Урок-путешествие "Экспедиция в математическое государство Аль-Джебра" 6-7 класс
план-конспект урока по алгебре (6 класс) по теме

Экспедиция в математическое государство Аль-Джебра

Цель урока: 1) Познакомить с основными методами решения логических задач: аналогия, сравнение, рассуждения, метод таблиц, принцип Дирихле, метод кругов Эйлера; понятиями апория, софизм и другие; научить применять при решении задач чертежи, схемы, краткие записи, умение выбирать информацию.

2) развивать логическое мышление (умения рассуждать связно, последовательно, доказательно, непротиворечиво); прививать познавательный интерес к предмету (необычная форма проведения урока, содержание задач).

 3) Учить правильно и полно отвечать на вопрос; развивать речь учащихся; контролировать свою деятельность; действовать по предложенному плану; обучать навыкам коллективного обсуждения проблемы; способствовать созданию дружественной атмосферы в классе.

Ход урока:

Учитель:- Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас гости.

1        ученик: - Мы, учащиеся 7   класса, очень любим путешествовать, а еще нам очень нравится решать математические задачи. В 5 классе мы побывали в Арифметическом государстве Карликании. По окончании 6 класса летом мы отправились в другую математическую страну Ал-Джебру. Путешествуя, узнали немало любопытного и полезного из жизни чисел, и сегодня пришли к вам поделиться впечатлениями. Может, и вы захотите отправиться в экспедицию и так же полюбите решать математические задачи.

2        ученик: - Посмотрите    на карту (Рисунок 1), которую мы вам принесли. Наша экспедиция началась   на   острове   ОАЗИС.   Название   его : расшифровывается   так:   Остров Арифметических Загадок и Софизмов. Остров, когда мы прибыли, был совершенно необитаем, хотя там нас и встречали местные жители. Дело в том, что это только один из бесчисленных островов здешнего архипелага. Люди на нем не живут, а приезжают в выходные дни на экскурсии с других островов. 1 ученик: - Высоко на скале мы заметили какие-то высеченные знаки. Настя взяла подзорную трубу и стала читать вслух: «Мапряя, чул, резоток, рипетрем... Абракадабра какая-то. Что бы это значило?» Мимо проходили жители соседнего острова и объяснили нам, что на скале изображены анаграммы, то  есть  слова,  в которых поменяли  местами  все  или несколько букв в сравнении с исходными словами. Еще они заметили, что одно слово высекли на скале по ошибке. А вы можете определить какие это слова и где лишнее?

3        ученик:- Ниже на скале виднелись записи:

Прочитайте утверждения. Какие из них истинные, а какие ложные? 

Далее мы решили спуститься в Пещеру Древних рисунков, но у входа нас поджидал контролер, который согласился нас пропустить только при условии, что мы выполним одно задание. На двери записаны знаки. Нас попросили нарисовать следующие четыре знака. Мы    предлагаем    вам    сделать    вам    то    же    самое:

Ответ: (1,2,3,4,5...)

2 ученик: - В пещере на стенах мы увидели контрольную работу по математике в Бусирской школе. Оказывается, 3 000 лет назад на острове ОАЗИС было государство Бусирия. Ученики Бусирской школы знали только натуральные числа и ноль, умели их складывать и вычитать, а «умножали» их по-бусирски - по правилу:

Записать на доске:

ab=ab + a + b

4        ученик:- Представьте себя учениками бусирской школы и выполните контрольную работу: 1)  Вычислите значения выражений: 23,   49,   0712,   58,   28+38,   (2+3)8.  2)  Выясните, обладает ли бусирское умножение «0» переместительным
свойством: ab = ba?

5 ученик:- Мы долго бродили по острову и очень устали. Наконец мы оказались возле двери. Я уже взялась за ручку, но дверь оказалась запертой: На ней висел замок, а в него была засунута свернутая трубочкой бумажка.

6 ученик немедленно (она все делает немедленно) прочитала:

6 ученик:- «Дверь ведет на Апорийскую дорогу. И хоть длина дороги всего-навсего 1 километр, никто за 25 веков не смог пройти по ней до конца».

5 ученик:  -  А на обороте было написано:

6 ученик: - Ключ находится у сторожа в городе Элее. Номер телефона: одна вторая. Вызвать Зенона. Просят зря не беспокоить!».

5        ученик: - Пришлось позвонить сторожу. И вот какой разговор у меня с ним произошел.

- Товарищ Зенон, почему это никто не мог одолеть один несчастный километр вашей Апорийской... или как она там называется, дороги?

