Элективный курс "Способы решений нестандартных уравнений"
рабочая программа по алгебре (10 класс)

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

Элективного курса по математике для 10 класса

«Способы решения нестандартных уравнений»

учителя математики

 Мироновой Валентины Александровны

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 1»

г. Чистополь

Пояснительная записка

Данный элективный курс направлен, прежде всего, на удовлетворение индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника в математике, способствует удовлетворению познавательных потребностей школьников в методах и приёмах решения нестандартных задач. Содержание курса углубляет «линию уравнений» в школьном курсе математики и не дублирует программу базового и профильного изучения алгебры и начал анализа. Именно поэтому при изучении данного элективного курса у старшеклассников повысится возможность намного полнее удовлетворить свои интересы и запросы  в математическом образовании. Элективный курс «Нестандартные способы решения уравнений» займёт значимое место в образовании старшеклассников, так как может научить их применять свои умения в нестандартных ситуациях, дать возможность «поучиться не для аттестата», а для реализации  последующих жизненных планов. С другой стороны, курс позволяет выпускнику средней школы приобрести необходимый и достаточный набор умений по решению уравнений и лучше подготовиться к обучению в вузе, где математика является профилирующим предметом.

Материал  курса  «Способы решения нестандартных уравнений» разбит на 7 модулей, каждый из которых посвящён специальному виду нестандартных уравнений: уравнения-тождества; уравнения, при решении которых  используется  теория прогрессий;  уравнения, при решении которых используется монотонность;  уравнения, при решении которых используется ограниченность;  уравнения с двумя переменными; уравнения, при решении которых используется чётность функции;  комбинированные нестандартные уравнения.

         В курсе систематизированы теоретические и практические основы знаний и умений «линии уравнений», рассматриваются комбинированные уравнения, уравнения, в которых присутствуют элементы прогрессий.

         Каждый из модулей элективного курса имеет законченный вид, что позволяет старшекласснику, который ошибочно выбрал курс, пойти в следующей четверти или полугодии на занятия по изучению другого элективного курса.

Цель курса : 

углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений и базовых математических понятий, используемых при обосновании того или иного метода решения; формирование у школьников компетенций, направленных на выработку навыков самостоятельной и групповой исследовательской деятельности.

Задачи курса :

1. Классификация способов решения нестандартных уравнений, углубление теоретических основ школьной математики для решения каждого вида уравнений.
2. Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для полноценной жизни в обществе. Развитие мыслительных способностей учащихся: умения анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать.
3. Воспитание личности в процессе освоения математики и математической деятельности, развитие у учащихся самостоятельности и способности к самоорганизации.

Для реализации целей и задач данного элективного курса предполагается использовать следующие формы учебных занятий: лекции, семинары, практикумы.

Занятия носят проблемный характер. Ученики самостоятельно, в микрогруппах, в сотрудничестве с учителем выполняют задания, предполагающие исследовательскую деятельность, на занятиях организуется обсуждение результатов этой работы.

Оперативную коррекцию в овладении учебной деятельностью проводится на уроках-практикумах. Урок-практикум – своеобразная самостоятельная работа, вариант, объем заданий учащиеся выбирают сами, исходя из уровня усвоения материала, мотивации развития, норм оценок. Каждому ученику предоставляется право проверить правильность решения каждого задания, получить консультацию учителя. Ученик управляет своей деятельностью, своим развитием, формируя качества субъекта учения и самовоспитания.

Требования к уровню освоения содержания курса

В результате изучения курса учащиеся овладевают следующими знаниями, умениями и способами деятельности:

• имеют представление о математике как форме описания и методе познания действительности;
• умеют анализировать, сопоставлять, сравнивать, систематизировать и обобщать;
• умеют самостоятельно работать с математической литературой;
• знают основные приемы решения нестандартных уравнений, понимают теоретические основы способов решения уравнений;
• умеют решать нестандартные уравнения различными методами;
• умеют представлять результат своей деятельности, участвовать в дискуссиях;
• умеют проводить самоанализ деятельности и самооценку ее результата.

