Урок математики 8 класс "Золотое сечение"
план-конспект урока (алгебра, 8 класс) по теме

ЗОЛОТОЕ  СЕЧЕНИЕ

 “Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота; второе же больше напоминает драгоценный камень”.

Иоганн Кеплер

Цель: сегодня мы раскроем тайны “золотого сечения” (слайд №3)

• Научимся алгебраическому нахождению Золотого сечения отрезка АВ = а, которое сводится к решению  квадратного уравнения.
• Узнаем, что существует такая золотая точка на любом отрезке, которая обеспечивает, присутствие красоты, соразмерности всех частей.
• Рассмотрим примеры где встречается “золотое сечение” в живой и не живой природе.

Ход урока:

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое “золотое сечение” – далеко не все.  Расскажем вам об этом “драгоценном камне”.

Понятие “Золотого сечения”, которое мы сегодня рассмотрим, объединяет гармонию чисел с гармонией природы (слайд №5). Наш урок мы начнем с рассмотрения числовых рядов (надо продолжить числовые ряды).

Обратите внимание на последний ряд. Этот ряд имеет особое название. Называется он рядом Фибоначчи, по имени итальянского математика, а числа называются числами Фибоначчи (слайд №6).

 Составьте отношение какого-либо числа ряда Фибоначчи к последующему числу. Назовите полученные отношения (записать на доске ответы учеников        1 / 1 , 1/ 2, 2/ 3, 3/ 5, 8/ 13, 13/ 21,…), . найдем приближенное значение каждого отношения: 1/1=1, 1/2=0,5, 2/3=0,666, 3/5=0,6, 5/8=0,625, 8/13=0,6153, 13/21=0,6190, 21/34=0,6176, 34/55=0,6181, 55/89=0,6179. Чем дальше мы будете продолжать считать, тем ближе будете подходить к числу фи. Конечно, вы никогда не дойдете до него, потому что у него нет арифметического решения, но мы будете бесконечно приближаться к нему. Округлив результат до десятых получим 0,6. (учитель записывает на доске: 0,6).

Вы видите, что в основном все дроби имеют приближенное значение 0,6. Запомните это число, мы еще к нему вернемся.

(слайд №7) Итак – “золотое сечение” – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему.

Рассмотрим деление отрезка на части в отношении равном “золотому сечению”.

Пусть точка Е делит отрезок АВ в золотом отношении. Примем длину всего отрезка АВ = а, обозначим большую его часть ВЕ = х, тогда АЕ = а – х.

(Решение уравнения) (слайд №8)

Обозначают это число Ф (фи). Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.

(слайд №9) Итак “золотое сечение” – это иррациональное число, оно приблизительно равно 0,618.

Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям, или 68% и 38%.

Задача 1. Возьмите отрезок длиной 10см и разделите его приблизительно в золотом отношении. (6,2 см и 3,8 см) Части “золотого сечения” составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка (слайд №10).

Но как же разделить отрезок в золотом отношении? 

С помощью непосредственных измерений сделать это не возможно, поскольку число Ф – иррациональное. Древние мастера использовали циркуль и линейку, причем были найдены различные способы построения. Рассмотрим один из них, самый простой (слайд №11).

Пусть дан отрезок АВ, и надо осуществить его “золотое сечение”.

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции. Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью, если АВ принять за единицу, то AE = 0,618...и ВЕ= 0,382...

Итак, найдена, казалось бы, совершенно ординарная точка на обычном отрезке. А между тем ею обеспечивается присутствие красоты, соразмерности всех частей.

(слайд №12) Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V век до н.э.).

(сообщение) Вершина греческой архитектуры – храм Афины Парфенос (Девы) создан в 447 – 438 г. до н.э. зодчими Иктином и Калликратом в Афинах.

Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотгношениях его частей золотую пропорцию.

На прямоугольной платформе (в 68,4 м длины и в 30,38 м ширины), сложенной из пирейского камня и на которую можно было со всех сторон подниматься по трем ступеням, высился построенный из пентелийского мрамора величественный периптер дорического стиля с восемью колоннами в каждом коротком фасе и с семнадцатью в каждом длинном. Так, приняв за единицу ширину торцевого фасада здания, можно получить геометрическую прогрессию, состоящую из 8 членов: расстояние между второй и седьмой колонами равно, между третьей и шестой, между четвертой и пятой. Аналогичные закономерности мы видим и в построении здания по высоте.

(слайд №13) Другим примером является одна из жемчужин древнерусской архитектуры — храм Василия Блаженного в Москве.

(сообщение) Долгое время считали, что зодчие Древней Руси строили все «на глазок», без особых математических расчетов. Однако новейшие исследования показали, что русские архитекторы хорошо знали математические пропорции, о чем свидетельствует анализ геометрии древних храмов. Трудно найти человека, который бы не знал собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный, он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий, ему нет равных в нашей стране.