7ученик: - Ясно почему. Надеюсь, Вы согласитесь, что тому, кто хочет дойти до конца пути, никак не миновать его середины?

5ученик: - Что за вопрос! Как же можно дойти до конца, не пройдя середины?!

7ученик: - В том и беда. Ведь когда вы дойдете до середины пути, у вас останется еще полпути. А у этого полпути тоже есть своя середина. И только вы дойдете и до этой середины, как перед вами появится новая середина - середина оставшейся четверти пути. И так все время! Сколько бы вы не шли, перед вами всегда будет оставаться отрезок пути, а у него своя середина. Но вы же сами согласились, что не одолев середины, нельзя дойти до конца. Вот и выходит, что одолеть Апорийскую дорогу невозможно.

5        ученик:- Я так разволновалась от этих рассуждений Зенона, что не сумела их опровергнуть.
6 ученик достает из кармана большой гвоздь:

Но что было дальше! 6 ученик вытащила из своего кармана гвоздь (прямо как Том Сойер), поковыряла гвоздем в замке, и ... замок открылся!

6        ученик убегает в дверь открытую в коридор.

5        ученик:- Я ахнуть не успела, как она выбежала на непроходимую Апорийскую дорогу и через несколько минут закричала издалека:

6        ученик:- «Я здесь! На самом конце!»

5 ученик: - Молодец девчонка! Пристыдила-таки этого заумника Зенона. А как вы думаете, прав был Зенон ли нет? Почему?

Учитель рассказывает ученикам о софизмах (Приложение 1).   .

7 ученик: - Выбравшись с Апорийской дороги мы отправились на другой остров, продолжить там свои математические исследования, и поспешили на берег океана. О радость! У причала стоял гигантский лайнер «Быстроходная улитка». На его борту мы продолжили путешествие. Жара стояла неимоверная.

1        ученик: - Вот, наконец, мы приблизились к какому-то острову, и туземцы приветствовали нас.

Вместе со всеми пассажирами мы сошли на берег и оказались у ворот неизвестного
города. На них красовалась надпись «КАНАЛ». Я сразу догадалась, что-либо для нас
опустят подъемный мост, как в древних рыцарских замках, либо нам придется
пуститься вплавь через этот канал.        .

Однако ни моста, ни воды поблизости не - было.

2        ученик: - Мы свободно прошли через ворота и увидели ряд зданий с вывесками. На одной я

прочитала «ПАНАМА». Слово было написано странно: П-АНА-МА. Оказывается, слово «КАНАЛ» сокращенно означает Комбинат АНАЛогий, «П-АНА-МА» - это Полная АНАлогия МАтематическая. 7 ученик: - Мы направились к зданию с этой вывеской. Нам очень хотелось пить, и мы направились в буфет-автомат. Но не тут-то было! В этом буфете действовали странные правила. Вдоль стены стоял ряд автоматов с газировкой. У первого был, разумеется, номер 1. Зато у следующего - номер 4, затем 13, потом следовал номер 40, потом - 121... А номер следующего автомата стерся. Наверное, там был самый вкусный напиток. Но., чтобы попробовать его, надо было опустить в него жетон с номером автомата. Мы немного подумали и сообразили, что это за число. А вы как думаете?

Решение задачи об автоматах с газировкой.

Учитель: - Включаемся в работу, ребята. Вспомните, что необходимо сделать, чтобы
решить задачу по аналогии?        :

Ученики: - Надо угадать правило, по которому определяются номера автоматов.

Учитель: — Как это можно сделать?

Ученики: - 1) Надо сравнивать соседние числа.

2. Узнать на сколько следующее число больше или меньше другого.
3. Во сколько раз следующее число больше или меньше другого.

Учитель: - Что же вы скажете о названных вам числах?

Ученики: - 4 больше 1 на 3        

На доске и в тетрадях: 4>1 на 3

13 больше 4 на 9        

На доске и в тетрадях: 13>4 на 9

40 больше 13 на 27        

На доске и в тетрадях: 4()>13 на 27

121 больше 40 на 81        

На доске и в тетрадях: 121>40 на 81

Мы видим, что разность соседних чисел каждый раз увеличивается в 3 раза. Ученики отвечают, затем говорят: Чтобы найти следующее число надо: во-первых, 81 умножить на 3. получим 243: во-вторых, 121 увеличить на 243: 121-243=364.

Если ученики не замечают этого, то учитель спрашивает;- Как изменяется разность между соседними числами?

Номер следующего автомата 364. Выбирают жетон с номером этого автомата и показывают всем.

