Глава 9_параграф 53. Формула бинома Ньютона
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей
§53. Формула бинома Ньютона
Содержание
ВведениеПроанализируем полученные формулыПредположениеДоказательство формулыБиномиальные коэффициенты
ПримерСвойство биномиальных коэффициентовДля учителяИсточники
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Введение
Известно, что (а + b)2 = а2 + 2аb + b2. Умножив обе части этого тождества на (а + b), получим: (а + b)3= (а2 + 2аb + b2)(а + b) = = а3 + За2b + Заb2 + b3. Аналогично умножив обе части тождества(а + b)3 = а3+ За2b + Заb2 + b3 на (а + b), получим: (а + b)4 = (а3 + За2b + 3 аb2 + b3)(а + b) = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.Итак,(а + b)1 = а + b;(а + b)2 = а2 + 2аb + b2;(а + b)3 = а3 + За2b + 3аb2 + b3;(а + b)4 = а4 + 4а3b + 6а2b2 + 4аb3 + b4.
08.02.2014
*
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
Проанализируем полученные формулы
Замечаем, во-первых, что в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например, в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b)4 — это (а + b)(а + b)(а + b)(а + b) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а4, а3b, а2b2, аb3, b4 с некоторыми коэффициентами.Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Предположение
Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Доказательство формулы
Рассмотрим произведение n двучленов (а + b)(а + b)(а + b)•...• (а + b) и докажем, что коэффициент при одночлене an-kbk равен .В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида an-kbk, нужно из n множителей вида (а + b) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b; тогда автоматически из оставшихся n-k множителей будет взята переменная а. Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно  способами, что и требовалось доказать.    •
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Биномиальные коэффициенты
Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином — двучлен), а коэффициенты биномиальными коэффициентами.
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Пример
Раскрыть скобки в выражении: а) (x + 1)6; б) (а2 - 2b)5.Решение: а) Применим формулу (1), считая, чтоа = x, b= 1, n = 6. Получим:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Свойство биномиальных коэффициентов
В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения (х + 1)n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению (х + I)6). Получим:
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Для учителя
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
08.02.2014
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
*
Источники
Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы
Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики
08.02.2014
*

Слайд 1

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей §53. Формула бинома Ньютона

Слайд 2

Содержание Введение Проанализируем полученные формулы Предположение Доказательство формулы Биномиальные коэффициенты Пример Свойство биномиальных коэффициентов Для учителя Источники 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 2

Слайд 3

Введение Известно, что (а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 . Умножив обе части этого тождества на (а + b ), получим: (а + b ) 3 = (а 2 + 2а b + b 2 )(а + b ) = = а 3 + За 2 b + За b 2 + b 3 . Аналогично умножив обе части тождества ( а + b ) 3 = а 3 + За 2 b + За b 2 + b 3 на (а + b ), получим: ( а + b ) 4 = (а 3 + За 2 b + 3 а b 2 + b 3 )(а + b ) = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4а b 3 + b 4 . Итак, ( а + b ) 1 = а + b ; ( а + b ) 2 = а 2 + 2а b + b 2 ; ( а + b ) 3 = а 3 + За 2 b + 3а b 2 + b 3 ; ( а + b ) 4 = а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 + 4а b 3 + b 4 . 08.02.2014 3 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики

Слайд 4

Проанализируем полученные формулы Замечаем , во-первых, что в правой части любой из формул сумма показателей при переменных в каждом одночлене равна показателю двучлена в левой части. Например , в последней формуле двучлен возводится в четвертую степень и сумма показателей при а и b в каждом слагаемом в правой части равна 4. Впрочем, это понятно, ведь (а + b ) 4 — это (а + b )( а + b )( а + b )( а + b ) и после раскрытия скобок получится многочлен, состоящий из одночленов а 4 , а 3 b , а 2 b 2 , а b 3 , b 4 с некоторыми коэффициентами. Замечаем, во-вторых, что коэффициенты при одночленах в правых частях формул ассоциируются с треугольником Паскаля, о котором мы говорили в § 52. Сравните числа, имеющиеся в первых четырех строках треугольника, с соответствующими коэффициентами при одночленах в каждой из четырех формул. Полное совпадение. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 4

Слайд 5

Предположение Естественно предположить, что подмеченная закономерность сохранится и в общем случае, т. е. для любого натурального значения n верна следующая формула: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 5

Слайд 6

Доказательство формулы Рассмотрим произведение n двучленов ( а + b )( а + b )( а + b )•...• (а + b ) и докажем, что коэффициент при одночлене a n - k b k равен . В самом деле, чтобы, раскрыв скобки, получить одночлен вида a n - k b k , нужно из n множителей вида (а + b ) выбрать k множителей (порядок не важен), откуда берется переменная b ; тогда автоматически из оставшихся n -k множителей будет взята переменная а . Но выбрать k множителей из n имеющихся без учета порядка можно способами, что и требовалось доказать. • 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 6

Слайд 7

Биномиальные коэффициенты Формулу (1) обычно называют формулой бинома Ньютона (бином — двучлен), а коэффициенты биномиальными коэффициентами. 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 7

Слайд 8

Пример Раскрыть скобки в выражении: а) ( x + 1 ) 6 ; б) (а 2 - 2 b ) 5 . Решение : а ) Применим формулу (1), считая, что а = x , b = 1, n = 6 . Получим: 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 8

Слайд 9

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 9

Слайд 10

Свойство биномиальных коэффициентов В заключение получим одно любопытное свойство биномиальных коэффициентов. Составим формулу бинома Ньютона для выражения ( х + 1) n (подобно тому, как в рассмотренном примере мы применили формулу бинома Ньютона к выражению ( х + I) 6 ). Получим : 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 10

Слайд 11

Для учителя 08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 11

Слайд 12

08.02.2014 Цыбикова Тамара Раднажаповна , учитель математики 12

Слайд 13

Источники Алгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009 Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010 Таблицы составлены в MS Word и MS Excel . Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики 08.02.2014 13