Решение рациональных уравнений 9 класс
план-конспект урока (алгебра, 9 класс) на тему

                                              9 КЛАСС

Тема:     РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

                                                                Развитие и образование ни одному человеку не могут быть

                                                                даны или сообщены. Всякий, кто желает к ним

                                                                приобщиться, должен достигнуть этого собственной

                                                                деятельностью, собственными силами, собственным

                                                                напряжением. Извне он может получить только

                                                                возбуждение.

                                                                                                                                     А. Дистервег

Цели:

1. Обобщить, углубить знания школьников по изучаемой теме.

2. Способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию творческих способностей учеников путем решения заданий, содержащих модули, параметры.

3. Побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, самоанализу своей учебной деятельности.

    Оборудование: экран, кадоскоп, кодопозитивы, магнитная доска, плакаты 1 – 4. У учащихся на рабочем месте: оценочные листы, карточки со схемами 4 – 5, копировальная бумага.

    Вся работа на этом занятии сопровождается индивидуальным оценочным листом, который рассчитан на два урока..

ОЦЕНОЧНЫЙ ЛИСТ УЧАЩЕГОСЯ

Фамилия         

Имя         

Критерии оценок:

«5» - 30 – 28 баллов, «4» - 27 – 22 балла, «3» - 21 – 16 баллов, «2» - менее 16 баллов.

Ход урока

І. Вводная беседа учителя (2 мин).

- Один начинающий волшебник, герой шуточной песенки, неумело обращался с заклинаниями, в результате вместо грозы у него получилась коза, а вместо утюга – слон. Чтобы решать уравнения, нужно совершать ряд преобразований, и делать это следует очень осмотрительно.

    Например, решая уравнения, мы могли бы рассуждать так:

На самом деле, стараясь «избавиться от всего лишнего», мы допустили бы ошибки. Какие?

- В результате неравносильных преобразований в уравнении 1 потерян корень х = 0, а в примере 2 появился «посторонний» корень х = 1.

- Как же не попасть в подобные ловушки?

- Прежде всего, нужно четко понимать, какие действия нужно выполнить в ходе решения уравнения.

- Сегодня на уроке мы повторим, обобщим, приведем в систему изученные виды, методы и приемы решения рациональных уравнений.

ІІ. Проверка домашнего задания (5 мин).

    (На кадоскопе заранее заготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям. Работа ведется фронтально, но пары обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверку).

Предварительное домашнее задание

Задание 1. Решить уравнения 1 – 12 и провести классификацию уравнений по виду.

                                                                             Ответы

1. (х – 5)2 + 9х =         х = 3.

2. х2 + 0,7 = 0.                                                     Нет действительных корней (Ø).

3. (х – 5) (х + 3) = 9.                       х = -4, х = 6.

4.                             х = -.

5. (х – 5) (х + 3) = 1 – 2х.        х1,2 = ±4.

6. (х – 5) (х + 3) = 3 (х – 5).                                                     х = 0, х = 5.

7. 2 (х + 1) – 1 = 3 – (1 – 2х).                                       Нет действительных корней.

8. 1 – 2х + 4х2 = х2 – 2х + 1.              0.

9. 3 (1 – х) + 2 = 5 – 3х.                             Бесконечное множество корней (х € R).

10. 2х2 + 3х + 4 = 0.                                                    Нет действительных корней (Ø).

11. х2 + 6х + 4 = 0.        х1,2 = -3 ± .

12. 25х2 – 30х + 9 = 0.        х1= х2 = .

В результате выполнения задания получилась схема 1.

Задание 2. Подготовить одну физическую задачу, показывающую, что рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.

    (У доски разбирается наиболее интересный пример.)

    - В результате обсуждения и проверки домашнего задания выясняем сущность решения уравнений.

    Выводы. 

