Создание проблемных ситуаций на уроках математики
материал по алгебре по теме

Создание проблемных ситуаций на уроках математики.

Творческая работа

Шершаковой Т. А.

 учителя математики

2010 год

Содержание.

                                                                                                                    Стр.

1. Введение.  ………………………………………………… ………3  
2. Глава І.   …………………………………………………………… 5

Психологические и педагогические основы проблемного обучения.

Правила, факторы и условия создания проблемной ситуации.

3. Глава ІІ. ……………………………………………………………..9

Создание проблемных ситуаций.

4. Глава ІІІ. ……………………………………………………………13

Примеры проблемных ситуаций, используемых на уроках автором работы.

5. Заключение. …………………………………………………………21  
6. Список использованной литературы. ……………………………..23
7. Приложения:  ……………………………………………………….23-36

Ведение.

     Система общего образования в России находится в стадии реформирования. Сегодня налицо направленность на образование, ориентированное на становление личности, на субъективное, персонифицированное знание, предполагающее индивидуальное видение мира, у которого всегда есть автор в его уникальности.  

   Основная задача общеобразовательной школы состоит не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но и в том, чтобы научить их самостоятельно решать возникающие вокруг задачи, творчески мыслить. «Повторять слова учителя – не значит быть его продолжателем», - говорил

Д. И. Писарев

      Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать интерес учащихся к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим я стараюсь использовать различные эффективные методы обучения и методические приёмы, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

     Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, насколько умело будет построена работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно, и использовал это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса.        

      Пассивное изучение математики, как серьёзный недостаток можно исправить с помощью проблемного обучения. Важно отметить: без проблемной составляющей урока личностно ориентированного образования не бывает. Проблема – это всегда препятствие. Преодоление препятствий – движение, неизменный спутник развития.

     Проблемное обучение позволяет ставить ученика в позицию исследователя, учит его анализировать ситуацию, обосновывать её, пробуждать у него интерес к ещё нерешенным задачам.

     «Просто «думать» не умеет никто. Думать можно только над конкретным вопросом. Умение решать задачи в большей степени сводится к обучению тому. Над чем надо думать в ходе решения». Эти слова П. Гальперина говорят о важности на уроке не простой постановки вопроса, а создания проблемной ситуации.

     Основная педагогическая идея:

• Развитие мыслительной активности детей, вовлечение их в исследовательскую работу через создание на уроке проблемной ситуации.

     Можно выделить основные этапы реализации этой идеи:

1. Столкновение с проблемой (ввод в проблемную ситуацию, постановка проблемы и актуализация внутреннего и внешнего противоречия. Коллективное обсуждение целей и способов их достижения).
2. Сбор данных.
3.  Выдвижение гипотез. Работа в микрогруппах. Построение объяснений.
4. Анализ хода исследования (окончание рабочего процесса, общее обсуждение, защита выработанных позиций).
5. Выводы (определение новых проблем, рефлексия, обсуждение трудностей, выявление ошибок, путей их преодоления).

     Существуют определённые способы создания проблемных ситуаций. Формой реализации того или иного способа являются такие дидактические приёмы как постановка проблемного вопроса, задания проблемной задачи, демонстрация опыта, применение сочетания слова и наглядности.

     Проблемная ситуация имеет педагогическую ценность лишь в том случае, когда она позволяет разграничить известное и неизвестное и наметить пути решения, когда человек, столкнувшись с проблемой, точно знает, что именно ему неизвестно.

     Осознание педагогом основных форм проблемной ситуации необходимо для практического выбора конкретных способов и приёмов их создания. Вполне понятно, что выбор способов создания проблемных ситуаций зависит от предмета, содержания учебного материала, возрастных и индивидуальных особенностей учащихся, их подготовленности к решению учебных проблем и, конечно, умения самого учителя вести проблемное обучение.      

Глава І.

                                                            Уча других, мы учимся сами.

                                                                                                Сенека.

     «Проблема – это трудность, требующая исследовательской активности, приводящей к её решению» (В. Оконь). Однако, некоторые философы, психологи, педагоги считают, что не трудность как таковая есть проблема, а то, что в этой трудности должен быть обнаружен источник проблемы. Таким источником, по мнению многих исследователей, является противоречие. По М. И. Махмутову  это «диалектическое противоречие между прежними знаниями и новыми фактами, явлениями, для объяснения которых прежних знаний недостаточно, нужны новые».

     Проблемное обучение может способствовать реализации двух целей: ^[1]

1. сформировать у учащихся необходимую систему знаний, умений и навыков;
2.  достигнуть высокого уровня развития школьников, способности к самообучению, самообразованию. Обе эти задачи могут быть реализованы с большим успехом именно в процессе проблемного обучения, поскольку усвоение учебного материала происходит в ходе активной поисковой деятельности учащихся. Проблемная ситуация наряду с задачей и проблемой является одним из центральных понятий теории и практики проблемного обучения и отражает некоторую определённую психологическую реальность.

