Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Нахождение площади сечения через площадь его ортогональной проекции. Задание С2
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (11 класс) по теме

Слайд 1

Подготовка к ЕГЭ – 2014 по математике. Нахождение площади сечения через площадь его ортогональной проекции. Задание С2 Учитель математики МБОУ СОШ № 143 г. Красноярска Князькина Т. В.

Слайд 2

Рассмотрим решение такой задачи: В прямоугольном параллелепипеде , , . Сечение параллелепипеда проходит через точки B и D и образует с плоскостью ABC угол . Найдите площадь сечения . Ч асто бывает удобно находить площадь сечения через площадь его ортогональной проекции. Нахождение площади треугольника через площадь его ортогональной проекции легко иллюстрируется таким рисунком:

Слайд 3

CH- высота треугольника ABC , C ‘H – высота треугольника ABC ' , который является ортогональной проекцией треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника CHC ' : Площадь треугольника ABC ' равна Площадь треугольника ABC равна Cледовательно , площадь треугольника ABC равна площади треугольника ABC ‘, деленной на косинус угла между плоскостями треугольника ABC и треугольника ABC ' , который является ортогональной проекцией треугольника ABC .

Слайд 4

Поскольку площадь любого многоугольника можно представить в виде суммы площадей треугольников, площадь многоугольника равна площади его ортогональной проекции на плоскость деленной на косинус угла между плоскостями многоугольника и его проекции . Используем этот факт для решения нашей задачи (см. слайд 2) План решения такой: А) Строим сечение. Б) Находим его ортогональную проекцию на плоскость основания. В) Находим площадь ортогональной проекции. Г) Находим площадь сечения.

Слайд 5

1. Сначала нам нужно построить это сечение. Очевидно, что отрезок BD принадлежит плоскости сечения и плоскости основания, то есть принадлежит линии пересечения плоскостей:

Слайд 6

Угол между двумя плоскостями – это угол между двумя перпендикулярами, которые проведены к линии пересечения плоскостей и лежат в этих плоскостях . Пусть точка O – точка пересечения диагоналей основания. OC – перпендикуляр к линии пересечения плоскостей , который лежит в плоскости основания :

Слайд 7

2. Определим положение перпендикуляра, который лежит в плоскости сечения. (Помним, что если прямая перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Ищем наклонную по ее проекции ( OC ) и углу между проекцией и наклонной). Найдем тангенс угла COC ₁ между OC ₁ и OC

Слайд 8

Следовательно, угол между плоскостью сечения и плоскостью основания больше, чем между OC ₁ и OC. То есть сечение расположено как-то так : K – точка пересечения OP и A ₁C₁, LM||B₁D₁ .

Слайд 9

Итак, вот наше сечение: 3. Найдем проекцию сечения BLMD на плоскость основания. Для этого найдем проекции точек L и M .

Слайд 10

Четырехугольник BL ₁M₁D – проекция сечения на плоскость основания. 4. Найдем площадь четырехугольника BL ₁M₁D . Для этого из площади треугольника BCD вычтем площадь треугольника L ₁CM₁ Найдем площадь треугольника L ₁CM₁ . Треугольник L ₁CM₁ подобен треугольнику BCD . Найдем коэффициент подобия .

Слайд 11

Для этого рассмотрим т реугольники OPC и OKK₁ : Следовательно, и площадь треугольника L₁CM₁ составляет 4/25 площади треугольника BCD (отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия ). Тогда площадь четырехугольника BL₁M₁D равна 1-4/25=21/25 площади треугольника BCD и равна

Слайд 12

5. Теперь найдем 6 . И, наконец, получаем: Ответ : 112