1. Уравнения являются математическими моделями очень многих физических и иных явлений. Поэтому решение различных практических задач сводится к решению уравнений.
2. Уравнением с одним неизвестным называется запись вида А(х) = В(х), в которой А(х) и В(х) – выражение от неизвестной х.
3. Областью определения уравнения называется множество всех значений х, при которых определены обе части уравнения.
4. Корнем или решением уравнения называется значение неизвестного, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство. Решить уравнение – значит найти все его корни иди доказать, что их нет.
5. Линейные и квадратные уравнения решаются по готовым формулам, они называются простейшими. Главная задача при решении любого уравнения – свести его к простейшему.

Результаты выполнения домашнего задания заносятся учащимися в оценочный лист.  Записывается домашнее задание, которое разбирается.

Оценка: «5» - нет ошибок; «4» - 2-3 ошибки; «3» - более 3 ошибок.                      

Схема 1. Классификация рациональных уравнений по виду

                                 ΙΙΙ. Работа по теме урока.

    Этап Ι. (5 мин). Тест (под копировальную бумагу).

    Цель: Проверить навыки решения простейших уравнений.

    Работа проводится по карточкам в двух вариантах, состоящих из 10 уравнений, записанных в столбец. Для выполнения задания учащийся берет полоску бумаги и кладет ее справа от столбца, по которому собирается работать.

    Решая, ученик записывает только ответы; напротив задания, вызвавшего затруднение, ставит прочерк; по истечении времени, отведенного на выполнение теста, по команде учителя листы подписываются и сдаются.

    Учитель открывает заранее записанный на доске список правильных ответов и критерии оценок. Проводится быстрая самопроверка решений (по копиям).

    Результаты теста заносятся в оценочный лист.

    Для оценки работы надо: поставить знак «+» против верного ответа и знак «–» против неверного; подсчитать число плюсов.

    Критерии оценок: «5» - за 10 плюсов; «4» - за 7-9 плюсов; «3» - за 5-7 плюсов; «2» - менее 5 плюсов.

    Этап ΙΙ (15 мин).

    Цель: установить связи между корнями квадратных, линейных уравнений и их коэффициентами.

    На магнитной доске учащимся демонстрируется плакат № 1.

    Требуется указать, о чем идет речь.

    Ответ: 1, 2, 3, 4 – линейные уравнения.

    Уравнение 1 имеет бесконечное множество корней, уравнение 2 – решений не имеет, уравнение 4 имеет один корень, уравнение 3 – линейное уравнение с параметром; в зависимости от значения параметра а уравнение может иметь различное количество корней.

Ребятам предлагается решить уравнение 3: (а2 – 9) х = а2 – 5а + 6.

Решение.

Случай 1. а2 – 9 = 0. Тогда а = -3 или а = 3.

    Если а = -3, то исходное уравнение примет вид 0х = 30 и корней не имеет.

    Если а = 3, то получаем уравнение 0х = 0, для которого любое действительное число является корнем.

Случай 2. а2 – 9 ≠ 0, т.е. а ¢ {-3; 3}.

Выразим х через а:

х =    х =     х =

Ответ: если а = -3, то корней нет; если а = 3, то х € R; если а ¢ {-3; 3}, то один корень х =

    Обобщая результаты решения уравнения 3, получаем схему 2, которая показывает связь числа корней линейного уравнения с его коэффициентами.

Схема 2

Учитель предлагает двум учащимся собрать на доске из заранее подготовленных карточек схему 2 и схему 3, которые отражают связь числа корней квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0  (а ≠0) с его дискриминантом Д = в2 – 4ас и для каждого случая аналитического решения указать геометрическую модель.

Схема 3

    Остальным учащимся демонстрируется плакат № 2.

Вопрос: Что бы означало?

Ответ. (1), (3) – квадратные уравнения с параметром. В этих уравнениях параметр а входит в состав второго коэффициента и свободного члена; (2) – это также уравнение с параметром, но параметр а входит в состав коэффициента при х2 многочлена второй степени. Это уравнение нельзя сразу решить по формулам для отыскания корней квадратного уравнения, т. к. о заданном уравнении мы не можем сказать, квадратное оно или линейное.