 Если решение той или иной конкретной задачи или даже проблемы есть частный методический приём или в общем случае комплекс приёмов, то создание и разрешение проблемной ситуации – общедидактическое средство организации процесса обучения.

     Проблемная ситуация есть психологическая реакция ученика на появление противоречия, то есть она характеризует определённое психологическое состояние субъекта, возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия и усвоения новых заданий.

     Психологами доказано, что мышление возникает в проблемной ситуации и направлено на её разрешение.

     Проблемная ситуация характеризует определённое психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения задания, для которого нет готовых средств и которое требует усвоения новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания.

     Проблемная ситуация может вызвать состояние эмоционального подъёма активности школьника, интереса к обучению, адекватной оценки учениками своих интеллектуальных возможностей.

Создание проблемной ситуации:^[2]

• Организация или актуализация определённого опыта, предшествующего проблемной ситуации.
• Организация сбора фактов о каком-либо объекте или явлении.
• Предъявление значимого или интересного задания (практического, исследовательского проекта, эксперимента, познавательной или предметной задачи) для решения которой у учащихся нет знаний или опыта.
• Предъявление парадоксальной информации.
• Моделирование конфликтной ситуации.
• Создание условий для эмоционального переживания, удивления перед парадоксальностью факта, стимулирование потребности объяснить, разрешить противоречие.

     Факторы создания проблемных ситуаций:

• уровень развития учащихся;
• характер материала;
• педагогические цели;
• творческие и познавательные способности учащихся, их интересы и потребности;
• организация самостоятельной работы;
• стимулирование личной заинтересованности учащихся в разрешении проблемной ситуации;
• выявление причинно-следственных связей.

     Психологи утверждают, что существуют следующие правила создания проблемной ситуации:

1. Для создания проблемной ситуации перед учащимися должно быть поставлено такое практическое или теоретическое задание, при выполнении, которого учащийся должен открыть подлежащие усвоению новые знания или действия. При этом следует соблюдать такие условия:

• Задание основывается на тех знаниях и умениях, которыми владеет учащийся. Они должны быть достаточными для понимания условий задания, достигаемой конечной цели и путей его выполнения. Задание должно включать один неизвестный элемент (отношение, способ или условия действия), потребность в котором должна вызываться у учащегося в процессе выполнения задания.
• Неизвестное, которое нужно открыть для выполнения поставленного задания, составляет подлежащую усвоению общую закономерность, общий способ действия или некоторые общие условия выполнения действия.
• Выполнение проблемного задания должно вызвать у учащегося потребность в усваиваемом знании.

2. Предлагаемое ученику проблемное задание должно соответствовать его интеллектуальным возможностям. Чем большими интеллектуальными возможностями обладает учащийся, тем большей степени новизны и тем большей степени обобщённости могут быть те подлежащие усвоению знания и способы действия, необходимость в которых возникает при выполнении проблемного задания.
3. проблемное задание должно предшествовать объяснению подлежащего усвоению учебного материала. Однако при отсутствии у учащегося достаточных сведений об изучаемом явлении  или некоторых элементарных способов действия первым этапом в обучении будет этап сообщения учащимся таких сведений или обучение их таким действиям, которые необходимы для создания проблемной ситуации.
4. В качестве проблемных заданий могут служить: учебные задачи, вопросы, практические задания и т. п. Проблемное задание само по себе не является проблемной ситуацией. Оно может вызывать у учащихся проблемную ситуацию только при строгом соблюдении определённых условий.  
5. Одна и та же проблемная ситуация может быть вызвана различными типами заданий. Так, проблемная ситуация может быть вызвана с помощью теоретического проблемного задания, требующего объяснить или предсказать определённые события, процессы или действия.
6. Возникшую проблемную ситуацию должен формулировать учитель путём указания ученику на причины невыполнения, им поставленного практического учебного задания или невозможностью объяснить им те или иные продемонстрированные факты. Такое фиксирование  проблемной ситуации учителем подчеркивает учебный характер предлагаемого ученику проблемного задания и определяет область поиска требуемого неизвестного. Оно завершает этап создания проблемной ситуации и является необходимым переходным звеном к объяснению учебного материала, требуемого созданной проблемной ситуацией.

     Формы решения проблемных ситуаций:

• дискуссия;
• научный спор;
• проблемная лекция;
• проблемные задачи и задания;
• задачи исследовательского характера;
• документы, тексты, материалы с проблемной направленностью.

     Простая постановка вопроса не может рассматриваться как проблемное обучение, ибо предлагаемые задания не всегда вызывают проблемные ситуации. Для её создания, прежде всего необходимо чтобы учащиеся приняли проблему, «почувствовали» потребность её решения.

     Проблемная ситуация означает, что в ходе деятельности человек натолкнулся на что-то непонятное, неизвестное. Возникшая проблемная ситуация затем переходит в осознаваемую человеком задачу.

