Конспект урока Экономические задачи на уроках математики
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Конспект урока « Экономические задачи на уроке математики»

Тип урока: комбинированный, с применением  элементов дидактической игры, исследовательской деятельности.

Цели урока:

Познавательные- познакомить учащихся с ситуациями, при которых возникает необходимость разбираться  в финансовых операциях.

Обучающие - научиться разрешать возникшие финансовые и экономические  проблемы с помощью математического аппарата и компьютерных технологий. Приобрести новые знания по математике и по информатике в области финансовой деятельности.

Развивающие - развить кругозор в области применения процессора Excel, встроенных функций.

Воспитательные  - выработать целостный подход к изучаемым  дисциплинам, интерес ко всем наукам, их взаимосвязи, поднять мотивации учащихся и умения работы в группе, воспитание культуры диалога.

Оборудование: компьютеры, проектор.  

Вводное слово.

На свете существует очень много наук и все они тесно связаны друг с другом. Нельзя заниматься химией, не зная физики, биологией, не зная химии... Но есть одна наука, без которой невозможна никакая другая. Это математика. Ее понятия, представления и символы служат тем языком, на котором говорят, пишут и думают другие науки. Она предсказывает и предвычисляет далеко вперед и с огромной точностью ход вещей. При помощи математического аппарата возможно моделирование практической деятельности в реальной жизни, ее отдельных сторон, качеств и областей. На сегодняшнем уроке мы и попытаемся установить связь между математикой и … экономикой и не только.

Угадайте откуда эти слова:

"Бранил Гомера, Феокрита,

зато читал Адама Смита

и был глубокий эконом,

то есть умел судить о том,

как государство богатеет

и чем живёт и почему не нужно золота ему,

когда простой продукт имеет.

Отец понять его не мог и земли отдавал в залог".

А.С. Пушкин о Евгении Онегине, герое своего знаменитого романа.

Известный труд крупнейшего английского экономиста и философа Адама Смита (1723-1790) "Исследования о природе и богатстве народов", изданный в 1776 г., был хорошо известен русской общественности как пушкинской, так и более поздней поры. Однако совсем немногие из нынешних выпускников сумеют объяснить, как государство богатеет и почему плохо отдавать земли в залог.

Многие экономические понятия, такие как депозит, акция, стоимость, инфляция, прибыль, банковский процент, режим экономики, банкротство, дивиденды составляют тот фон, на котором проходит жизнь нашего общества. Поэтому, сегодня встает вопрос об экономической грамотности общества, его культуре. Поэтому тема нашего урока «Экономические задачи». А цель уроканаучиться разрешать возникшие финансовые и экономические  проблемы с помощью математического аппарата и компьютерных технологий.

Считается, что наряду с изобретением колеса создание банковской системы явилось одним из важнейших изобретений человечества.

Слово «банк» ведет свое происхождение от латинского banco (банко) — скамья, лавка менялы. Первые менялы появились очень давно, еще до нашей эры, когда у многих народов широко распространился обычай одалживания денег под рост, т. е. с обязательством возврата не только долга, но и вознаграждения за труды. Исторические документы свидетельствуют, что в Древней Греции ростовщики забирали себе от 10 до 36% от одалживаемой суммы, в Вавилоне— до 20%, на Руси — до 40% и т. д.

Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основывались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т. п. Делалось это, конечно, небескорыстно. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине выданной в долг сумме денег.

Слово «процент» происходит от латинского procentum (про цёнтум) — начисление на сотню. В дальнейшем для сокращения писали: Р/С, а затем эта запись перешла в знакомое нам начертание %.

Таким образом, один процент — это сотая часть числа.

Современные банки аккумулируют деньги, ценные бумаги, предоставляют кредиты, осуществляют операции с иностранной валютой, драгоценными металлами, выпускают бумажные деньги, монеты и т. д.

Коммерческие банки осуществляют связь между теми, кто хранит и накапливает деньги в банке, и теми, кто берет деньги у банка в долг.