Решим уравнение (2) ах2 – 2х + 4 = 0.

Решение. Рассмотрим два случая, когда а = 0 и когда, а ≠ 0.

1. При а = 0, уравнение (2) линейное -2х + 4 = 0. Откуда х = 2.

2. При а ≠ 0, уравнение (2) квадратное. Его дискриминант равен Д = 4 – 16а.

Если Д < 0, т.е. а > , уравнение решений не имеет.

Если Д = 0, т.е. а = , то уравнение имеет один единственный корень х = 4.

Если Д > 0, т.е. а < , то уравнение имеет два корня х1,2 = .

Ответ: если а >, то решений нет; если а = , то х = 4; если а <, а ≠ 0, то есть два корня х1,2 = ; если а = 0, то х = 2.

    Далее ученикам предлагается обобщить результаты домашнего задания, выполнив следующий тест (с взаимоконтролем) (5 мин).

    Работа проводится в двух вариантах. Карточка с заданием выдается каждому ученику.

    По окончании выполнения теста открываются правильные ответы (работа с кадоскопом); учащиеся меняются схемами, проверяют, исправляют ошибки, оценивают работу соседа по следующим критериям:

    Оценка «5» - нет ошибок; «4» - одна ошибка; «3» - две-три ошибки; «2» - более трех.

ТЕСТ

(с взаимоконтролем)

Схема 4

Вариант Ι.

ЗАДАНИЕ. Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами неполного квадратного уравнения и его корнями.

Схема 5

Вариант ІΙ.

ЗАДАНИЕ. Покажите с помощью стрелок связь между коэффициентами полного квадратного уравнения ах2 + вх + с = 0 (а ≠ 0) и его корнями.

   Этап III (9мин).

   Цель: повторить понятие равносильности и алгоритм решения рационального уравнения.

    Итак, основными рациональными уравнениями с одной переменной являются линейные и квадратные уравнения. Все остальные рациональные уравнения приводятся с помощью различных преобразований к этим основным. Как вы знаете:          

Выполнить устно.

Задание 1 (задание на кадоскопе).

Может ли нарушиться равносильность, если выполнить следующее преобразование:

Ответ: нет(1); да (2); да (3); да (4); нет (5).

      Выполнить устно.

      Задание 2. (задание заготовлено заранее на кадоскопе).

      Объясните, какое преобразование было выполнено при переходе от первого уравнения ко второму и может ли оно привести к нарушению равносильности.

      Используя знаки  => ( знак логического  следования) и  <=> ( знак равносильности),  покажите равносильные уравнения и уравнения-следствия.

 (  Учащиеся рисуют знаки фломастером на кодопозитиве).

      В ходе обсуждения получаем таблицу, которую фиксируем в тетрадях и на кодопозитиве.

    Многие уравнения можно решать как переходом к следствию, так и при помощи равносильных преобразований на множестве.

Задание 3.

Решить уравнение  двумя способами.

Чтобы учащиеся могли сравнить два решения, учитель вызывает двух учеников к доске для выполнения этого задания.

Решение.

Способ 1. Применение преобразований, равносильных на множестве (метод равносильных переходов).

Ответ: - 4.

Способ 2. Переход к следствию

Для найденных значений проверим выполнение условия х2 – 4 ≠ 0.

Проверка. х = -4; (-4)2 – 4 ≠ 0 – верно; х = 2; 22 – 4 ≠ 0 – неверно.

Ответ: - 4.

IV. Подведение итогов урока.  Какие этапы урока понравились?

 Какими видами работ хотелось бы заняться на следующем уроке?

 Комментирование  ответов учащихся и выставление оценок за работу

в  классе.

V. Рефлексия.

Ханты-Мансийский автономный округ – Югра

Нижневартовский район

МОУ Новоаганская общеобразовательная средняя школа№2.

                                                               урок в 9классе

                                                                     Учитель математики высшей категории

                                                                      Еремеева Н.Н.

2006 уч.год.