6 ученик: - Утолив жажду, мы возвратились на пристань, сели на свой корабль и отправились в бухту «правдолюбов» недалеко от пролива «лжецов». Только мы успели высадиться на берег, как услышали душераздирающие вопли. Я сразу догадалась, что это был воинственный клич какого-то дикого племени. И не ошиблась.

1 ученик: - Они окружили нас, пришлось сдаться в плен. Нас связали и привели и привели к вождю. Выяснилось, что дикари принадлежат к какому-то неведомому племени буль-буль. К нашему удивлению оказалось, что они очень любят математику, особенно алгебру. Кто бы мог подумать! Но алгебра у них какая-то необычная, я бы сказал... - дикая, в общем (буль) булевая алгебра. Впрочем, многие правила такие же, как и у нас. Но иногда... иногда хоть за голову хватайся!

4 ученик: - Все мы знаем, что А + А = 2А. У них же А плюс А так и остается А. И даже А плюс В все равно А. А вы не встречались с такой алгеброй?

Ученики 6 класса: - Алгебру логики называют булевой алгеброй в честь английского математика и логика, одного из основоположников математической логики Джорджа Буля, жившего в 19 веке.

Учитель: - А вы знаете, что Джордж Буль отец писательницы Этель Лилиан Войнич - автора знаменитой книги «Овод».

Вернемся к нашей проблеме. Когда же возможно А+А=АиА + В=А.

Очевидно, что если А и В переменные, то чтобы найти их сумму надо знать значение А и В. Их сумма может равняться А, только в том случае, если В=0, но для других значений В это невозможно. О чем же тогда идет речь, если это не переменные, принимающие числовые значения?

Учащиеся: - Это могут быть множества. Для множеств А+В и А+А означают
объединение этих множеств.        

Учитель: - Как же тогда получается, что возможно равенство А + В = А?

Учащиеся: I) Множество А -  это все учащиеся нашего класса, множество В - это все

девочки нашего класса. Тогда А + В = A U В = А - это весь класс:

2) А - «Множество всех учащихся нашей школы», В - «Множество учащихся 6 «А» класса». А + В = А; 3) А - «множество всех чисел», В - «множество четных чисел»; 3) А -«Множество всех углов», В - «Множество острых углов».

Учитель: Какой можно сделать вывод?

Учащиеся: Если одно из множеств является частью (подмножеством другого множества), то их объединение равно одному из множеств. Записывают на доске и в тетрадях:

A+B=AUB=A. если В А.

А + А = A U А = А - всегда.

3        ученик: - Чтобы освободиться из плена, мы должны были решить такую задачу:

«Трех вождей племен зовут Орел, Сокол и Ястреб, один из них носит прозвище Зоркий, другой Быстрый, а третий - Дикий.

Назовите полные имена вождей, если Зоркий, Быстрый и Орел вместе ходили охотиться на тигра, а Быстрый и Сокол - лучше вс:ех стреляют из лука». Мы быстро разобрались в ней и получили свободу. Эту задачу мы принесли вам.

1        ученик: - Дикари даже согласились нас проводить, так как только они знали тропинки в

тропическом лесу, но за это они потребовали ответить на вопрос: «На их острове всего 30 воинов. 20 из них ежедневно тренируются в стрельбе из лука, а 16 - в метании копья. Как такое могло случиться? И сколько человек тренируются только в стрельбе из лука? Если известно, что все 30 воинов ежедневно ходят на тренировки» Мы справились и с этим заданием. Надеюсь и у вас оно не вызовет затруднений.

2        ученик: - Наше путешествие закончилось в столице Аль-Джебры городе Рио-де-Магистро, где в это время проходил симпозиум, посвященный 200-летию немецкого математика Петера Густава Лежена Дирихле (1805-1859 гг). Его работой руководил почетный ореофаг (совет старейшин), состоящий из 13 самых лучших математиков страны. 7 ученик: - Первым в повестке дня был вопрос о 5 зайцах и 4 клетках, в которые необходимо было этих зайцев посадить. Мы весело провели время, гоняясь за зайцами по лужайке. А посадили их так: в трех клетках по одному зайцу, а в одной - два. 6 ученик: - Затем нам предложили решить задачу: Докажите, что среди членов ореофага есть как минимум два человека, родившихся в один месяц. Она оказалась очень простой.

4        учени.: - Вот мы и рассказали вам о нашей экспедиции в Аль-Джебру. А тепрь предлагаем вам разобраться в решении задач, которые привезли оттуда. Желаем вам успеха. 1 ученик: - А нам пора готовиться к новому путешествию. Мы хотим разгадать секрет рыцаря Черная маска из Аль-Джебры и погулять по городу Пифагорску.

