История введения понятия функции
статья по алгебре по теме

История введения понятия функции

в школьный курс математики и современность

Выполнила учитель математики и информатики  Бывшева В.В.

Нижний Новгород

2013 г.

        Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира [5].

Пропедевтический период понятия «Функция» с древнейших времен до 17 века. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых, математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5 тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.

Введение понятия функции через механическое и геометрическое представления 17 век. Начиная лишь с 17 века, в связи с проникновением в математику идеи переменных, понятие функции применяется явно и вполне сознательно.

Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет (1540-1603) и Рене Декарт (1596-1650); они разработали единую буквенную математическую символику, которая вскоре получила всеобщее признание. Введено было единое обозначение: неизвестных - последними буквами латинского алфавита - x, y, z, известных - начальными буквами того же алфавита - a, b, c, ... и т.д. Под каждой буквой стало возможным понимать не только конкретные данные, но и многие другие; в математику пришла идея изменения. Тем самым появилась возможность записывать общие формулы.

Кроме того, у Декарта и Ферма (1601-1665) в геометрических работах появляется отчетливое представление переменной величины и прямоугольной системы координат. В своей «Геометрии» в 1637 году Декарт дает понятие функции, как изменение ординаты точки в зависимости от изменения ее абсциссы; он систематически рассматривал лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться, таким образом, с понятием аналитического выражения - формулы. В 1671 году Ньютон (1643-1727) под функцией стал понимать переменную величину, которая изменяется с течением времени (называл в «флюентой»).

В «Геометрии» Декарта и работах Ферма, Ньютона и
Лейбница (1646-1716) понятие функции носило по существу интуитивный характер и было связано либо с геометрическими, либо с механическими представлениями: ординаты точек кривых - функция от абсцисс (x); путь и скорость - функция от времени (t) и т.п.

Аналитическое определение функции 17 - начало 19 века. Само слово «функция» (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. в письме к Гюйгенсу (1629-1695) (под функцией он понимал отрезок, длина которого меняется по какому-нибудь определенному закону), в печати ввел с 1694 года. Начиная с 1698 года, Лейбниц ввел также термины «переменная» и «константа». В 18 веке появляется новый взгляд на функцию как на формулу, связывающую одну переменную с другой. Это так называемая аналитическая точка зрения на понятие функции. Подход к такому определению впервые сделал швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667-1748), который в 1718 году определил функцию следующим образом: «функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способ из этой переменной величины и постоянных». Для обозначения произвольной функции от x Бернулли применил знак (x), называя характеристикой функции, Лейбниц употреблял x1, x2 вместо современных f1(x) , f2(x). Эйлер обозначил через f:x, f:(x+y) то, что мы ныне обозначаем через f(x), f(x+y).

Наряду с Эйлер предлагает использовать буквы , и другие. Даламбер сделал шаг вперед на пути к современным обозначениям, отбрасывая двоеточие Эйлера он пишет, например, t, (t+s).

Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сделал в 1748 году ученик Бернулли Эйлер (во «Введении в анализ бесконечного»): «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств». Так понимали функцию на протяжении почти всего 18 века Даламбер, Лагранж (1736-1813), Фурье (1768-1830) и другие видные математики. Что касается Эйлера, то он не всегда придерживался выше указанного определения; в его работах понятие функции подвергалось дальнейшему развитию в соответствии с запросами математического анализа.

В «Дифференциальном исчислении», вышедшем в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят друг от друга таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называют функцией вторых». «Это наименование, - продолжает далее Эйлер - имеет чрезвычайно широкий характер; оно охватывает все способы, какими одно количество определяется с помощью других».

Как видно из определенных определений, само понятие функции фактически отождествлялось с аналитическим выражением. Новые шаги в развитии естествознания и математики вызвали и дальнейшее обобщение понятия функции.

Одним из нерешенных вопросов, связанных с понятием функции, по поводу которого велась ожесточенная борьба мнений, был следующий: можно ли одну функцию задать несколькими аналитическими выражениями?

Большой вклад в разрешение спора Эйлера, Даламбера, Бернулли и других ученых 18 века по поводу того, что стоит понимать под функцией, внес французский математик Жан Батист Жозеф Фурье, занимавшийся в основном математической физикой. В представляемых им в Парижскую академию наук в 1807-1811 гг. Мемуарах по теории распространения тепла в твердом теле, Фурье привел и первые примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Из трудов Фурье следовало, что любая кривая независимо от того, из скольких и каких разнородных частей она состоит, может быть представлена в виде единого аналитического выражения и что имеются также прерывные кривые, изображаемые аналитическим выражением. В своем «Курсе алгебраического анализа», опубликованном в 1721г., французский математик О. Коши (1789-1857) обосновал выводы Фурье. Таким образом, на известном этапе развития физики и математики стало ясно, что приходится пользоваться и такими функциями, для определения которых очень сложно или даже невозможно ограничиться одним лишь аналитическим аппаратом. Последний стал тормозить требуемое математикой и естествознанием расширение понятия функции.