Основную часть тех денег, которые банк выдает заемщикам — лицам, одалживающим деньги у банка,— составляют деньги вкладчиков, которые они вносят в банк для хранения и роста. Таким образом, банк является финансовым посредником между вкладчиками и заемщиками. Эта связь наглядно показана на схеме:

S0

Урок мы начали с литературного героя Пушкина – Евгения Онегина. Продолжим тему литературных героев.

Задачи из классической литературы:

Знаете ли вы, что многие известные литературные герои были неплохими финансистами? Одним персонажам приходилось самим производить денежные расчёты, связанные с покупкой или продажей товара, другим — с дележом прибыли. Но особенно часто они почему-то решали задачи «на проценты», которые ничуть не утратили своей актуальности.

Задача  Иудушки  Головлева

В романе М. Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» в одной из сцен читаем: «Седьмой час вечера. Порфирий Владимирыч… сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой Петром Иванычем, на зубок, сто рублей ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего восемьсот рублей ассигнациями. “Положим, что капитал и небольшой, — праздномыслит Иудушка, — а всё-таки хорошо, когда знаешь, что про чёрный день есть.… Ах, маменька! маменька! И как это вы, друг мой, так, очертя голову, действовали!»

Так сокрушался Иудушка Головлёв о не доставшихся ему деньгах. Но если Иудушку волновал возможный доход, то нам интересно знать, исходя из какого процента делался расчёт? Иначе говоря, под какой процент годовых надо было маменьке Арине Петровне положить сторублёвый вклад, чтобы через n лет он увеличился в восемь раз? (Для определённости будем считать, что Порфирию Владимировичу 50 лет.)

Так как мы уже знаем, что такое сложные и простые проценты, то согласно условию задачи ломбард, взяв на хранение деньги,  предположим, начислял на них сложные проценты, следовательно, S0 = 100 рублей, n = 50 и S50 = 800 рублей. Процент годовых найдём из уравнения

100×(1 + 0,01p)50 = 800,

(1 + 0,01p)50 = 800 : 100,

(1 + 0,01p)50 = 8,

1 + 0,01p =  ,

1 + 0,01p = ±1,0425,

р = (1,0425 – 1)*100,

р = 4,25

Получим p ≈ 4,25%. Прямо скажем, не так уж и много, даже по нынешним меркам!

Но если ломбард начислял простые проценты, то вычислим процент исходя из формулы

S = S0(1+0,01np)

100×(1 + 0,01*50p)= 800, р = (8 - 1):0,5, р = 14 %.

ИСТОРИЯ СТРЯПЧЕГО ДЕРВИЛЯ.

Куда большие проценты всегда брали за кредит. И не только банки. Немалые состояния наживали ростовщики, одалживая деньги другим. Вспомним новеллу Оноре де Бальзака «Гобсек».

Одному из её героев, стряпчему Дервилю, однажды пришлось просить у старика-ростовщика немалую сумму, чтобы выкупить дело у своего разорившегося патрона. «Если бы вы согласились ссудить мне сто пятьдесят тысяч, необходимых для покупки конторы, я в десять лет расплатился бы с вами», — обратился он к Гобсеку. «Ну что ж, давайте торговаться, — сказал тот. — Я беру за кредит по-разному, самое  меньшее — пятьдесят процентов, сто, двести, а когда и пятьсот. Ну, а с вас по знакомству я возьму только двенадцать с половиной процентов.… Нет, не так, — с вас я возьму тринадцать процентов в год». Но потом передумал и, пообещав снабжать Дервиля клиентурой, добавил: «Пожалуй, надо бы взять с вас пятнадцать процентов годовых.… Сверх процентов вы будете бесплатно, пока я жив, вести мои дела. Хорошо?» На том и условились.

Зная характер старого скряги и учитывая срок договора, можно предположить, что речь  идет  о сложных процентах. Подсчитаем, какую сумму должен был выплатить ростовщику Дервиль, взяв в долг 150 тысяч франков сроком на 10 лет под 15% годовых, если бы выплачивал сложные проценты от исходной суммы:
S10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15)10  = 606 834 франка.                                            

Что в четыре раза больше самого кредита!