Покровский собор на рву в Москве, созданный по заказу царя Ивана Грозного в 1555— 1560 годах на Московском посаде под стенами Кремля, в память крупнейшего события XVI века — взятия Казани. Построен он русскими зодчими, имена которых — Барма и Посник Яковлев( по некоторым данным это был один и тот же человек).

Ранее здесь был похоронен юродивый Василий. В память об этом человеке, который не боялся говорить правду в глаза Ивану грозному, собор получил народное название храм Василия Блаженного.

Храм состоит из центральной церкви и нескольких приделов, каждый из которых возведён как отдельная церковь. Центральное здание представляет собой высокий столп. Увенчанный шатром. К северу и югу, западу и востоку от него расположено четыре больших предела, а по диагонали - четыре малых. Башни приделов начинаются от самой земли и вместе с центральным храмом создают сложную пирамидальную композицию. Подобных построек до этого на Руси не было.

(слайд №14) Исследуя храм, пришли к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.

(слайд №15) Термин “золотое сечение” ввел Леонардо да Винчи. Он говорил: “Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды”.(слайд №16)

(слайд №17) О пропорции человеческого тела он говорил: «Если мы человеческую фигуру - самое совершенное творение Вселенной - перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относится к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека относится к длине от пояса до ступней... Если теперь измерим длину от макушки до среднего пальца, когда руки опущены, то эта величина по отношению к расстоянию от среднего пальца до ступни составят то же число, что и отношение всего роста. Это отношение воплощено в человеке и оно - самое прекрасное в природе».

(слайд №18) Пропорции различных частей нашего тела составляют число, очень близкое к 0,618, золотому сечению. Если эти пропорции совпадают с формулой золотого сечения, то внешность или тело человека считается идеально сложенными.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволило обнаружить, что для взрослых мужчин это отношение равно 8:13=0,615, а взрослых женщин оно составляет 5:8 = 0,625. Так что пропорции мужчин ближе к “золотому сечению”.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела связывалось с формулой “золотого сечения”.

Пропорции “золотого сечения” создают впечатления гармонии красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

(слайд №19) Одним из высших достижений классического греческого искусства может служить статуя Дорифора, изваянная Поликтетом в V веке до н.э. Эта статуя считается наилучшим примером для анализа пропорций идеального человеческого тела, установленных античными греческими скульпторами, и напрямую связана с Золотым сечение. Ф=0,618…

(сообщение) Поликлет ("около 480 г. - конец V в. до н. э.) - аргосский скульптор пытался в трактате «Канон» теоретически обосновать закон идеальных пропорций, стремясь к максимально ясной соразмерности частей гармонично развитого человеческого тела. Поликлет определял пропорции человеческой фигуры исходя из её высоты. Например, голова равнялась одной восьмой высоты, ступня - одной шестой, лицо и кисть руки - одной десятой. Эти идеи были практически реализованы в скульптуре «Дорифор». Каноническим воплощением представлений Поликлета об идеальных пропорциях человека стала его известнейшая бронзовая статуя «Дорифор» («Копьеносец»), в которой сочетаются внешний покой и скрытое движение. Это ощущение достигается благодаря свободно отставленной в сторону ноге. Прекрасное, доблестное лицо копьеносца выражает мужество, ясность духа и готовность к подвигу. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

Венера Милосская, статуя богини Афродиты и эталон женской красоты, является одним из лучших памятников греческого скульптурного искусства - также построена на пропорциях золотого сечения.

Она выполнена во II в. до и. э. Это мраморная статуя богини любви Афродиты, которую отличают человечность, душевная теплота, совершенство, и которой посвящено множество произведений. Ее автором считается Агесандр ( или Александр ) из Антиохии, города в Малой Азии. Нашел ее в 1830 году крестьянин с маленького острова Мелос в Эгейском море при обработке своего поля. Статуя была приобретена французским послом и подарена французскому королю Луи Филиппу. Сегодня это один из самых прославленных шедевров коллекции Лувра в Париже. Даже без рук, которые так и не были найдены и положение которых не удалось смоделировать, фигура богини поражает своей красотой и идеальностью форм.

(слайд №20)“Мона Лиза” – бессмертное творение гениального Леонардо да Винчи. Этот портрет написан около 1503 года. Прошли века… Но люди продолжают любоваться красотой молодой женщины, ее загадочной улыбкой.

(сообщение) Портрет Монны Лизы (Джоконды) долгие годы привлекает внимание исследователей, которые обнаружили, что композиция рисунка основана на золотых треугольниках, являющихся частями правильного звездчатого пятиугольника. Существует очень много версий об истории этого портрета. Вот одна из них.

Однажды Леонардо да Винчи получил заказ, от банкира Франческо де ле Джокондо, написать портрет молодой женщины, жены банкира, Монны Лизы. Женщина не была красива, но в ней привлекала простота и естественность облика. Леонардо согласился писать портрет. Его модель была печальной и грустной, но Леонардо рассказал ей сказку, услышав которую, она стала живой и интересной.