Идея соответствия  зародилась в 19 веке. В 1855 году Н.И. Лобачевский (1792-1856), развивая вышеупомянутое эйлеровское определение функции в 1755г., писал: «Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из них; или, наконец, зависимость может существовать, или оставаться неизвестной... Обширный взгляд теории допускает существование зависимости только в том смысле, чтобы числа, одни с другими в связи, принимать как бы данными вместе».

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано (1781-1848).

Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое немецкому математику П.Л. Дирихле (1805-1859), неоднократно предлагалось и до него. В 1837 году Дирихле так сформулировал общее определение понятия функции: «y есть функция переменной x (на отрезке ab), если каждому значению x на этом отрезке соответствует совершенно определенное значение y, причем безразлично каким образом установлено это соответствие - аналитической формулой, графиком, таблицей либо даже просто словами».

Примером, соответствующим этому общему определению, может служить так называемая «функция Дирихле» (x):

Эта функция задана двумя формулами и словесно. Она играет известную роль в анализе. Аналитически ее можно определить лишь с помощью довольно сложной формулы, не способствующей успешному изучению ее свойств. Таким образом, примерно в середине 19 века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от рамок аналитического выражения, от единовластия аналитической формулы. Главный упор в основном общем определении понятия функции делается на идею соответствия.

Во второй половине 19 века после создания теории множеств в понятие функции, помимо идеи соответствия была включена и идея множества.

Таким образом, в полном своем объеме общее определение понятия функции формулируется следующим образом: если каждому элементу x множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент y из множества В, то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В. В первом случае элементы x множества А называют значениями аргумента, а элементы их множества В - значениями функции; во втором случае x - прообразы, y - образы. В современном смысле рассматривают функции, определенные для множества значений x, которые возможно, и не заполняют отрезка (ab), о котором говорится в определении Дирихле.

Достаточно указать, например, на функцию-факториал y=n!, заданную на множестве натуральных чисел. Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам. Например, к геометрическим фигурам.

При любом геометрическом преобразовании мы имеем дело с функцией. Другими синонимами термина «функция» в различных отделах математики являются: соответствие, отображение, оператор, функционал и др.Дальнейшее развитие математической науки в 19 веке основывалось на общем определении функции Дирихле, ставшим классическим.

Уже с самого начала 20 века определение Дирихле стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков. Еще важнее была критика физиков, натолкнувшихся на явления, которые потребовали более широкого взгляда на физику. Необходимость дальнейшего расширения понятия функции стала особенно острой после выхода в свет в 1930 году книги «Основы квантовой механики» Поля Дирака (1902-1984), крупнейшего английского физика, одного из основателей квантовой механики. Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции. В связи с этим советский математик Н.М. Гюнтер (1871-1941) и другие ученые опубликовали в 30-40 годах нашего столетия работы, в которых неизвестными являются не функции точки, а «функции области», что лучше соответствует физической сущности явлений. Так, например, температуру тела в точке практически определить нельзя, в то время как температура в некоторой области тела имеет конкретный физический смысл. В общем виде понятие обобщенной функции было введено французом Лораном Шварцем. В 1936 году, 28-летний советский математик и механик С.Л. Соболев (род. в 1908г.) первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики. Важный вклад в развитие теории обобщенной функции внести ученики и последователи Шварца - И.М. Гельфант, Г.Е. Шилов и др.

Во второй половине XIX века учебников алгебры было не достаточно. Начиная с 60 годов началось широкое обсуждение программ и методов обучения алгебры [1].

Основные рассматриваемые вопросы:

- цели преподавания алгебры;

- поиск путей и методов перехода от арифметики к алгебре;

- включение в курс алгебры понятия функции.

        Идею введения темы «Функция» в курс алгебры высказывал Михаил Васильевич Остроградский. Он был сторонником введения в старших классах идеи функции и начал анализа.

        В.П. Шереметьевский в статье «Математика, как наука и ее школьные суррогаты» доказывал необходимость введения темы «Функция» в курс алгебры.

        В 1890 году была принята программа по алгебре.

        К концу XIX была создана классическая система школьного математического образования и одной из ее идей стала идея включения в курс алгебры темы «Функция».