Для сравнения вычислим, какую сумму полагалось вернуть в случае, если бы расчёты велись по формуле простых процентов:
S10 = 150 000 × (1 + 0,01 × 15 × 10) = 375 000  франков.   Т.е. переплатил 225 000 франков.
Разница весьма ощутимая:  230 тысяч франков.

ОБОСНОВАННЫЙ ВЫБОР.

Как видим, надолго брать деньги взаймы лучше под простые проценты — возвращать придётся меньше. А вот одалживать их кому-то или отдавать сбережения на хранение в банк, да ещё на длительный срок, выгоднее тогда, когда при прочих равных условиях расчёт ведётся по формуле сложных процентов.

Чтобы понять, почему это так, достаточно сравнить значения выражений (1 + 0,01рn) и (1 + 0,01р)n. При фиксированном проценте годовых р с увеличением срока вклада (кредита), то есть числа n, значение второго выражения растёт быстрее, чем первого. И чем больше n, тем заметнее разница их значений. Это наглядно видно на графики зависимости аn от n. (На графике п = 10)

Итак, сложные проценты принесут обладателю капитала больший доход, чем простые, причём этот доход будет существенно зависеть от сроков вклада (выданного кредита), не говоря уже о проценте годовых. Случай с ростовщиком служит тому ярким подтверждением: одолжив Дервилю деньги за малый (по меркам самого Гобсека) процент, через десять лет он должен был получить обратно вчетверо большую сумму.

Выгодная  сделка.

А вот ещё один хрестоматийный пример денежных расчётов. Алёна Ивановна, старуха процентщица из романа Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание», предлагала Раскольникову деньги под заклад на весьма выгодных для себя условиях: «Вот-с, батюшка: коли по гривне в месяц с рубля, так за полтора рубля причтётся с вас пятнадцать копеек, за месяц вперёд-с. Да за два прежних рубля  с вас ещё причитается по сему же счёту вперёд двадцать копеек. А всего, стало быть, тридцать пять. Приходится же вам теперь всего получить за часы ваши рубль пятнадцать копеек».

Старуха одалживала деньги на месяц под 10%, которые требовала вперёд. Ясно также, что с каждой суммы она брала простые проценты. Интересно, прогадала ли Алёна Ивановна? Это как посмотреть. Деньги-то она давала на короткий срок, да и сама сделка предполагалась «одноразовой». Можно считать n = 1 (в таком случае срок выплаты, вообще говоря, может быть любым, расчёт процентов производится лишь раз), тогда и простые проценты, и сложные начисляются одинаково: исходная сумма S увеличивается на величину S*0,01р. К тому же, если деньги не возвращались вовремя, старуха брала с должника проценты повторно. Так что в убытке она точно не оставалась. Вот такая хитрая арифметика получается!

Задача 1.  Рассчитать первоначальный взнос, если через два года в вашем распоряжении должна быть необходимая сумма в 25000 руб. для  покупки компьютера  при 10%  банковских начислениях.

25000=Х· (1+0,1)2,  Х=25000/1,21,  Х=20661

Задача 2.Определим, какую ежегодную ставку сложных процентов выплачивал банк, если за 4 года первоначальная сумма 2560 достигла величины 6250 р.

6250=2560· (1+0,01р)4; 1+0,01р = ; р = 100 * (5/4 – 1) = 25 %.

Задача 3.  Рассчитать период, за который начальная сумма 5000  достигнет желаемой суммы 30000  при тех же 10% начислениях.

30000=5000 · (1+0,1)х

Уравнение, где неизвестное стоит в степени называется показательным, как его решать мы будем проходить чуть позже. Поэтому  на помощь вызываем электронный процессор  Excel. Решаем задачу с помощью встроенных финансовых функций.

 КПЕР (норма,  выплата, нз, бс, тип) - Возвращает общее количество периодов выплаты для инвестиции на основе периодических постоянных выплат и постоянной процентной ставки.

Норма – процентная ставка за период;

Выплата – возможные постоянные выплаты за период;

Нз – начальное значение суммы;

Бс – баланс наличности;

Тип – 1 или 0, означающие, когда производятся выплаты. Если аргумент равен 1, то в начале, 0 -  в конце периода.