Формы контроля

Смысл профильного курса заключается в предоставлении каждому ученику «индивидуальной зоны потенциального развития», поэтому – нельзя требовать от каждого ученика твердого усвоения каждого «нестандартного приема». В конце каждого модуля проводится зачётное занятие, которым может быть:

1. Решение учеником в качестве индивидуального домашнего задания предложенных учителем задач из того списка, что завершает каждый модуль и называется «Упражнения для самостоятельной работы».
2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных       учителем задач из того же раздела.

Итоговое занятие предлагается провести в форме  зачёта по всему материалу.

Тематический план курс

Математическое содержание курса

Тема 1. Уравнения- тождества.

Область определения элементарных функций. Область определения и множество решений уравнения. Виды уравнений.

Учащиеся должны знать:

• формулы алгебры и тригонометрии;
• понятие области определения элементарных функций;
• понятие области определения и множества решения уравнения.

Учащиеся должны уметь:

• выделять «опасные операции» над переменной X, содержащиеся в записи уравнения (извлечение корня четной степени, деление на выражение с переменной, возведение в степень, «взятие» тангенса, котангенса, арксинуса и арккосинуса)
• составлять и решать систему ограничений.

Тема 2. Уравнения, при решении которых используются прогрессии

Теория прогрессий: понятийный аппарат, характеристические свойства, формулы n-го члена и суммы членов прогрессий. Уравнения высших степеней, дробно-рациональные и трансцендентные уравнения.

Учащиеся должны знать:

• определения базовых понятий последовательностей, формулы n-го члена и суммы членов прогрессий, характеристические свойства прогрессий;
• приёмы решения  дробно-рациональных уравнений, трансцендентных уравнений, в записи которых присутствуют суммы прогрессий.

Учащиеся должны уметь:

• выделять в уравнении сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумму арифметической прогрессии);
• решать рациональные уравнения, используя теорию прогрессий.

Тема 3. Уравнения, при решении которых используется ограниченность функции

Множество значений функции. Понятие ограниченности функции.

Метод замены исходного уравнения системой уравнений.

Виды уравнений, при решении которых используется ограниченность функции.

Учащиеся должны знать:

• таблицу множеств значений элементарных функций;
• определения ограниченной функции (ограниченной снизу, ограниченной сверху) на промежутке;
• теорему, позволяющую заменить данное уравнение системой уравнений, учитывая ограниченность функций, входящих в исходное уравнение;
• обобщённый алгоритм решения уравнений методом оценки и критерии его применения.

Учащиеся должны уметь:

• исследовать функции на ограниченность;
• определять тип уравнения, к которому применим метод оценки;
• применять метод оценки к решению уравнений;
• решать нестандартные системы уравнений методом оценки.

Тема 4. Уравнения, при решении которых используется монотонность функций

Теорема, устанавливающая связь монотонности функций, входящих в

уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения.

Виды уравнений, при решении которых используется монотонность функций.

Учащиеся должны знать:

• определения возрастающей, убывающей, монотонной функций;
• теорему, устанавливающую связь монотонности функций, входящих в уравнение, с количеством корней соответствующего уравнения;
• обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функций;
• виды уравнений, решаемых с использованием монотонности функций.

Учащиеся должны уметь:

• находить область определения функций;
• исследовать функцию на монотонность;
• применять обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования монотонности функции к соответствующим видам уравнений.

Тема 5. Уравнения с двумя неизвестными

Виды уравнений с двумя неизвестными и способы их решения:

Метод оценки. Решение уравнений, как квадратного относительно одной из неизвестных; разложением на множители; заменой исходного уравнения системой уравнений.

Учащиеся должны знать:

• условие равенства нулю суммы неотрицательных чисел;
• множества значений элементарных функций;
• понятие ограниченности функций;
• способы решения уравнений с двумя неизвестными:

• замена исходного уравнения системой уравнений,
• метод оценки,
• решение уравнения с двумя неизвестными второй степени, как квадратного относительно одной из неизвестных,
• разложение на множители.

Учащиеся должны уметь:

• определить вид уравнения;
• находить область определения уравнения;
• оценивать левую и правую части уравнения, применять метод оценки;
• раскладывать на множители;
• выбирать рациональный способ решения;
• решать системы уравнений.