В 1905 году в Германии были введены «Меранские программы», составленные под руководством Ф.Клейна. Его основные методические идеи:

- отказ от господства гуманитарной школы в пользу изучения естествознания и математики;

- углубление связи между теоретической и прикладной математикой;

- введение в школьный курс понятия функции и развитие функционального мышления.

        В 1964 году вышел учебник А. П. Киселева «Элементарная алгебра» для 6 класса. В этом учебнике выделена целая глава с названием «Функции и их графики». Тема вводится следующим образом [6].

        Сначала дается понятие функциональной зависимости. Для того что бы ввести понятие рассматриваются задачи следующего типа: Пусть 1 килограмм какого-либо товара стоит а рублей. Узнаем стоимость х килограммов этого товара. Обозначив искомую величину через у получим:

                                        у=ах

        Эта формула позволяет нам вычислить сумму, которую нам нужно заплатить за любое количество данного товара. Так:

стоимость 2 килограммов выражается в сумме 2а рублей,

стоимость 5 килограммов выражается в сумме 5а рублей,

стоимость 3,5 килограммов выражается в сумме 3,5а рублей.

        В данную формулу входят 3 величины: х – количество товара, у – его стоимость и а – цена одного килограмма товара. Мы видим, что в то время, как первые две из этих величин х и у принимают различные числовые значения, третью величину а мы предполагаем остающейся неизменной.

        Те величины, которые сохраняют неизменным свое значение, называют постоянными. Величины, могущие принимать различные значения, называются переменными.

        Заметим, что считать некоторые величины постоянными можно лишь в относительном смысле, в пределах рассматриваемого вопроса. В действительности жизни мы не можем указать на такую величину, которая бы не подвергалась изменениям. В приведенном выше примере цена товара по истечении известного промежутка времени может измениться в ту или другую сторону.

        Обычно входящие в формулу постоянные величины обозначаются первыми буквами алфавита a,b,c,…,m, а переменные последними x,y,z, конечно это условие соблюдается не всегда.

        Рассматривая переменные величины, в приведенных примерах, мы замечаем ,что в то время как две из них мы изменили произвольно,  давая им произвольные числовые значения, другие принимали те или иные числовые значения уже в зависимости от того, какие значения мы давали первым.

Далее вводится определения:

Та из двух связанных между собой переменных величин, которой можно придавать произвольные числовые значения, называется независимой переменной, или аргументом.

Та переменная величина, числовые значения которой изменяются в зависимости от числовых значений другой, называется зависимой переменной, или функцией этой другой переменной величины.

        Так, стоимость товара есть функция его количества.

        Иногда переменная величина зависит не от одной, а от двух, трех и более других переменных величин. Тогда она называется функцией двух, трех и более переменных.

        Пример: формула пути равномерного движения выражается так:

                                        y=vx

здесь v (скорость) – постоянная величина; x (время) – независимая переменная (аргумент); y (пройденный путь) – функция этого аргумента.

        В учебнике предложено три способа задания функции: табличный, аналитический, графический.

        В этой же главе рассказывается про метод координат, прямая и обратная пропорциональные зависимости.

Определение пропорциональной зависимости:

Две величины называются пропорциональными, если зависимость между ними может быть выражена формулой: y=kx , в которой x, y числа, выражающие соответствующие друг другу значения взятых величин, а k постоянное число (равное тому частному значению y, которое соответствует значению x=1). Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности данных величин.

Две величины называются обратно пропорциональными, если произведение численного значения одной из них на соответствующее численное значение другой равняется постоянному числу. Формула yx=k,

        Далее строят график прямой y=kx

График прямой пропорциональной зависимости, есть прямая проходящая через начало координат и через точку N, у которой абсцисса есть 1, а ордината равна коэффициенту пропорциональности. (на рисунке k=2)

Далее рассказывается, как меняется график в зависимости от значения коэффициента k.

График обратной пропорциональности строится по точкам. Говориться, что график функции  называется гиперболой. Дается определение:

Гипербола, есть кривая, состоящая из двух ветвей; при положительном k эти ветви лежат в первом и третьем квандрантах, а при отрицательном k во втором и в четвертом.