     Проблемная ситуация это довольно смутное, ещё не очень ясное и малоосознаваемое впечатление, как бы сигнализирующее, что что-то не так, что-то не то. Процесс мышления начинается с анализа этой проблемной ситуации. В результате возникает, формируется задача (проблема).

     Возникновение задачи означает, что удалось хотя бы предварительно расчленить данное (известное) и искомое (неизвестное). Исходя из связи и отношений между известным и неизвестным, становится возможным искать и находить нечто новое, до того скрытое, неизвестное. Проблемная ситуация создаёт трудность, преодолеть которую ученик может лишь в результате собственной мыслительной активности.

     Для разрешения проблемной ситуации учащиеся пользуются такими приёмами учебной деятельности, как нахождение разрыва в связях, выдвижение гипотезы, переформулировка требований вопроса, применение общего положения гипотезы к отдельным примерам, установление комплекса причинно-следственных связей. Постепенное овладение учащимися этими приёмами ведёт к формированию умения решать задачи.

     Функции учителя состоят в том, чтобы координировать деятельность учащихся, помогать им, но не давать жестких указаний. В случае затруднения учителю рекомендуется поставить наводящие вопросы, дать дополнительные задания.

Глава ІІ.

     Создать проблему просто, но создать проблемную ситуацию значительно труднее, ибо в первом случае от учителя требуется лишь определённая математическая подготовка, тогда как создание проблемной ситуации касается сферы логического и психологического.

     Главным условием успешности создания проблемных ситуаций является та цель, которую ставит для себя учитель. Можно указать на следующие дидактические цели создания проблемных ситуаций в процессе обучения (по М. И. Махмутову):

• привлечь внимание ученика к вопросу, задаче, учебному материалу, возбудить у него познавательный интерес и другие мотивы деятельности;
• поставить его перед таким посильным познавательным затруднением, преодоление которого активизировало бы мыслительную деятельность;
• обнажить перед учеником противоречие между возникшей у него познавательной потребностью и невозможностью удовлетворения посредством наличного запаса знаний, умений и навыков;
• помочь ему определить в познавательной задаче, вопросе, задании основную проблему и наметить план поиска путей выхода из возникшего затруднения, побудить ученика к активной познавательной деятельности;
•  помочь ему определить границы актуализации усвоенных ранее знаний и указать направление поиска наиболее рационального пути выхода из ситуации затруднения.

     Можно выделить четыре наиболее характерных типа проблемных ситуаций.^[3] 

     Первый тип.

     Проблемные ситуации чаще всего возникают тогда, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью использовать ранее усвоенные знания в новых практических условиях.

     Как правило, учителя организуют эти условия не для того лишь, чтобы учащиеся сумели применить свои знания на практике, но и для того, чтобы они при попытке использовать имеющиеся знания, умения и навыки для решения практической задачи столкнулись с фактом их недостаточности. Осознание этого факта учащимися возбуждает познавательный интерес и стимулирует поиск новых знаний.

     Алгебра, 8 класс, тема «Применение свойств неравенств с одной переменной».

     В квадратном уравнении, написанном на доске, во время перемены кто-то стёр одно число:

                                .

     Учитель не стал восстанавливать исходное уравнение и, поставил на свободное место букву  и, уравнение стало выглядеть так:

                                .

     Ребятам было предложено самим найти значение . Чтобы это стало возможным, учитель сообщил два следующих факта:

• число натуральное;
• уравнение имеет два различных корня.

     Вопросами о том, каковы коэффициенты и свободный член этого уравнения, от чего зависит количество корней квадратного уравнения , учитель подвёл учащихся к необходимости сначала составить дискриминант

, а затем рассмотреть неравенство >0. Решить само неравенство уже не составило труда:  -8m>-9,  m>.

     Значит, единственно возможное значение m – это 1.

     Таким образом, перед уроком на доске было записано:

                                  .

     Второй тип.

     Проблемная ситуация легко возникает в том случае, если имеется противоречие между теоретически возможным путём решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

     Перед изучением темы «Описанные треугольники» (геометрия 8 класс) была предложена задача «Участок леса имеет треугольную форму. Нужно было выбрать место для палатки, которая была бы на одинаковом расстоянии от границ участка леса».

     Предлагалось идти от середины сторон лесса, из углов участка. Но искомое место получалось в разных точках. Возникло неожиданное затруднение.

     Так, ещё до начала изучения новой темы была создана проблемная ситуация, которая помогла учащимся увидеть проблему, почувствовать необходимость её решения, выдвинуть предположения (гипотезы) и убедиться в их ошибочности.

     Данная проблемная ситуация возникла при имеющемся противоречии между теоретически возможным путём решения задачи и практической неосуществимостью избранного способа.

     Третий тип.

     Проблемная ситуация возникает тогда, когда имеется противоречие между практически достигнутым результатом и отсутствием у учащихся знаний для его теоретического обоснования.

     Геометрия, 8 класс, тема «Теорема Пифагора».

     Перед изучением этой темы можно предложить учащимся следующее практическое задание:

• Из частей двух квадратов, построенных на  катетах прямоугольного треугольника, равных 3 и 4, составить новый квадрат.

