогда против течения он шёл  со  скоростью (х – 2)  км/ч,  по  течению – (х + 2)  км/ч  и  по  озеру – х км/ч. Против течения он шёл  ч, по течению  ч, а по озеру он шёл бы  ч. Зная, что на все плавание по реке он затратил бы столько же времени, сколько на плавание по озеру, составим уравнение:

 +  = . Общий знаменатель х (х – 2)(х + 2).

15х(х + 2) + 6х(х – 2) – 22(х – 2)(х + 2) = 0;

15х2 + 30х + 6х2 – 12х – 22х2 + 88 = 0;

х2 – 18х – 8 = 0.

D1 = (–9)2 + 88 = 169, D1 > 0, 2 корня.

x1 = 9 +  = 9 + 13 = 22;

x2 = 9 –  = 9 – 13 = –4.

Ни один из корней не обращает знаменатель в нуль, но корень х = –4 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 22 км/ч.

Контрольная работа № 7

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Для получения отметки «3» достаточно выполнить первые два задания. Для получения отметки «5» необходимо выполнить любые четыре задания. Если выполнены все пять заданий, учащийся может получить дополнительную оценку.

В а р и а н т  1

1. Докажите неравенство:

а) (x – 2)2 > x(x – 4);            б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что а < b. Сравните:

а) 21а и 21b;            б) –3,2а и –3,2b;            в) 1,5b и 1,5а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 2,6 << 2,7. Оцените:

а) 2;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 2,6 < а < 2,7,   1,2 < b < 1,3.

5. К каждому из чисел 2, 3, 4 и 5 прибавили одно и то же число а. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности с произведением средних членов.

В а р и а н т  2

1. Докажите неравенство:

а) (x + 7)2 > x(x + 14);            б) b2 + 5 ≥ 10(b – 2).

2. Известно, что а > b. Сравните:

а) 18а и 18b;            б) –6,7а и –6,7b;            в) –3,7b и –3,7а.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,1 << 3,2. Оцените:

а) 3;            б) –.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами а см и b см, если известно, что 1,5 < а < 1,6,   3,2 < b < 3,3.

5. Даны  четыре  последовательных  натуральных  числа.  Сравните  произведение первого и последнего из них с произведением двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. Докажите неравенство:

а) (x – 3)2 > x(x – 6);            б) у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).

2. Известно, что х < у. Сравните:

а) 8х и 8у;            б) –1,4х и –1,4у;            в) –5,6у и –5,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,6 << 3,7. Оцените:

а) 3;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами х см и у см, если известно, что 1,1 < х< 1,2,   1,5 < у < 1,6.

5. Даны три последовательных натуральных числа. Сравните квадрат среднего из них с произведением двух других.

В а р и а н т  4

1. Докажите неравенство:

а) (x + 1)2 > x(x + 2);            б) a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

2. Известно, что х > у. Сравните:

а) 13х и 13у;            б) –5,1х и –5,1у;            в) 2,6у и 2,6х.

Результат сравнения запишите в виде неравенства.

3. Известно, что 3,3 << 3,4. Оцените:

а) 5;            б) –2.

4. Оцените периметр и площадь прямоугольника со сторонами с см и b см, если известно, что 4,6 < с < 4,7,   6,1 < b < 6,2.

5. К каждому из чисел 6, 5, 4 и 3 прибавили одно и то же число т. Сравните произведение средних членов получившейся последовательности с произведением крайних членов.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) (x – 2)2 – x(x – 4) = x2 – 4x + 4 – x2 + 4x = 4 > 0, значит,

        (x – 2)2 > x(x – 4).

б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,

    значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

О т в е т: а) 21а < 21b; б) –3,2а > –3,2b; в) 1,5b > 1,5а.

3. а) 2,6 << 2,7;                        б) 2,6 << 2,7

           5,2 < 2< 5,4;                            –2,7 < –< –2,6.

О т в е т: а) 5,2 < 2< 5,4; б) –2,7 < –< –2,6.

4.      S = a ∙  b см2;                               P = 2(a + b) см;

            2,6 < а < 2,7                                  2,6 < а < 2,7

            1,2 < b < 1,3                                           1,2 < b < 1,3               

2,6 · 1,2 < a · b < 2,7 · 1,3                  2,6 + 1,2 < a + b < 2,7 + 1,3

         3,12 < ab < 3,51                          2 · 3,8 < 2(a + b) < 2 · 4

         3,12 < S < 3,51                            7,6 < 2(a + b) < 8,0

                                                        7,6 < Р < 8,0

О т в е т: 3,12 < S < 3,51; 7,6 < Р < 8,0.