После того, как учащиеся 7 класса уходят, 6 класс с учителем разбирают решения оставшихся задач и если останется время решают другие задачи.

Учитель: Итак, нам оставили 3 задачи. Дело чести, разобраться в их решении. Еще раз послушайте условие 1-ой задачи. Для того чтобы быстро решить ее, попытаемся все данные записать в таблице. (Учащиеся берут заранее заготовленные начерченные таблицы и заполняют ее). Учитель заполняет такую же таблицу, закрепленную на доске:

Запишем имена вождей в первый столбик, а прозвища в верхнюю строчку. Известно, что Зоркий, Быстрый и Орел вместе ходили охотиться на тигра. Какое прозвище у Орла?

Ученики: Орел не может быть ни Быстрым, ни Зорким, значит он Дикий.

Учитель: Отметим это в таблице. Поставим плюс в пересечении первой строки и последнего столбца. Далее в задаче сказано, что Быстрый и Сокол лучше всех стреляют из лука.

Ученики: Сокол не может быть Быстрым, значит он - Зоркий.

Если ученики не догадались, учитель спрашивает: Может ли Сокол быть Быстрым? Почему?

Учитель: отметим это в таблице. Какое прозвище у Орла?

Ученики: У Орла прозвище Быстрый.

Учитель: У нас осталось не очень много времени. Быстро включайтесь в решении второй задачи. Прочтите ее внимательно и подумайте, как нам сделать краткую запись для этой задачи. Нам надо изобразить множества лучников и метателей копья. Назовем их L и К. Как они расположатся? Будут ли иметь общие точки? Почему?

Ученики: Эти множества будучи пересекаться. Если бы они не имели общих элементов, то лучников и метателей копья было бы вместе 30 человек, но их 20+16=36. Это значит, что некоторые воины и стреляют из лука и метают копье.

Учитель: Изобразите эти множества у себя в тетради и на доске. Вызывает ученика к
доске.

Учитель: Как же узнать, сколько воинов тренируются дважды в день?

Ученики записывают равенство: LK = (20 + 16)-30 = 6.

И делают вывод, что 6 человек и стреляли из лука, и метали копье. Отмечают этот факт на диаграмме.

Учитель: Как же нам узнать, сколько человек только стреляли из лука?

Ученики: Всего из лука стреляли 20 воинов, но 6 из них еще метают копье, значит, 20-6=14 человек только стреляют из лука.

Отмечают это на диаграмме, а заодно объясняют, сколько человек только метали копье. Записывают ответ в тетрадях.

Учитель: И, наконец, последняя задача из экспедиции. Вы очень удивитесь, но рассказ о ловле зайцев имеет к ней непосредственное отношение. Легко понять, что пять зайцев невозможно посадить в четыре клетки так, чтобы в каждой было только по одному зайцу. В одной клетке обязательно будет больше одного зайца. Это утверждение поможет нам решить третью задачу. Читаем ее еще раз.

Предположим, что одни из членов совета старейшин родился в январе, другой - в феврале, третий - в марте и т.д. В каком месяце тогда родился двенадцатый член совета?

Ученики: Он родился в декабре.

Учитель: В году всего 12 месяцев. Тринадцатый старейшина родился в один из двенадцати месяцев, например, в апреле, но в апреле родился и четвертый из них, что доказывает требуемое в задаче. Мы рассмотрели самый уникальный случай, когда двенадцать членов ореофага родились в разные месяцы.

Рассуждения, которые мы провели напоминают нам о зайцах, только 12-тъю «Клетками» у нас были месяцы, а «зайцев»-членов ореофага было 13.

Мы использовали в решении этой задачи принцип, который сформулировал Петер Дирихле. Его так и называют «принцип Дирихле». Значит, не случайно на двухсотлетнем юбилее математики устроили гонки за зайцами.

Все задачи, которые мы сегодня решали, носят название логических. Мы продолжаем знакомится с наукой Логикой.

Учитель: - А сейчас я предлагаю вам выполнить самостоятельную работу. Какая из сегодняшних задач вам понравилась больше? На листах вам предложено 4 задачи, выберите одну-две на понравившийся метод и решите ее.

1) На аналогии: Вставьте недостающее число.

Решение. 6-4=2, 9-6 = 3, 13-9 = 4, 18-13=5, значит искомое число 18 + 6 = 24.