     Чтобы выполнить это задание, нужно разбить площадь квадратов на квадратные единицы и сравнить длину стороны полученного квадрата с гипотенузой.

     В результате практической работы учащиеся установили, что сторона нового квадрата равна длине гипотенузы и новый квадрат можно построить на этой гипотенузе.

     Получен вывод о том, сто площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов построенных на катетах.

     Для проверки вывода можно предложить выполнить аналогичное построение для прямоугольного треугольника, катеты которого равны 2 и 4.

     Разбивка квадратов на единичные квадраты и создание нового квадрата к выполнению этого задания не привели. Теперь возникла проблемная ситуация из-за того, что у учащихся появилось сомнение относительно правильности полученного вывода. Возникшее затруднение вызвало у них желание и потребность выяснить, равна ли площадь квадрата, построенного на гипотенузе, сумме площадей квадратов , построенных на катетах. В данном случае потребность теоретического обоснования результатов учебно–практического задания подвела к формулировке теоремы Пифагора.

     Четвёртый тип.

     Этот тип следует считать самым распространённым.

     Проблемные ситуации возникают, если учащиеся не знают способа решения поставленной задачи, не могут ответить на проблемный вопрос, дать объяснение новому факту в учебной  и жизненной ситуации, т.е.  в случае осознании учащимися недостаточности прежних знаний для объяснения нового факта.

     Алгебра, 7 класс, тема «Формулы сокращённого умножения».

     Учитель рассказывает: «Вчера по телевизору я смотрела передачу с участием экстрасенса, который произвёл на меня огромное впечатление. Я научилась быстро выполнять в уме операции над числами. Хотите я продемонстрирую свои способности?» Получив утвердительный ответ, учитель предлагает посоревноваться с ним в вычислениях.

     І тур. Учитель просит кого – нибудь из ребят назвать два   последовательных натуральных числа. Пусть школьник назовёт 129 и 130. Теперь учитель и класс вычисляют на скорость 1302 – 1292. Победителем, причём мгновенно, выходит учитель.

     ІІ тур. Вновь учитель обращается к одному из учеников и просит того назвать любые два числа. Пусть ученик назвал  1,43 и 2,51. Теперь класс и учитель соревнуются при вычислении значения выражения:

     Понятно, что учитель, пользуясь формулами сокращённого умножения, легко побеждает в соревновании. Изменяя задания, неизменно побеждая, учитель, в конце концов, добьётся от ребят фразы типа: «Вы что-то знаете!»

«Да, я действительно что-то знаю,- заявляет учитель. – Вы также узнаете это что-то на сегодняшнем уроке и сможете быстро выполнять такие вычисления».

     Глава ІІІ.

          Алгебра 8 класс, тема «Применение свойств неравенств с одной переменной».

    1. В типографию поступил для печати новый учебник алгебры для 8 класса. Но, к сожалению, в компьютере произошел сбой, и одно из заданий стало выглядеть следующим образом:

     «С помощью калькулятора найти значение выражения  при последующих значениях переменной: 5; -2; 8,3; 10,63; -0,5; 3; ».

     Типографские корректоры заметили, что уже при  в приведённом выражении получаются странные вещи.

 Что происходит с выражением при ? Как узнать, нет ли ещё лишних чисел в данном упражнении?

     Обсуждение создавшейся ситуации начинается с того, что выясняют, чем же так не устраивает значение переменной, равное 5? Учитель направляет разговор так, чтобы ученики вспомнили само понятие арифметического квадратного корня, условия его существования.

     После обсуждения учащиеся составляют необходимое неравенство

14-6и решают его. Получив в ответе промежуток (], находят «случайно попавшие» в задание значения переменной:5; 8,3; 10,63; 3.

     Всё разрешение проблемной ситуации проходит через исследование. Происходит смена механической подстановки осмысленным методом решения.

     2. Н доске написано задание: «Решите уравнение ».

     Начинается обсуждение с повторения понятия модуля, известного учащимся с 6 класса. Выясняется, чему равен модуль неотрицательного числа. Учитель фиксирует на доске ответы в виде записи:

                                        <0.

     Чему  в таком случае равно выражение ? В ходе обсуждения школьники выясняют, что

                         =

                                            -<0

     Теперь следует сопоставить полученные выводы с тем условием, что исходная дробь равна 1. Учащиеся вспоминают: равенство единице означает, что числитель дроби равен знаменателю, т. е.

                    , отсюда .

     Если не находится ни одного ученика, готового «поправить» неравенство, учитель обращает внимание класса на то, что выражение не может принимать нулевых значений, поскольку стоит в знаменателе дроби, т. е.  >0, <3,4.

     Ответ: .

     В данной ситуации использована задача опережающего характера. Она сводится к решению на интуитивном уровне уравнения с параметром, а также уравнения, содержащего модуль алгебраического выражения.

    3. Алгебра 8 класс.