Сказка

Жил-был один бедный человек, было у него четыре сына: три умных, а один из них и так, и сяк. И вот пришла за отцом смерть. Перед тем, как расстаться с жизнью, он позвал к себе детей и сказал: “Сыны мои, скоро я умру. Как только вы схороните меня, заприте хижину и идите на край света добывать себе счастья. Пусть каждый из вас чему-нибудь научится, чтобы мог кормить сам себя”. Отец умер, а сыновья разошлись по свету, договорившись спустя три года вернуться на поляну родной рощи.

Пришел первый брат, который научился плотничать, срубил дерево и обтесал его, сделал из него женщину, отошел немного и ждет. Вернулся второй брат, увидел деревянную женщину и, так как он был портной, в одну минуту одел ее: как искусный мастер он сшил для нее красивую шелковую одежду. Третий сын украсил женщину золотом и драгоценными камнями – ведь он был ювелир. Наконец, пришел четвертый брат. Он не умел плотничать и шить, он умел только слушать, что говорит земля, деревья, травы, звери и птицы, знал ход небесных тел и еще умел петь чудесные песни. Он запел песню, от которой заплакали притаившиеся за кустами братья. Песней этой он оживил женщину, она улыбнулась и вздохнула.

Братья бросились к ней и каждый кричал одно и то же: “Ты должна быть моей женой”. Но женщина ответила: “Ты меня создал – будь мне отцом. Ты меня одел, а ты украсил – будьте мне братьями. А ты, что вдохнул в меня душу и научил радоваться жизни, ты один мне нужен на всю жизнь”.

Кончив сказку, Леонардо взглянул на Монну Лизу, ее лицо озарилось светом, глаза сияли. Потом, точно пробудившись от сна, она вздохнула, провела по лицу рукой и без слов пошла на свое место, сложила руки и приняла обычную позу. Но дело было сделано – художник пробудил равнодушную статую; улыбка блаженства, медленно исчезая с ее лица, осталась в уголках рта и трепетала, придавая лицу изумительное, загадочное и чуть лукавое выражение, как у человека, который узнал тайну и, бережно ее храня, не может сдержать торжество.

Трудно отметить, что замечали в этом шедевре искусства, но все говорили о том глубоком знании Леонардо строения человеческого тела, благодаря которому ему удалось уловить эту, как бы загадочную, улыбку.

Портрет Моны Лизы (Джоконда)  привлекает  тем, что  композиция рисунка  построена  на "золотых  треугольниках",  точнее на  треугольниках,  являющихся  кусками  правильного  звездчатого  пятиугольника. Зрачок левого  глаза, через  который проходит  вертикальная ось полотна,  находится на пересечении двух  биссектрис верхнего золотого  треугольника, которые с одной  стороны, делят пополам углы  при основании золотого  треугольника, а с другой  стороны, в точках пересечения  с бедрами золотого  треугольника делят их в  пропорции Золотого сечения.

 (слайд №21) В этой картине “Золотая пропорция” встречается не один раз. Отношение ширины картины к ее длине 0,618. Светлая часть картины (пейзаж за окном) делит картину в “Золотом сечении”, руки Моны Лизы делят картину в отношении, близком к “золотому”, т.е. 1:2.

(слайд №22)В живописи и скульптуре храмов, на предметах домашнего обихода древние египтяне чаще всего изображали богов и фараонов. Были установлены каноны изображения стоящего человека идущего, сидящего и т.д. Художники обязаны были заучивать отдельные формы и схемы изображения по таблицам и образцам.

(слайд №23) Перед вами канон изображения стоящего человека, все пропорции человека связаны формулой “золотого сечения”.

(слайд №24)

(слайд №25) Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющие во всех искусствах. Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы.

(слайд №26)Приглядимся  внимательно к побегу.

От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции.

(слайд №27) В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции – длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

(слайд №28) Представление о золотом сечении будет неполным, если не сказать о спирали.

Форма спирально завитой раковины привлекла внимание Архимеда. В настоящее время спираль Архимеда широко применяется в технике и очень распространены в природе.

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.

(слайд №29) В настоящее время стоматология, наряду с пластической хирургией, занимается не только лечением заболеваний полости рта, но и эстетической медициной.

   Удивительно, но и в стоматологии можно проследить пропорции "золотого сечения".

   Красивая улыбка - это не только белоснежные здоровые ровные зубы, но и их правильное соотношение и расположение. И здесь мы опять сталкиваемся с закономерность "золотого сечения"

(слайд №30) Какие же пропорции в лице человека стремятся к "золотому сечению"?

   Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается:

Идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется "динамической симметрией" или "динамическим равновесием".

(слайд №31) И даже современный модельный бизнес также использует идеальные пропорции, ведь «все новое - это хорошо забытое старое».

 (слайд №32) А сколько мы ещё не знаем…?

“Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях (слайд №33).

(слайд №34) Д/З: Проверить присутствует ли во внешности ваших родителях, родственниках и кумирах «золотая пропорция».

(слайд №35) P.S.