        Вводится понятие линейной функции. Рассматривается задача: длина железного стержня при температуре 00С составляет 1м. определить какая длина l окажется у этого стержня, когда он будет нагрет до t0С, если известно, что с каждым градусом нагревания длина стержня увеличивается на 0,000012 той длины, которую стержень имеет при 00С. При нагревании на 10С длина стержня, равная при 00С одному метрии (100 см), должна увеличиться на 100*0,000012=0,0012. удлинение при нагревании на t0С должно быть в t раз больше, чем при нагревании на 10С, поэтому все удлинение будет 0,0012t см. прибавив к этому удлинению начальную длину стержня 100 см получим:

                                        l=0,0012t+100

или в общем виде

                                        y=kx+b

Алгебраическое выражение вида:kx+b  в котором k и  b = какие-нибудь постоянные числа, а x – независимая переменная, называется двучленом первой степени(относительно x)

Корнем двучлена называется то значение аргумента x, при котором двучлен обращается в нуль.

        График двучлена y=kx+b есть прямая линия , параллельная прямой, изображающей функцию y=kx, и отсекающая от оси y-ов отрезок равный b.

        График функции y=x2 , при его построении обращают внимание на следующие вещи:

- при всяком значении аргумента х функция определена и получает только одно значение;

- так как (-х)2=х2, то при двух значениях х, отличающихся только знаками, получаются два одинаковых положительных значения у;

- если абсолютная величина х неограниченно увеличивается, то и у неограниченно увеличивается.

        Далее заполняется таблица значений и строится график. Полученный график называют параболой.

Выделяют свойства графика:

- вся кривая расположена по одну сторону от оси х-ов, а именно по ту сторону по какую лежат положительные значения ординат;

- парабола разделяется осью у-ов на две части (ветви). Точка О в которой эти ветви сходятся называется вершиной параболы. Эта точка есть единственная общая точка параболы и  оси х-ов;

- оби ветви бесконечны, так как х и у могут увеличиваться беспредельно;

- ось у-ов служит для параболы осью симметрии.

        График функции у=ах2 , строят по точкам. Все функции такого вида разбивают на 3 случая а<0, 01. ветви парабол 01 направлены вверх при a>1 ветви кривой более приподняты вверх, а при 0

        График функции у=ах+b, есть та же парабола у=ах, только парабола эта должна быть поднята вверх, если b>0 и опущена вниз, если b<0.

В 60-х гг. прошлого века «Колмогоровской реформой» называли такие нововведения в школьный курс математики, которые решительно поменяли не только содержание этого курса, но заставили изменить сам математический язык. Нововведения существенным образом отразились на методике преподавания математики. Для советской школы это были изменения огромной важности. Основная цель Реформы состояла в том, чтобы интенсифицировать преподавание, приблизив его к проблемам, которые рассматривались математиками не в древности, а в исторические периоды, более близкие к современности. В частности, предполагалось завершить курс математики рассмотрением дифференциального и интегрального исчислений и теории вероятностей. А подобраться к анализу иначе, как через теорию множеств было никак невозможно, поскольку весь анализ именно на теории множеств основан. Поэтому первоначально все соглашались с тем, надо начинать Реформу с введения в школу элементов теории множеств.

Посмотрим, как же вводилось понятие «Функция» в этот период. Рассмотрим учебное пособие для 6 класса средней школы «Алгебра» составители Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.С. Муравин под редакцией А.И. Маркушевич. 1974 год [7].

Рассмотрим пример:

На рисунке изображено множество А = {извозчик, летчик, шофер, космонавт} и B = {легковой автомобиль, грузовик, самолет, космический корабль, паровоз}. Точки внутри замкнутой линии изображают элементы этих множеств.

От некоторых элементов множества А проведены стрелки к элементам множества В. Будем считать, что элементу множества А соответствует тот элемент множества В, к которому от него проведена стрелка. Шоферу соответствует легковой автомобиль, ему же соответствует грузовик,  летчику соответствует самолет, космонавту космический корабль. Для извозчика в множестве В нет соответствующего элемента, а в множестве А нет элемента, которому соответствует паровоз. Говорят, что с помощью стрелок между множеством А и множеством В установлено соответствие.

        Рассмотрим рисунок:

На рисунке показаны соответствия между множеством А = {1,2,3} и В = {15,20,25}. В соответствии g каждому элементу множества А соответствует один и только один элемент из множества В (от каждой точки отходит стрелка и притом только одна). Для таких соответствий используется специальный термин функция.

        Соответствие h не является функцией, так как для элемента 1 нет соответствующего элемента (от точки 1 не исходит стрелка).

        Соответствие p не является функцией, так как элементу 2 соответствует более одного элемента (от элемента 2 отходит 2 стрелки).

        Определение: Соответствие между множеством Х и множеством У, при котором каждому элементу множества Х соответствует один и только один элемент множества У, называется функцией.

        Множество Х называется областью определения функции. Областью определения функции g служит множество А= {1,2,3}. Числа 15 и 20 называются значениями функции g. Множество {15,20} называется множеством значений функции g.