     Перед изучением темы о формуле корней квадратного уравнения учитель может обратить внимание на примеры, которые решались способом выделения квадрата двучлена и предложить для сравнения решить следующее уравнение:  

                                .

     Ребята приступают к работе и выполняют решение так:

           .

     Примеры типа , где не является квадратом целого числа, учащиеся ещё не решали. И на этом этапе они обязательно споткнутся. После чего учитель объявляет, что известный ребятам способ выделения квадрата двучлена универсален, но требует каждый раз громоздких преобразований. Поэтому удобнее, решив квадратное уравнение в общем виде, вывести формулу его корней и в дальнейшем решать квадратные уравнения по этой формуле. Затем учитель объявляет новую тему урока, а ученики психологически готовы её воспринять.

      В данной ситуации возникает познавательное затруднение когда учитель побуждает учащихся к сравнению, сопоставлению и противопоставлению фактов.

     4. Алгебра, 8 класс.

     При изучении темы «Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби», после повторения основного свойства дроби

ставится проблема: «Какое выражение проще вычислить:  или  »?

 Оказывается, что вычислить проще, так как делить на рациональное число легче, чем на иррациональное число. Поэтому очень полезно научиться освобождаться от иррациональности в знаменателе. Учащимся предлагается подумать, как это сделать.

)  .

     Анализируем, на какое выражение нужно умножить знаменатель, чтобы корни «исчезли». А чтобы дробь не изменилась, воспользуемся основным свойством дроби. Получаем:

     Перечисляются операции, которые были выполнены.

     Для сильных учащихся можно предложить избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

                         .

     В данном случае проблема умений, учащихся вызывает заинтересованность знаниями, появляется желание устранить пробелы в знаниях.

5. Алгебра 9 класс, тема «Сумма  первых членов арифметической прогрессии».

     Для создания проблемной ситуации учащимся предлагается старинная задача:

     «Пусть тебе сказано: раздели 10 мер ячменя между 10 человеками так,  что разность между каждым человеком и его соседом равняется  меры».

     Далее учитель сообщает, что эта и подобные задачи в древности решались следующим образом:

10 мер:10=1 мера – средняя доля

1 мера•2=2 меры – удвоенная средняя доля

Удвоенная средняя доля – это сумма долей пятого и шестого человека.

 - удвоенная доля пятого человека.

 - доля пятого человека и т. д.

     Такие задачи, а также задачи, связанные с разделом имущества или наследства, приводят к понятиям арифметической и геометрической прогрессий, которые встречаются в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до н. э.

     Задачей урока является получение зависимости суммы членов прогрессии от их числа и проверка того, верно ли в древности решали приведённую задачу.

     Учитель предлагает попытаться вначале найти сумму двадцати последовательных натуральных чисел, начиная с единицы. Если ученики будут предлагать сложение непосредственно, то следует сказать, что в данном случае важно получить идею нахождения суммы для любого количества членов, которое может быть достаточно большим. Затем, учитель рассказывает легенду о маленьком Гауссе и представляет учащимся время для вычислений. Результат получен. Но известно, что Гаусс сложил эти числа за 1 минуту.

     Учитель предлагает записать все числа в столбик и спрашивает:

• Посмотрите, пожалуйста, на эти числа. Вы ничего не заметили?
• Верно, это арифметическая прогрессия, разность которой равна 1.
• Имеется ещё одна закономерность. Если учащиеся её не видят, то учитель проводит стрелки.

1

2

3

.

.

.

18

19

20

• Сумма двух членов, равностоящих от концов последовательности, равна 21; таких сумм 10. Итак, сумма всех двадцати членов прогрессии:

                    или в общем виде .

     Следующая проблема создаётся следующим вопросом:

• Как изменятся наши рассуждения, если таких чисел 21?

1. 21
2. 20
3. 19
4. 18

.            .

.            .

.            .

19. 3
20. 2
21. 1

     Если сопоставить данный столбец с таким же, но записанным в обратном порядке, то появится ещё один способ доказательства.

     Наконец выясняется, как поступить, если требуется найти сумму п последовательных членов арифметической прогрессии, знаменатель которой отличен от 1.

     Вначале требуется убедиться, что

 . Это верно, т. к. значение выражения

  не зависит от .

     Получаем окончательную формулу (для решения общей проблемы).

                            , после чего возвращаемся к исходной задаче.

     Учащиеся становятся очевидцами возникновения проблем, участниками их постановки и разрешения, соавторами небольших теорий, исследователями полученных закономерностей. Структура темы учебника становится более понятной, а само её изучение проходит в форме решения интересных практических и познавательных задач.

6. Для создания проблемных ситуаций можно использовать домашние задания, которые могут поставить учащегося в тупик.

     Например, перед изучением в 8 классе теоремы об одном замечательном свойстве окружности, ученики получают такое практическое задание на дом:

 «Дана прямая  и две точки  и  вне её. С помощью треугольника найдите такую точку , чтобы угол был прямой».

     Ученики должны быть предупреждены о возможности нескольких решений. Также предлагается рассмотреть различные положения точек  ,  и прямой .

