Способы решения нестандартных уравнений
элективный курс по алгебре (11 класс) по теме

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

НЕСТАНДАРТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Элективный курс по математике для учащихся 11 классов

ПРОГРАММА ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА

Пояснительная записка

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных интересов  школьников в методах и приёмах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики. Элективный курс «Нестандартные способы решения уравнений» даёт учащимся  возможность применить свои умения в нестандартных ситуациях, окажет помощь  в обобщении и систематизации знаний учащихся при   подготовке их к единому государственному экзамену по математике. С другой стороны, курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в вузе.

Содержание курса, форма его организации помогут школьнику через практические занятия оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы и предоставят ему возможность работать на уровне повышенных возможностей. Элективный  курс «Способы решения нестандартных уравнений» позитивно влияет на мотивацию старшеклассника к учению, развивает его учебную мотивацию по предметам естественно-математического цикла, способствует положительной мотивации у него.

Задания, предлагаемые программой данного элективного курса, носят исследовательский характер и способствуют развитию навыков рационального мышления, способности предвидеть результат.

Материал курса «Способы решения нестандартных уравнений» разбит на 7 модулей, каждый из которых посвящён специальному виду нестандартных уравнений: уравнения-тождества; уравнения, при решении которых используется теория прогрессий; уравнения, при решении которых используется монотонность; уравнения, при решении которых используется ограниченность; уравнения с двумя переменными; показательно-степенные уравнения; комбинированные нестандартные уравнения.

         В курсе систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений «линии уравнений», рассматриваются комбинированные уравнения, уравнения, в которых присутствуют элементы прогрессий.

Материалы  элективного курса ориентированы на развитие у учащихся умений анализировать, выделять главное и существенное, сравнивать и обобщать и будут способствовать правильному выбору учащимися будущей профессии.

Цель курса : 

• углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения;
• формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи курса :

1. Классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.
2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
3. Воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Требования к уровню освоения содержания курса

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
• умеют самостоятельно работать с математической литературой;
• знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические основы способов решения уравнений;
• умеют решать нестандартные уравнения различными методами;
• умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Учебно-тематический план курса

Математическое содержание курса

Тема 1. Уравнения – тождества(2 ч)

Область определения элементарных функций. Область определения и множество решений уравнения. Виды уравнений.

Учащиеся должны знать:

• формулы алгебры и тригонометрии;
• понятие области определения элементарных функций;
• понятие области определения и множества решения уравнения.

Учащиеся должны уметь:

• выделять «опасные операции» над переменной X, содержащиеся в записи уравнения (извлечение корня четной степени, деление на выражение с переменной, логарифмирование, возведение в степень, «взятие» тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса)
• составлять и решать систему ограничений.

Тема 2. Уравнения, при решении которых используются прогрессии(4 ч)

Теория прогрессий: понятийный аппарат, характеристические свойства, формулы n-го члена и суммы членов прогрессий. Уравнения высших степеней, дробно-рациональные и трансцендентные уравнения.

Учащиеся должны знать:

• определения базовых понятий последовательностей, формулы n-го члена и суммы членов прогрессий, характеристические свойства прогрессий;
• приёмы решения показательных, дробно-рациональных уравнений, трансцендентных уравнений, в записи которых присутствуют суммы прогрессий.

Учащиеся должны уметь:

• выделять в уравнении сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумму арифметической прогрессии);
• решать рациональные, показательные и логарифмические уравнения, используя теорию прогрессий.

Тема 3. Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции(4ч)

Множество значений функции. Понятие ограниченности функции.

Метод замены исходного уравнения системой уравнений.

Виды уравнений, при решении которых используется ограниченность функции.

Учащиеся должны знать:

• таблицу множеств значений элементарных функций;
• определения ограниченной функции (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на промежутке;
• теорему, позволяющую заменить данное уравнение системой уравнений, учитывая ограниченность функций, входящих в исходное уравнение;
• обобщённый алгоритм решения уравнений методом оценки и критерии его применения.

Учащиеся должны уметь:

• исследовать функции на ограниченность;
• определять тип уравнения, к которому применим метод оценки;
• применять метод оценки к решению уравнений;
• решать нестандартные системы уравнений методом оценки.

Тема 4. Уравнения, при решении которых используется монотонность функций(4 ч)

Теорема, устанавливающая связь монотонности функций, входящих в

уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

Виды уравнений, при решении которых используется монотонность функций.

Учащиеся должны знать:

• определения возрастающей, убывающей, монотонной функций;
• теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения;
• обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функций;
• виды уравнений, решаемых с использованием монотонности функций.

Учащиеся должны уметь:

• находить область определения функций;
• исследовать функцию на монотонность;
• применять обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функции к соответствующим видам уравнений.

Тема 5. Уравнения с двумя неизвестными(4 ч)

Виды уравнений с двумя неизвестными и способы их решения:

Метод оценки. Решение уравнений, как квадратного относительно одной из неизвестных; разложением на множители; заменой исходного уравнения системой уравнений.

Учащиеся должны знать:

• условие равенства нулю суммы неотрицательных чисел;
• множества значений элементарных функций;
• понятие ограниченности функций;
• способы решения уравнений с двумя неизвестными:

• замена исходного уравнения системой уравнений,
• метод оценки,
• решение уравнения с двумя неизвестными второй степени, как квадратного относительно одной из неизвестных,
• разложение на множители.

Учащиеся должны уметь:

• определить вид уравнения;
• находить область определения уравнения;
• оценивать левую и правую части уравнения, применять метод оценки;
• раскладывать на множители;
• выбирать рациональный способ решения;
• решать системы уравнений.

Тема 6. Показательно-степенные уравнения(4 ч)

Понятие показательно-степенного уравнения.

Метод сведения уравнения к совокупности систем уравнений и

неравенств.

Учащиеся должны знать:

• определения, свойства степенной и показательной функций;
• способы и особенности решения рациональных, иррациональных, показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.

Учащиеся должны уметь:

• анализировать, сопоставлять, сравнивать, обобщать;
• исследовать показательно-степенные уравнения;
• сводить их к совокупности систем уравнений и неравенств;
• решать системы уравнений и неравенств.

Тема 7. Практикум по решению некоторых других нестандартных уравнений предполагает исследовательскую деятельность учащихся(11ч)

Итоговое занятие предлагается провести в форме круглого стола с презентациями. Комбинированные уравнения (показательно-логарифмические, логарифмически-показательные, показательно-тригонометрические, тригонометрическо-показательные и т.д.).

Учащиеся должны знать:

• этапы исследовательской деятельности.

Учащиеся должны уметь:

• использовать этапы исследовательской деятельности на практике.

Литература:

1. Володькин Е.Г., Кармакова Т.С.,  Шелягина И.Д. Способы решения нестандартных уравнений: Элективный курс по математике для учащихся 10-11классов с программно-дидактическим обеспечением – Хабаровск: Изд-во ХК ИПП ПК, 2006.
2. Сергеев И.Н. ЕГЭ. Математика. Задания типа С. -  М.: Издательство «Экзамен», 2010
3. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. сред. шк. -  М.: Просвещение, 1991
4. Шагин В.Л. Теория. Решения. Ответы: Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике и конкурсным экзаменам в вузы: - М. Вита-Пресс, 2007
5. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10-11 кл. ср. шк. -  М.: Просвещение, 1990