Решение задач с помощью квадратных уравнений
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

План открытого урока в 8б классе II отделения 15.05.2013г.

Провела учитель математики Васильева Т.Г.

         Тема: решение задач с помощью квадратных уравнений.

Цель: обучение решению задач с помощью квадратных уравнений, развитие логического мышления, воспитание внимания и умения слушать и отвечать на вопросы, корректировать речь и произношение.

Задачи: знать формулу корней квадратного уравнения и уметь применять ее при решении уравнений, уметь составлять уравнение по условию задачи, внимательно читать вопрос при записи ответа, следить за словесным ударением и правильным произношением звуков.

Оборудование: компьютер, презентация, раздаточный материал.

Ход урока.

I Организационный момент.

Сообщение темы, цели и задач урока.

Тема урока: “Решение задач с помощью квадратных уравнений”. Цель нашего урока: научиться решать задачи с помощью квадратных уравнений. Чтобы достичь этой цели, надо уметь хорошо решать квадратные уравнения, составлять уравнения по условию задачи и, конечно же, следить за речью, правильным произношением звуков, правильным ударением. Запишите тему урока. Домашнюю работу в классе проверять не будем, так как она аналогична классной работе.

II Актуализация знаний.

Учитель.

Мне хочется напомнить вам слова “Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит”.

- Кто сказал это?

- Помните, в прошлом году его 300-летию была посвящена неделя математики.

Если дети не вспомнят, то покажу портрет и, в случае необходимости, назову его имя.

- Вот и начнем приводить ум в порядок.

Выполним тест, задания будут появляться на экране – вы пишите номер задания и ответ.

1) Какое из уравнений является квадратным?

а) 4 – 3х = 0;        б) 5х2 – 2х + 3 = 0;                в) 2х4 – 5х2 = 0

2) Назовите коэффициенты а, b и свободный член с в уравнении

2 – 5х + 3х2 = 0

3) Запишите формулу дискриминанта.

4) Установите соответствие

а) Д ˃ 0                1) корней нет

б) Д = 0                2) два корня

в) Д ˂ 0                3) один корень

5) Вычислите дискриминант квадратного уравнения

2х2 – 3х – 2 = 0

6) Составьте уравнение решения задачи:

Одна сторона прямоугольника на 5 м больше другой, а его площадь равна 84 м2. Найти стороны прямоугольника.

Ответы к тесту.

1) (б);     2) а=3; b=-5;    с=2;     3) D=b2-4ac;      4) а) Д ˃ 0  - два корня

                                                                                                   б) Д = 0   - один корень                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                

                                                                                        в) Д ˂ 0   -нет корней

5)25;        6)х(х+5)=84.

III Работа по теме.

Дома вы повторили формулу площади прямоугольного треугольника. Сейчас она нам будет нужна при решении задачи.

- Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Ученик записывает формулу на доске и формулирует следствие из теоремы о площади треугольника.

Решаем задачу: площадь прямоугольного треугольника равна 180 см2. Найти катеты этого треугольника, если один катет больше другого на 31 см.

Вспомним порядок действий при решении задачи на составление уравнения:

1. Выберем неизвестное, которое обозначим через х.
2. По условию задачи запишем алгебраические выражения.
3. Составим уравнение.
4. Решим его.
5. Анализируем, подходят ли корни уравнения по условию задачи.
6. Если мы получим ответ на вопрос задачи, то делаем проверку.
7. Записываем ответ.

Запомни! Прежде чем записать ответ – прочитай еще раз вопрос задачи.

Ученик у доски выполняет I часть решения.

Учитель.  Что обозначим через х?

Ученик. Обозначим меньший катет через х см.

Учитель. Что сказано про другой катет?

Ученик. Он больше на 31 см.

Учитель. Тогда чему равен другой катет?

Ученик.  Тогда другой катет равен (х + 31)см.

Учитель. На основании, какого условия, можно составить уравнение?

Ученик. Так как площадь треугольника по условию задачи равна

 180 см2, пользуясь формулой, составим уравнение

.

Другой ученик решает уравнение.

Освободимся от знаменателя. Умножим обе части уравнения на 2:

                                           ,

                                х(х + 31) = 360,

                                х2 + 31х – 360 = 0,

       х1,2 = - ,

х1,2 = - ,

х1 = - ,                х2 = = -  = - 40.

Учитель. Значение х=-40 вас не смущает? (Если будут затруднения, то помогает учитель). По условию х ˃ 0, значит  (– 40) не удовлетворяет условию, поэтому длина меньшего катета  равна  9 см, а длина другого катета-

 9 + 31 = 40 (см). Проверим, чему будет равна площадь треугольника  (см2), что и сказано в задаче.

Ответ: 9 см и 40 см.

Физминутка – упражнение на осанку.

Учитель.   Встали. Ноги на ширине плеч. Руки на пояс. Свести плечи максимально вперед по направлению к груди. Исходное положение. Развести плечи максимально назад к спине. Повторить 3 – 5 раз, в среднем темпе. Сели. Продолжаем работу.

Учитель.   Ребята приготовили исторический материал по теме, послушаем их.

Ученики демонстрируют слайды презентации и знакомят с исторической справкой о квадратных уравнениях.

Историческая справка.

Ученик.

Математика отражает развитие человеческой мысли, интеллекта. А когда люди научились решать квадратные уравнения?

Необходимость решать квадратные уравнения была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.

А вот, к примеру, одна из задач древнегреческого ученого Диофанта:

“Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.”

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате индийского математика и астронома Ариабхатты в 499 г.

Багдад IX век. В алгебраическом трактате ал-Хорезми дается классификация квадратных уравнений. Например, его задача: “Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень” (подразумевается корень уравнения х2 + 21 = 10х).

В Европе впервые квадратные уравнения были изложены в “Книге абака”, написанной в 1202 г итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений было сформулировано в Европе лишь в 1544г. М. Штифелем.

Учитель.    После экскурса в историю с новыми силами за самостоятельную работу.

Каждый из вас выберет задачу соответственно своим возможностям и решит ее.

Мы с вами много раз так делали. Задачи разного уровня сложности.

На “5”

1) Найдите катеты прямоугольного треугольника, если их сумма равна 23 см, а гипотенуза 17 см.

На “4”

2) Спортивная площадка имеет форму прямоугольника, длина которого на 5 см больше ширины, а площадь ее 1050 м2. Найдите размеры площадки.

На “3”

3) Произведение двух натуральных чисел равно 221. Найдите эти числа, если одно из них на 4 больше другого.

Учитель. Проверим нашу работу.

-Кто решал задачу о треугольнике?

-Какое составил(ла) уравнение?

-Какой ответ в задаче?

Аналогичная беседа по задачам о прямоугольнике и о произведении натуральных чисел?

Затем демонстрация слайда с ответами.

   Ответ:

На “5”

15 см и 8 см

На “4”

30 см и 35 см

На “3”

13 см и 17 см

Подведем итог урока.

Чем мы занимались на уроке?

 Что было не понятно тебе на уроке?

Какую оценку вы бы поставили Маше (Пете и др.) за работу на уроке? Почему?

Какую оценку поставили бы себе? Почему?

После обсуждения выставляются оценки за урок каждому ученику с учетом результатов теста и самостоятельного решения задач.

Дома: 1) Площадь прямоугольного треугольника 52 см2. Найдите катеты этого треугольника, если один больше другого на 5 см.

 2) Задача Диофанта.

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.

3) Повторить формулу, связывающую скорость, время и расстояние.

Спасибо за работу.

Урок окончен