     Дома, учащиеся, взяв в помощь треугольник, сопоставят его стороны  с точками  и , а затем начнут вертеть его, пытаясь найти нужную точку на прямой.

     В зависимости от расположения точек   и , прямой , они её либо найдут (возможны два решения), либо нет.

     При проверке домашнего задания (перед изучением новой темы) можно задать вопрос классу: «Нельзя ли решить эту задачу с помощь циркуля и линейки?»

     Этот вопрос побуждает ребят проанализировать действия, совершенные при попытке решения задачи. И некоторым из них придёт в голову мысль, что сами того не зная, они пользовались свойством окружности, т. е. пользовались линейкой как циркулем. А будут и те, кто дома догадался использовать в своей работе циркуль.

     Далее учащиеся приступают к изучению новой темы, при этом объяснение лучше провести в форме беседы (вопрос-ответ). В конце урока ученикам даётся возможность уже чётко ответить на поставленный вопрос.

     В данном случае проблема возникла в связи с отсутствием у учащихся определённых знаний. Учащиеся осознают наличие пробелов в своих знаниях, они готовы к работе над устранением этих пробелов. Такая домашняя работа даёт базу для введения новых геометрических положений.

     7.  Геометрия 8 класс.

     После изучения свойств ромба можно предложить решить задачу:

     «Однажды Снежная Королева попросила Деда Мороза расставить в Ледяном дворце 7 ёлок так, чтобы среди любых трёх из них нашлось бы две на расстоянии 10-ти шагов друг от друга. Выполнима ли просьба Снежной Королевы?»

     Первые попытки решить задачу будут неудачными, и поэтому учитель напоминает о том что, что им знакома фигура ромб и предлагает начать размещение сначала 4, потом 5, 6 ёлок, а закончить 7 ёлками.

     Если ребятам не придёт идея сдвинуть два ромба, то учитель может объяснить идею:

• Ёлки располагаются в вершинах двух ромбов, стороны которых и меньшая диагональ равны 10-ти шагам.
• Кроме того, у этих ромбов имеется общая вершина (С), а две другие вершины А и В также находятся на расстоянии 10-ти шагов.

     Ответ: просьба Снежной Королевы выполнима.

     В данном случае ученики столкнулись с ситуацией, когда нужно применить имеющиеся знания на практике,  и с  противоречием между теоретически возможным решением задачи и практической его неосуществимостью. В данном  случае совместный поиск будет успешным.

     8. Геометрия 7 класс, тема «Вертикальные углы».

     Понятие вертикального угла можно ввести следующим образом. На доске начерчено несколько углов.

     Учитель задаёт наводящие вопросы:

• Что общего у всех пар углов?
• Чем отличается пара углов а) от пары углов б)?
• Чем отличается пара углов б) от пары углов в)?

     Учитель сообщает: «Пару углов в) называют вертикальными углами» и предлагает дать их определение. Глядя на рисунок в) и учитывая  особенность углов, учащиеся без затруднений дают верное определение.

     Во время приведённой проблемной беседы в процессе совместной деятельности учащихся и учителя происходит осознание, принятие и разрешение проблемных ситуаций. Учащиеся самостоятельно делают выводы, обобщения, формулируют правила. Во время беседы учитель задаёт вопросы, ответы на которые не содержатся ни в прежних знаниях, ни в предъявляемой информации.  

9. Геометрия 7 класс, тема «Измерение углов транспортиром»

     Задача: «Требуется измерить данный угол без помощи транспортира». Данную задачу можно предложить на дом. Если  решение не было найдено, то учитель может сделать подсказку: «Нет транспортира, но есть другие предметы, которые могут его заменить!» Тогда учащиеся начинают искать у себя, в классе вещи, которые могут заменить транспортир. Идея – инструмент или прибор должны иметь деления. Оказывается, что нужный прибор – часы. Их устанавливают так, что начало секундной стрелки совпадает с одной стороной угла, фиксируют момент совпадения с другой стороной и … сообщают градусную меру угла.

     В этом случае не видно, как можно подойти к решению этой задачи. Поиск решения вызывает у учащихся заинтересованность знаниями, концентрирует энергию, необходимую для разрешения этой проблемы.

10.  Геометрия 8 класс, тема «Площадь треугольника».

     Заранее учитель задаёт ученикам задание повторить формулу площади прямоугольника и решить одну - две соответствующие задачи. Урок можно начать с самостоятельной работы учеников.

• Найти площадь прямоугольного треугольника, если один из его катетов 6см, а другой 9см.

     Знакомясь с данной задачей учащиеся замечают, что они знают только формулу площади прямоугольника. здесь и выявляется проблемная ситуация.

Некоторые ученики, анализируя подробно эту ситуацию приходит к учебной проблеме: как вычислить площадь прямоугольного треугольника, применяя формулу площади прямоугольника.

     Для решения это проблемы они могут предложить следующие варианты:

• разбиение на квадратные сантиметры;
• дополнение до прямоугольника.