        Функцию с областью определения Х и множеством значений У, так же называют отображением множества Х на множество У.

Рассмотрим функцию f, заданную стрелками, можно назвать отображением множества А на множество В. Отображение f переводит число -2 в число 4, f(-2)=4.

        Способы задания функции:

- табличный;

- графический;

- задание функции формулой.

        В 6 классе изучаются свойства конкретных функций: прямой и обратной пропорциональности, линейной функции, функций, заданных формулами у=ах2, у=ах3. построение графиков этих функций сопровождается элементами аналитического исследования.

        Началом современного этапа реформы математического образования (90-е годы) в нашей стране является 1989 год, когда была разработана в русле перестройки школы новая концепция общего среднего образования и подготовлена концепция школьного математического образования, определяемая новыми социально-экономическими условиями в стране, и основное содержание общего математического образования на данном этапе

        Изменения коснулись и изучение темы «Функция».

Рассмотрим как вводилось понятие «Функция» на примере учебника для 7 класса средней школы «Алгебра» составители Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. [2].

        Рассмотрим задачу: Поезд движется из Москвы в Ленинград со скоростью 120 км/ч. Какой путь пройдет поезд за t часов?

        Если обозначить искомый путь буквой s (в км), то ответ можно записать формулой:

                                s = 120t

        При движении поезда путь s и время t изменяются. Поэтому их называют переменными. Так как значения s зависят от выбора значения t, то t называют независимой переменной, а s зависимой переменной или функцией. Зависимость переменной s от переменной t называют функциональной зависимостью.

        Способы задания функции:

- формулой;

- таблицей;

- графиком.

        В 7 классе рассказывается о функции y=kx и ее графике, а так же о линейной функции и ее графике.

        Современный подход изучения темы «Функция» на примере учебников алгебра А.Г. Мордковича.

        Впервые тема «Функция» встречается в 7 классе [9]. Теме «Линейная функция» предшествует тема «Линейное уравнение с двумя переменными и его график». Тема «Линейная функция» вводится следующим образом:

        Рассмотрим уравнение 3х-2у+6=0, т.е.

                                        2у=3х+6.

        Умножим обе части уравнения на ½, получим

                                        , т.е

                                        .

        Придавая х конкретные значения, легко вычислить соответствующие значения у. например, при х=0 получаем х=3; при х=-2 имеем у=0; при х=2 имеем у=6; при х=4 получаем у=9.

        Рассмотрим теперь указанные преобразования в общем виде.         

Пусть в уравнении вида ax+by+c=0, a≠0, b≠0, c≠0,

имеем                                 

введем обозначения , получаем

                                        ,

где k,m – числа (коэффициенты).

        Это частный вид линейного уравнения. Зная чему равен х, по правилу  всегда можно найти чему равен у. Пусть, например, у=2х+3, тогда:

если х=0, то у=3;

если х=1, то у=5;

если х=-1, то у=1;

если х=3, то у=9 и т.д.

        Обычно результаты записывают в виде таблицы:

        Значения у из второй строки таблицы называют значениями линейной функции у=2х+3 соответственно в точках х=0, х=1, х=-1, х=3.

        Конкретные значения мы придаем переменной х, тогда как значение переменной у зависят от выбранного значения переменной х. поэтому говорят, что х – независимая переменная (или аргумент), а у – зависимая переменная.

        В 7 классе изучается функция y=x2. Определение функции, в это время не дается. Автор считает, что перед введением определения понятия «Функция» надо набраться опыта и строгое определение дает только в 9 классе.

        Определение: Если даны числовое множество Х и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х определенное число у, то говорят, что задана функция y=f(x) c областью определения Х, пишут y=f(x), хєХ. При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. [11]

        Множество всех значений функции y=f(x), хєХ, называют областью значений функции и обозначают Е(f).

        Способы задания функции:

- графический;

- аналитический;

- табличный.

Список литературы:

1. Иванова Т.А. Лекции  «История, методология и современные проблемы математического образования», 2012

2. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1995.

3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. сред шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1996.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред шк. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1998.

5. Глейзер Г.И., История математики в школе, IX-X классы, Москва, Просвещение, 1983.

6. Киселев А.П. Элементарная алгебра, М.: Физматлит, 2006

7. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра: учебник для 6 класса средней школы/Под ред. А.И. Макушевича.//М., 1974

8. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра в VI классе: в помощь учителю математики. – М., 1972

9. Мордкович А.Г. Алгебра - 7. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

10. Мордкович А.Г. Алгебра - 8. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.

11. Мордкович А.Г. Алгебра - 9. Учебник. - 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2003.