Тема 6. Уравнения, при решении которых используется свойства чётности и нечётности функций.

Понятия чётной и нечётной функций. Область определения чётной и нечётной функций. Теорема о сумме, разности, произведении и частном двух чётных функций; произведении и частном двух нечётных функций.

Виды уравнений, при решении которых используется чётность функции.

Учащиеся должны знать:

• определения чётной и нечётной функций ;
• теорему, о сумме, разности, произведении и частном двух                                               чётных функций; произведении и частном двух нечётных функций.

• обобщённый алгоритм решения уравнений методом использования чётности (нечётности) функции.

Учащиеся должны уметь:

• исследовать функцию на чётность;
• определять тип уравнения, к которому применим данный метод;
• решать нестандартные уравнения методом использования чётности (нечётности) функции.

Тема 7. Практикум по решению некоторых других нестандартных уравнений предполагает исследовательскую деятельность учащихся

Учащиеся должны знать:

• этапы исследовательской деятельности.

Учащиеся должны уметь:

• использовать этапы исследовательской деятельности на практике.

Учебно-методическое обеспечение курса

1. Кармакова Т.С., Володькин Е.Г. Способы решения нестандартных уравнений и систем уравнений: Дидактические материалы для учителей математики. - Хабаровск: ХК ППК ПК,2005.
2. Кармакова Т.С. Практикум по элементарной математике для подготовки к ЕГЭ. – Хабаровск: ХК ППК ПК,2004.
3. Ковалёва Г.И., Бузулина Т.И. и др. Математика для учащихся 11 класса и поступающих в вузы. Тренировочные тематические задания. - Волгоград:Учитель,2005.
4. Письменный Д.Т. Готовимся к экзамену по математике (школа и ВУЗ). -Домашний репетитор. АЙРИС,1996.
5. «Математика. Интенсивный  курс подготовки к экзамену» О.Черкасов, А.Якушев. -  11-е изд., М: Эйрис – пресс, 2006
6. «Учебно - тренировочные материалы для подготовки к ЕГЭ. Математика». Денищева Л.О., Глазков Ю.А. и др. М.: Интеллект – Центр, 2004.
7. Шунда Н.Н. «Об использовании свойств функции при решении уравнений и неравенств» Математика в школе №3 1970.
8. Г.И.Ковалёва, Е.В.Конкина «Функциональный метод решения уравнений и неравенств» М.: - Чистые пруды, 2008.
9. «Математика. Задачи»  Москва , 2003. (В.Н.Самохин, Т.В.Бурова, В.П.Норин и др.)

Приложение

Дополнительный материалы:

Решить уравнения:

1. sin22x+6sin2xcos2x+5cos22x=0.

2. 3cos2x-5sin2x-sin2x=0,

3.  cos2x=sin2x-1,

4. 3cos2-5cos x-2sin x=4,

5. 5sin2x-4sinxcosx-cos2x=4.

Решить уравнения:

1.cos x+cos5x=2,

2.cos43x-sin22x=1,

3.cos xcos(x)=1,

4.sin x sin2x sin3x=0,8,

5.2sin=,

Выполните задние:

1.Из всех решений уравнения 4sin2x(1+cos2x)=1-cos2x  указать те, которые принадлежат промежутку [ ].

2. Решить уравнение  .

3. Решить уравнение 0,5sin2x+cos2x=4cos 2x и указать какое-нибудь решение, удовлетворяющее неравенству πх-х2>0.

4. Найти нули функции у=2cos x+3sin x на отрезке [0;].

5.Склоько корней имеет уравнение cos 2x-cos x=2-sin2x  на отрезке

[-100π;100π]?

Решите уравнение:

1. ;

2. .

3.

4.

Решите уравнения:

1. arcccos x arcsin x=,
2. arcsin(x(x+y))+arccos(y(x+y))=π,
3. arcos(3x-4)=2arctg(5-3x),
4. arcsin 2x+arccos(6x-2)=π,
5. 4arctg(x2-3x-3)-π=0,
6. arcsin3x=arccos4x,
7. 2arcsin x= arcsin ,
8. arcsin x+ arcsin 2x=,
9. (arcsin x)2+(arctg x)2=π2.