     За гипотезу принимается второй вариант. Действительно, легко заметить, что если прямоугольный треугольник дополним до прямоугольника, то диагональ разобьёт  его на два равных прямоугольных треугольника. А так как площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон, то площадь прямоугольника равна произведению смежных сторон, то площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

     Затем, учитель обращает внимание учеников на тот факт, что основная проблема решена только частично.

     По предложению учителя ученики решают и другую частную задачу

• Вычислите площадь произвольного остроугольного треугольника.

     При помощи дополнительных вопросов учителя учащиеся находят способ решения путём достроения остроугольного треугольника до параллелограмма. Затем, воспользоваться тем фактом, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

     После этого ученикам предлагается тем же путём вычислить площадь произвольного тупоугольного треугольника.

     Итогом рассмотрения этих частных случаев может стать решение следующей учебной проблемы: «Найти площадь произвольного треугольника».

     Учащиеся теперь подготовлены самостоятельно доказать эту теорему.

     Обобщая изучаемый новый материал, учитель, задаёт следующее домашнее задание, которое тоже содержит элементы проблемной ситуации:

1. Попытаться найти другое доказательство теоремы о вычислении площади треугольника.
2. Решите следующие задачи:

1. Две стороны треугольника равны 18см и 24см. Вычислите высоту, проведённую ко второй стороне.
2. Вывести формулу для вычисления площади равнобедренного треугольника.

11. Геометрия 8 класс, тема «Теорема Пифагора»

• Учитель предлагает рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 300 и 400 и задаёт вопрос: «Определяется ли гипотенуза данного треугольника однозначно?» Ученики отвечают утвердительно и обосновывают свой ответ. Тогда учитель просит назвать длину гипотенузы данного треугольника. Ученики осознают, что не могут этого сделать, хотя в принципе гипотенуза определяется однозначно. Таким образом, ребята ощутили ограниченность своих знаний и осознали необходимость их пополнения.
• «Фантастика! Вчера у нас в школе появился инопланетянин и предложил выбрать пластинки из неизвестного нам материала. Он положил на стол прямоугольный треугольник, а потом на катетах и на гипотенузе построил квадраты из упомянутого материала. Все пластинки однородные и одинаковой толщины. От нас зависит выбор: взять квадратную пластинку, построенную на гипотенузе, или две квадратные пластинки, построенные на катетах (это условие инопланетянина). Что мы выбираем?» Ребята высказывают предположения, спорят, экспериментируют. Основная часть работы сопровождается вопросами к классу: «А как вы думаете?», «Предлагайте свои варианты», «Приведите опровергающий пример». Такие вопросы стимулируют учащихся к активной работе на уроке, помогают им « не выключаться» из процесса познания.

Заключение.

     Педпрактика показывает, что создание проблемной ситуации, её осознание учащимися возможно при изучении многих тем в математике, так как в большинстве случаев можно поставить перед учеником проблемный вопрос для самостоятельного его решения. Именно в создании проблемной ситуации проявляется мастерство учителя. Подготовленность ученика к проблемному учению определяется, прежде всего, его умением «увидеть» выдвинутую учителем (или возникшую в ходе урока) проблему, сформулировать её, найти пути решения и решить самыми эффективными приёмами.

     Как можно увидеть из приведённых проблемных бесед, учащиеся становятся очевидцами возникновения проблемы, участниками её постановки и разрешения, соавторами небольших открытий, исследователями полученных закономерностей Структура темы учебника становится более понятной, а само её изучение проходит в форме интересных практических и познавательных задач. Существенное увеличение времени на подготовку урока оправдано возрастающим интересом учащихся к предмету.

     Новое в образовании состоит в постоянном поиске методов, созвучных времени; приёмов которые так организуют жизнь ребёнка на каждом занятии в школе, что в дальнейшем он сможет спокойно, самостоятельно строить свою жизнь. Одновременно, новое образование требует от учителя от всего того, что закомплексовывает ребёнка, формирует установки, которые способны испортить ему не только сегодняшнюю, но и дальнейшую жизнь.

     Учебный процесс, организованный по технологии проблемного обучения, представляет собой поиск новых познавательных ориентиров, в котором учащиеся самостоятельно постигают ведущие понятия. Данную технологию могут использовать учителя по многим предметам, особенно в тех случаях, когда:

• необходимо, чтобы учащиеся  самостоятельно установили те или иные зависимости, нашли альтернативные решения;
•  учащиеся сталкиваются с неизвестными явлениями в лабораторных опытах до того, как они будут изложены на уроке.

     Современный урок немыслим без творчества учителя и ученика, инициативы учителя, обратной связи, понимания учеником задания учителя, комфортности работы ученика, наличия проблемных вопросов и ситуаций, самоотверженности работы учителя, заботы учителя о творческом росте ученика.

     Всему этому способствует проблемное обучение. Итак, проблемные уроки снова актуальны.

Список использованной литературы.