2) Четыре школьника, имена которых Андрей, Пётр, Иван и Фёдор, имели фамилии Андреев, Петров,  Иванов и Фёдоров.  Но ни у одного из них собственные имя и фамилия не были одинаковыми. Требуется определить фамилию каждого из школьников, если известно следующее:

1. Андрей, Иванов и Федоров вместе занимаются в спортивной секции.
2. Петр, Иван и Андреев вместе ходили в поход.

Решение:

3) «В 6 «А» классе 21 ученик, 15 учеников занимаются в кружке «Валеология», а 10 ходят на секцию по баскетболу, сколько человек занимаются только в кружке «Валеология». И сколько занимаются в двух кружках».

Решение.

(15+10)-21=4 (уч) занимаются в двух кружках одновременно.

15-4 = 11 (уч) занимаются только в кружке «Валеология».

4) Принцип Дирихле: «Из коробки, в которой находится 4 красных и 3 синих карандаша, наугад извлекают карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего карандаша»

Решение: 4 + 1=5 карандашей.        

Учитель: - Подведем итоги. Что нового узнали? С какими методами решения логических задач познакомились? Какие из задач вам больше понравились?

 Домашнее задание (Приложение 2) вы можете тоже выбрать сами: на столе лежат задания на разноцветной бумаге. Выходя из класса возьмите одну или две задачи (любого цвета).

Приложение 1.

В пятом веке до нашей эры в Древней Греции вошла в моду софистика - искусство ведения спора. Многие умные, но не очень честные люди жадно ухватились за возможность «Строго логически доказывать», что черное - это белое, добро это зло, истина - это ложь... Однако нет худа без добра. Появление софизмов -рассуждений, правдоподобных в каждом куске, но вопиюще неверных в целом (нелепое, ложное, но хитро придуманное умозаключение, основанное на заведомой несуразице) - заставило математиков задуматься о логическом строении геометрии и арифметики.

Наиболее серьезную роль сыграли математические софизмы, или апории, придуманные Зеноном, мудрецом жившем в 5 веке до н.э. в южноиталъянском городе Элей. До нас дошли 4 его софизма, или апории, что по-гречески значит «непреодолимое препятствие». Вот одна из апорий Зенона: «В каждый момент времени летящая стрела неподвижна. Значит, она неподвижна во все моменты времени, и ее движение никогда не сможет начаться».

Что такое «момент времени» с точки зрения формальной математики, стало ясно только в XIX веке, когда усилиями Коши, Вейерштрасса, Дедекинда и других ученых была построена логически непротиворечивая теория действительных чисел. Кстати, в конце того же XIX века апория Зенона о стреле была удивительным образом отражена в технике: братья Люмьер создали кинематограф.

Апории Зенона заставили ученых задуматься над противоречивыми взаимоотношениями между пространством, движением и временем. Хотя Зенон ошибался уже в том, что сумма бесконечного числа слагаемых (убывающих) оказывается конечным числом: /4+ 'А + ... = 'А : (1 - ]А )=1. Но самое, пожалуй, главное то, что Зенон один из первых представил себе бесконечно малую величину, то есть такую величину, которая постоянно стремится к нулю, но никогда его не достигает. А учение о бесконечно малых и бесконечно больших величинах играет огромную роль в современной математике. Впрочем, о бесконечной геометрической прогрессии вы узнаете позже в курсе алгебры ...

Софизмы:

1)        Попробуем доказать что 5=6. А вы найдите ошибку:
Для доказательства возьмем числовое тождество

35 + 10-45=42 + 12-54. Вынесем общие множители левой и правой части за скобки:

5(7+2-9)=6(7+2-9). Разделим (!) обе части на общий множитель, получим: 5=6. Нашли ошибку?

2) 2*2=5

Имеем числовое тождество 4:4 = 5:5.

Вынесем за скобки в каждой части общий множитель (!):

4*(1:1)=5*(1:1). Числа в скобках равны, значит, 4 = 5, или 2*2 = 5.

Приложение 2.

На бумаге розового цвета задания на аналогии: 1) Вставьте недостающее число:

на голубой бумаге - метод Дирихле:

В ящике лежат 10 пар черных перчаток и 10 пар красных перчаток одного размера. Сколько перчаток надо вытащить из ящика наугад, чтобы наверняка среди них были:

а)        две перчатки одного цвета;

б)        одна пара перчаток одного цвета.

на желтой бумаге - задачи решаемые с помощью кругов Эйлера:

В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 - в кружке "Умелые руки", 10 ребят не ходят в эти кружки. Сколько "математиков" занимаются в кружке "Умелые руки"?

на зеленой бумаге - задача, решаемая с помощью таблицы:

В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке - не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Куда налита каждая жидкость?