Учитель объясняет синтаксис  функции, возможности каждого аргумента и  область применения названной функции. В качестве примера на экран проектируется функция

 КПЕР(10%/12;-1000;-5000; 30000;1), что соответствует  решению следующей задачи:

Задача 4. Рассчитать,   сколько месяцев  понадобится для накопления суммы в 30000 руб., если  первоначальная сумма вклада равна 5000 руб., процент по депозиту равен 10% годовых и есть возможность ежемесячно пополнять вклад постоянными платежами в 1000 руб.?

Учитель обращает внимание учащихся на знак «-», поясняя, что в этой ситуации они выступают в качестве кредитора. В начале периода они лишаются суммы, а в конце возвращают с процентами.

Задача 5.  Взят кредит на определенный срок и под данный процент. Требуется определить величину платежа  за  нужный период в счет погашения ссуды.

Сберегательный Банк России предлагает населению «образовательный кредит» для получения высшего  и среднего образования, составляющий 70% от общей суммы оплаты обучения,  под 17% годовых на срок не более 11 лет. Стоимость обучения на экономическом факультете МИЭТа составляет в среднем 32000 рублей за семестр, срок обучения– 5 лет. Подсчитайте сумму гашения кредита и сумму гашения процентов для первых трёх месяцев выплаты, если образовательный кредит выдан сроком на 5 лет.

РЕШЕНИЕ

1. Подсчитаем общую сумму на обучение (стоимость одного семестра х на количество семестров в течение 5 лет):  32 000 х 10 = 320 000 (р.)
2. Подсчитаем размер кредита (как 70% от суммы на обучение):32 000 х 70% = 224 000 (р.)
3. Подсчитаем ежемесячную сумму на гашение кредита (как отношение размера кредита к количеству месяцев кредитования): 224 000: (5 х 12) = 3 733, 333 ≈ 4 000 (р.)
4. на гашение процентов для первого месяца выплаты (17% от кредита:на количество месяцев в году):  224 000 х 17% : 12 = 3 173, 333 ≈ 3 500 (р.)
5. Подсчитаем сумму платежа за кредит для первого месяца выплаты ( как сумму гашения кредита и гашения процентов):  4 000 + 3 500 = 7 500 (р.)
6. Подсчитаем остаток после первого месяца выплаты ( как разность кредита  и  платежа кредита за 1 месяц):   224 000 – 4 000 = 220 000 (р.)
7. Подсчитаем сумму гашения процентов для второго месяца платежа (17% от остатка: на количество месяцев в году):   220 000 х 17% : 12 = 3 116, 667 ≈ 3 200 (р.)
8. Подсчитаем остаток после второго месяца выплаты ( как разность остатка после первого месяца выплаты и гашения кредита):  220 000 – 4 000 =216 000 (р.)
9. Подсчитаем сумму гашения процентов для третьего месяца выплаты (17% от остатка после второго месяца выплаты: на количество месяцев в году):   216 000 х 17% : 12 = 3 060, 333 ≈ 3 100 (р.)

Ответ: Гашение кредита – 4 000 рублей в месяц. Гашение процентов: 1-й месяц – 3500 рублей; 2-й месяц – 3200 рублей; 3-й месяц – 3100 рублей. Сумма платежа за кредит для первого месяца выплаты – 7 500 рублей.

Удобнее когда выплачивается одинаковая денежная сумма каждый месяц – аннуитет.

Аннуитет — это ряд выплат одинаковых денежных сумм, осуществляемых в течение длительного периода. Примерами аннуитета могут служить заем на покупку автомобиля.

Решаем при помощи новой финансовой  функции

1. ПЛТ(ставка; кпер; плт;[ бс]; [тип]) - Возвращает сумму периодического платежа для аннуитета на основе постоянства сумм платежей и постоянства процентной ставки.