• Кульневич С. В., Лакоценина Т. П. Современный урок. Часть ІІІ: Проблемные уроки. - Ростов-н/Д: Изд-во «Учитель», 2005.
• Куланин Е. П. Как подготовить и провести проблемную беседу. «Математика» - приложение к газете «Первое сентября»
• Лернер И. Я. Проблемное обучение. – М: «Наука», 1980.
• Лоповок Л. М. Тысяча проблемных задач по математике. – М: «Просвещение», 1995.
• Манвелов С. Г. Основы творческой разработки урока математики. – Статьи из газеты «Математика», 1997.
• Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. – М: «Просвещение», 1991.
• Окунев А. А. Как учить не уча. – Санкт-Петербург: «Нева», 1998.
• Понурова Г. А. Проблемный подход в обучении географии в средней школе. – М: «Просвещение», 1991.

Приложение 1.

Тема: «Пропорции».

     Цели урока:

• введение понятия пропорции и её членов, формулировка основного свойства пропорции;
• развитие воображения, математической интуиции, памяти, мышления; формирование правильной математической речи;
• активизация познавательной и творческой активности учащихся.

     Оборудование: демонстрационные карточки, таблицы, схемы.

     Тип урока: урок сообщения новых знаний.

Ход урока.

     І. Организационный момент.

     ІІ. Устные упражнения по карточкам.

         1. Выразите в процентах числа:

0,2 (20%); 0,15 (15%);  (50%);  ( %);  (75%);  (5%); 1 (100%); 3(300%).

2. Сколько процентов составляет:        4от 5 (80%); 12 от 8 (150%);

 100 от 50 (20%); 39 от 95 (20%);  от  (200%).

          3. Найдите отношение: 6 к 20 (%); 8 к 40 (%);

 ();  ();  ();  ().

          / По материалам карточек задаются дополнительные вопросы./

          Вопросы:

1. Что называется отношением двух чисел?
2. Что показывает отношение двух чисел?
3. Какую часть первое число составляет от второго?
4. Сколько процентов одно число составляет от другого?

     ІІІ. Объяснение нового материала.

     Даны два отношения: 1,4 к 0,7 и 50 к 25. Найдите эти отношения.

     Сравните данные отношения.

     (Отношения равны, так как значения частных равны 2).

     Следовательно, мы можем записать равенство

              или 1,4 : 0,7=50 : 25.

      Равенство двух отношений называют пропорцией. (Записывают в тетрадь).

Общий вид пропорции:

 или .

     Чтение записи  следующее:

     «Отношение  и  равно отношению  к »;

    чтение записи: :

     « так относится к , как  относится к ».

     Название членов пропорции следующее:  и  - крайние члены, ;  и - крайние члены.

        /Используется схема, изображенная на плакате./

                                        средние

                               крайние

     Задание 1. (Задание записано на доске, выполняется учениками устно.)

      Установите, является ли пропорцией равенство (1-2)

1. .   (Пропорция, так как 0,3 = 0,3.)
2. .  (Равенство не является пропорцией, так как .)

     Задание 2. (Выполняется устно.)

     В пропорции 2,4 : 0,6 = 8 : 2 найдите произведение её крайних и произведение её средних членов, то есть

                   2,4 •2 = 4,8 и 0,6 • 8 = 4,8

      Получим, что 2,4 • 2 = 0,6 • 8.

     Задание 3.

     Найдите произведение крайних членов пропорции 1-2 и произведение средних членов.

1. .   (6•9 = 3•18, 54 = 54.)
2. .  ()

     Вывод. (Могут сделать сами ученики.) Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

     Итак, мы сформулировали основное свойство пропорции:

• В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних.

     Вопросы. Верно ли обратное утверждение? Сформулируйте его. Приведите пример.

( Если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции, то пропорция верна.)

     /Далее создаётся проблемная ситуация/

     Можно ли из данной пропорции составить новые пропорции? Сколько?

     / На размышление учащимся даётся две минуты, затем верное решение демонстрируется на доске с помощью таблицы. /

     Задание 4. ( У доски выполняет сильный ученик.)

     Используя верное равенство 5 • 1,2 = 2 • 3, составьте четыре верные пропорции.

     Решение. (Записывается в тетради.)

     ;   ;  ;  .

     /Далее  учитель объясняет применение основного свойства пропорции при решении уравнений./

     Используя основное свойство пропорции, можно найти её неизвестный член, если все остальные члены известны.

     Пример 1. Найдите в пропорции : 0,6 = 7 : 2,1, неизвестный крайний член .

     Решение. : 0,6 = 7 : 2,1, , , .

     Ответ: .

     Пример 2. Решите уравнение .

     Решение. , , .

     Ответ: 0,03.

     ІV. Закрепление нового материала. № 746(а, в, д, е); №747(в, г, д, з)

     V. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

     Вопросы.

1. Что такое пропорция?
2. Сформулируйте основное свойство пропорции.
3. Сколько можно составить новых пропорций из данной?

     VІ. Домашнее задание: п.21, №760; №749; №761.