5. Пусть 2 + а, 3 + а, 4 + а, 5 + а – полученная последовательность.

(2 + а)(5 + а) – (3 + а)(4 + а) = 10 + 2а + 5а + а2 – 12 – 3а – 4а – а2 =
= –2 < 0, значит, произведение крайних членов последовательности меньше произведения её средних членов.

В а р и а н т  2

1. а) (x + 7)2 – x(x + 14) = x2 + 14x + 49 – x2 – 14x = 49 > 0,

        значит, (x + 7)2 > x(x + 14).

б) b2 + 5 – 10(b – 2) = b2 + 5 – 10b + 20 = b2 – 10b + 25 = (b – 5)2 ≥ 0,

    значит, b2 + 5 ≥ 10(b – 2).

О т в е т: а) 18а > 18b; б) –6,7а < –6,7b; в) –3,7b > –3,7а.

3. а) 3,1 << 3,2                        б) 3,1 << 3,2

           9,3 << 9,6;                            –3,2 < –< –3,1.

О т в е т: а) 9,3 << 9,6; б) –3,2 < –< –3,1.

4.      S = a ∙  b см2                        P = 2(a + b) см.

            1,5 < а < 1,6                          1,5 < а < 1,6

            3,2 < b < 3,3   _                            3,2 < b < 3,3            

     4,80 < ab < 5,28                1,5 + 3,2 < a + b < 1,6 + 3,3

      4,80 < S < 5,28.                 2 · 4,7 < 2(a + b) < 2 · 4,9

                                              9,4 < 2(a + b) < 9,8

                                                9,4 < Р < 9,8.

О т в е т: 4,80 < S < 5,28; 9,4 < Р < 9,8.

5. п, п + 1, п + 2, п + 3 – последовательные натуральные числа.

п (п + 3) – (п + 1) (п + 2) = п2 + 3п – п2 – 2п – п –2 = –2 < 0, значит, произведение первого и последнего числа меньше произведения двух средних чисел.

В а р и а н т  3

1. а) (x – 3)2 – x(x – 6) = x2 – 6x + 9 – x2 + 6x = 9 > 0,

        значит, (x – 3)2 > x(x – 6).

б) у2 + 1 – 2(5у – 12) = у2 + 1 – 10у + 24 = у2 – 10у + 25 = (у – 5)2 ≥ 0,

    значит, у2 + 1 ≥ 2(5у – 12).

О т в е т: а) 8х < 8у; б) –1,4х > –1,4у; в) –5,6у < –5,6х.

3. а) 3,6 << 3,7                        б) 3,6 << 3,7

           10,8 < 3< 11,1.                     7,2 < 2< 7,4

                                                     –7,4 < –2< –7,2.

О т в е т: а) 10,8 < 3< 11,1; б) –7,4 < –2< –7,2.

4.      S = х ∙  у см2                              P = (х + у) см.

         1,1 < х < 1,2                               1,1 < х < 1,2

         1,5 < у < 1,6          _                         1,5 < у < 1,6              

 1,1 · 1,5 < ху < 1,2 · 1,6                1,1 + 1,5 < х + у < 1,2 + 1,6

          1,65 < ху < 1,92                        2 · 2,6 < 2(х + у) < 2 · 2,8

          1,65 < S < 1,92.                          5,2 < 2(х + у) < 5,6.

                                                       5,2 < Р < 5,6.

О т в е т: 1,65 < S < 1,92; 5,2 < Р < 5,6.

5. п, п + 1, п + 2 – последовательные натуральные числа.

(п + 1)2 – п (п + 2) = п2 + 2п + 1 – п2 – 2п = 1 > 0, значит, квадрат среднего числа больше произведения двух других чисел.

В а р и а н т  4

1. а) (x + 1)2 – x(x + 2) = x2 + 2x + 1 – x2 – 2x = 1 > 0,

        значит, (x + 1)2 > x(x + 2).

б) a2 + 1 – 2(3a – 4) = a2 + 1 – 6a + 8 = a2 – 6a + 9 = (a – 3)2 ≥ 0,

    значит, a2 + 1 ≥ 2(3a – 4).

О т в е т: а) 13х > 13у; б) –5,1х < –5,1у; в) 2,6у < 2,6х.

3. а) 3,3 << 3,4                        б) 3,3 << 3,4

           16,5 < 5< 17,0;                    –6,6 > –2> –6,8;

                                                    –6,8 < –2< –6,6.

О т в е т: а) 16,5 < 5< 17,0; б) –6,8 < –2< –6,6.