• Ставка.  Обязательный аргумент. Процентная ставка по ссуде.
• Кпер.  Обязательный аргумент. Общее число выплат по ссуде.
• Пс.  Обязательный аргумент. Приведенная к текущему моменту стоимость или общая сумма, которая на текущий момент равноценна ряду будущих платежей, называемая также основной суммой.
• Бс.  Необязательный аргумент. Требуемое значение будущей стоимости, т. е. желаемого остатка средств после последнего платежа. Если этот аргумент опущен, предполагается, что он равен 0 (будущая стоимость для займа равна 0).
• Тип.  Необязательный аргумент. Число 0 (нуль) или 1, обозначающее, когда должна производиться выплата.

Решение предыдущей задачи ПЛТ(17%/12; 5*12; 224000) = 5 566,98 руб в месяц.

ОСПЛТ (норма; кпер;нз; бс; тип).Возвращает величину платежа в погашение основной суммы по инвестиции за данный период на основе постоянных периодических платежей и постоянной процентной ставки.

             Норма – процентная ставка по ссуде;

Кпер – общее число  выплат;

Нз– основная сумма, которую составят будущие платежи;

Бс – баланс наличности после последней выплаты;

        Тип – 1 или 0, означающие, когда производятся выплаты. Если аргумент равен 1, то в начале, 0 -  в конце периода

3. ПРОЦПЛАТ(ставка, период, кпер, пс) - Вычисляет проценты, выплачиваемые за определенный инвестиционный период.

Учитель у доски (на экране) объясняет назначение данной функции, ее  возможностях, особенно подробно останавливаясь о роли аргументов. На примере функции ПЛТ (14%/12; 10; 10000;0) = 1053 р., ученики узнают, чему равны  ежемесячные выплаты по займу в 10000 руб. и годовой процентной ставке 14% при  сроке погашения кредита 10 месяцев. Здесь бсравно 0, так как за 10 месяцев мы полностью погашаем задолженность по кредиту.

Проверяем возможности этой функции, введя изменение суммы кредита или срока займа, ссудного процента, типа выплаты и их комбинаций. Функция позволяет моделировать ситуации и при одновременном изменении нескольких аргументов. ОСПЛТ позволяет  также  вести расчеты для накопления суммы вклада за определенный период, то есть определить размер откладываемой суммы.

Задача 6.Предположим, что родителям к окончанию школы  необходимо накопить 100000 руб. Они открывают в первом классе депозитный счет на имя сына под 8% годовых. Формула расчета размера ежемесячной откладываемой суммы выглядит так: ОСПЛТ(8%/12; 1; 11*12; 0; 100000) = 484,88 р.

Самостоятельная работа.

1. Вы берёте в долг 320000 руб. под 4,5% годовых и собираетесь выплачивать по 3600 руб. в месяц. Сколько лет займут выплаты? 
2. Необходимо за 5 лет накопить 330000 руб. Определить ежемесячную выплату в банк при годовой ставке 3,5%. 
3.  Рассчитать размер ежегодной выплаты 15-летней ипотечной ссуды со ставкой 9,5% годовых при ежемесячной (ежегодной) выплате. Размер ссуды 420000 руб. 

Решение:         1) =КПЕР(4,5%/12; -3600;320000)/12 = 9 лет

                        2) ПЛТ(3,5%/12; 5*12; 330000; 0) = 6003,28

                        3) ПЛТ(9,5%; 15; 420000; 0) = 53 652,35 в год /12 = 4471,03 р

Домашнее задание.

Задача1.  Для покупки автомобиля недостающую сумму 250000 руб. берем в заем сроком на 2 года с процентной ставкой18%  годовых. Найти размер ежемесячной выплаты денег банку.

     Задача2. Рассчитать,  через сколько лет вклад размером 50000 руб. достигнет 500000 руб. при условии, что процентная ставка по вкладу  равна 12% годовых, начисление процентов производится ежеквартально.

Заключительное слово учителя:

     Полученные знания и сегодняшний практический опыт помогут вам грамотно вести бизнес, сотрудничать с банком, быть успешными  в жизни. Прошу вас подвести итоги нашего урока. Выводы (выводы делают учащиеся).

1. В процессе урока узнали о новом разделе математики – экономической.
2. Познакомились с некоторыми часто встречающимися на практике функциями.
3. Изучили их синтаксис, знаем, как варьировать аргументы при разных ситуациях.
4. Получили новые знания  в области применения Excel таблиц.