4.      S = с ∙  b см2                               P = 2(с + b) см

         4,6 < с < 4,7                                  4,6 < с < 4,7

         6,1 < b < 6,2                                       6,1 < b < 6,2              

4,6 · 6,1 < с · b < 4,7 · 6,2                  4,6 + 6,1 < с + b < 4,7 + 6,2

     28,06 < сb < 29,14                        2 · 10,7 < 2(с + b) < 2 · 10,9

     28,06 < S < 29,14.                             21,4 < 2(с + b) < 21,8

                                                        21,4 < Р < 21,8.

О т в е т: 28,06 < S < 29,14; 21,4 < Р < 21,8.

5. 6 + т, 5 + т, 4 + т, 3 + т – полученная последовательность.

(5 + т)( 4 + т) – (6 + т)(3 + т) = 20 + 5т + 4т + т2 – 18 – 6т – 3т –
– т2 = 2 > 0, значит, произведение средних членов последовательности больше произведения её крайних членов.

Контрольная работа № 8

В а р и а н т  1

1. Решите неравенство:

а) x < 5;           б) 1 – 3х ≤ 0;           в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1.

2. При каких а значение дроби  меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях х имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 3x – 7 < является числовой промежуток (–∞; 4)?

В а р и а н т  2

1. Решите неравенство:

а) х ≥ 2;           б) 2 – 7х > 0;           в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4.

2. При каких b значение дроби  больше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 4х + 6 > является числовой промежуток (3; +∞)?

В а р и а н т  3

1. Решите неравенство:

а) х > 1;           б) 1 – 6х ≥ 0;           в) 5(у – 1,4) – 6 < 4у – 1,5.

2. При каких т значение дроби  меньше соответствующего значения выражения т – 6?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях а имеет смысл выражение ?

6. При каких значениях а множеством решений неравенства 5х – 1 < является числовой промежуток (–∞; 2)?

В а р и а н т  4

1. Решите неравенство:

а) х ≤ 2;           б) 2 – 5х < 0;           в) 3(х – 1,5) – 4 < 4х + 1,5.

2. При каких а значение выражения а + 6 меньше соответствующего значения дроби ?

3. Решите систему неравенств:

а)            б)

4. Найдите целые решения системы неравенств

5. При каких значениях т имеет смысл выражение +
+?

6. При каких значениях b множеством решений неравенства 6х + 11 >
>  является числовой промежуток (1; +∞)?

Р е к о м е н д а ц и и   п о   о ц е н и в а н и ю.

Задания 1 и 3 соответствуют уровню обязательной подготовки. Для получения отметки «3» достаточно решить любые 2 задания. Для получения оценки «5» необходимо решить любые 5 заданий.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т  1

1. а) x < 5;

        х < 30;        (–∞; 30).

б) 1 – 3х ≤ 0;

    – 3х ≤ 1;

    х ≥ ;        .

в) 5(у – 1,2) – 4,6 > 3у + 1;

    5y – 6 – 4,6 > 3y + 1;

    5y – 3y > 1 + 6 + 4,6;

    2y > 11,6;

    y > 5,8;        (5,8; +∞).

О т в е т: а) (–∞; 30); б) ; в) (5,8; +∞).

2. < ;

    2(7 + a) < 3(12 – a);

    14 + 2a < 36 – 3a;

    2a + 3a < 36 – 14;

    5a < 22;

        a < 4,4.

О т в е т: при a < 4,4.

3. а)

         (1,5; +∞).

б)

         (1; 1,3).

О т в е т: а) (1,5; +∞); б) (1; 1,3).

4.

О т в е т: 2; 3; 4.

5. Выражение имеет смысл при х, удовлетворяющих системе:

 ≤ x ≤ 6.

О т в е т: при  ≤ x ≤ 6.

6. 3x – 7 <;

    9х – 21 < a;

    9x < a + 21;

    x < ;        .

Множеством решений является числовой промежуток (–∞; 4), если:

 = 4;

а + 21 = 36;

а = 15.

О т в е т: при а = 15.

В а р и а н т  2

1. а) х ≥ 2;

        х ≥ 6;        [6; +∞).

б) 2 – 7х > 0;

    –7x > –2;

    x < ;        .

в) 6(у – 1,5) – 3,4 > 4у – 2,4;

    6y – 9 – 3,4 > 4y – 2,4;

    6y – 4y > 9 + 3,4 – 2,4;

    2y > 10;

    y > 5;        (5; +∞).

О т в е т: а) [6; +∞); б) ; в) (5; +∞).

2.  > ;

    3(b + 4) >2(5 – 2b);

    3b + 12 > 10 – 4b;

    3b + 4b > 10 – 12;

    7b > –2;

    b > .